（江蘇專(zhuān)用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 綜合仿真練（三） 理（通用）

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1、綜合仿真練(三)(理獨(dú)) 1．本題包括A、B、C三個(gè)小題，請(qǐng)任選二個(gè)作答 A．[選修4－2：矩陣與變換] 設(shè)a，b∈R.若直線l：ax＋y－7＝0在矩陣A＝對(duì)應(yīng)的變換作用下，得到的直線為l′：9x＋y－91＝0.求實(shí)數(shù)a，b的值． 解：法一：在直線l：ax＋y－7＝0上取點(diǎn)M(0,7)，N(1，7－a)， 由＝，＝，可知點(diǎn)M(0,7)，N(1,7－a)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下分別得到點(diǎn)M′(0,7b)，N′(3，b(7－a)－1)， 由題意可知：M′，N′在直線9x＋y－91＝0上， ∴解得 ∴實(shí)數(shù)a，b的值分別為2,13. 法二：設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P(x，y)，點(diǎn)P在矩陣A

2、對(duì)應(yīng)的變換作用下得到Q(x′，y′)， 則＝， ∴ 由Q(x′，y′)在直線l′：9x＋y－91＝0上， ∴27x＋(－x＋by)－91＝0， 即26x＋by－91＝0， ∵點(diǎn)P在ax＋y－7＝0上， ∴＝＝， 解得a＝2，b＝13. ∴實(shí)數(shù)a，b的值分別為2,13. B．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] (2020·南通、泰州等七市三模)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)分別為，，曲線C的方程為ρ＝r(r>0)． (1)求直線AB的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線AB和曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求r的值． 解：(1

3、)分別將A，B轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為A(0,4)，B(－2，－2)， 所以直線AB的直角坐標(biāo)方程為3x－y＋4＝0. (2)曲線C的方程為ρ＝r(r>0)，其直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝r2(r>0)． 因?yàn)橹本€AB和曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線與圓相切， 因?yàn)閳A心到直線AB的距離為＝， 所以r的值為. C．[選修4－5：不等式選講] 已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求證：ba>ab. 證明：∵ba>0，ab>0，∴要證ba>ab， 只要證aln b>bln a, 只要證>， 構(gòu)造函數(shù)f(x)＝，x∈(e，＋∞)． 則f′(x)＝，x∈(e，＋∞)

4、，f′(x)<0在區(qū)間(e，＋∞)上恒成立， 所以函數(shù)f(x)在x∈(e，＋∞)上是單調(diào)遞減的， 所以當(dāng)a>b>e時(shí)，有f(b)>f(a)， 即>，故ba>ab得證． 2．(2020·蘇州中學(xué)期初)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員站在A，B，C三處進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，每人在這三處各投籃一次，每人每次投籃是否投中均相互獨(dú)立，且甲、乙兩人在A，B，C三處投中的概率均分別為，，. (1)設(shè)X表示甲運(yùn)動(dòng)員投中的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員共投中的個(gè)數(shù)不少于5的概率． 解：(1)根據(jù)題意可知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝××＝； P(X

5、＝1)＝××＋××＋××＝； P(X＝2)＝××＋××＋××＝； P(X＝3)＝××＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)設(shè)Y表示乙運(yùn)動(dòng)員投中的個(gè)數(shù)， 由(1)可知，P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝3)＝. 所以P(X＝2，Y＝3) ＝P(X＝3，Y＝2)＝×＝， P(X＝3，Y＝3)＝×＝， 所以P(X＋Y≥5)＝P(X＝2，Y＝3)＋P(X＝3，Y＝2)＋P(X＝3，Y＝3)＝. 所以甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員共投中的個(gè)數(shù)不少于5的概率為. 3．設(shè)P(n，m)＝(－1

6、)kC，Q(n，m)＝C，其中m，n∈N*. (1)當(dāng)m＝1時(shí)，求P(n,1)·Q(n,1)的值； (2)對(duì)?m∈N*，證明：P(n，m)·Q(n，m)恒為定值． 解：(1)當(dāng)m＝1時(shí)，P(n,1)＝(－1)kC ＝(－1)kC＝， 又Q(n,1)＝C＝n＋1，顯然P(n,1)·Q(n,1)＝1. (2)證明：P(n，m)＝(－1)kC ＝1＋(－1)k(C＋C)＋(－1)n ＝＋ ＝(－1)kC＋(－1)kC ＝P(n－1，m)＋(－1)kC ＝P(n－1，m)－(－1)kC ＝P(n－1，m)－P(n，m) 即P(n，m)＝P(n－1，m)， 由累乘，易求得P(n，m)＝P(0，m)＝， 又Q(n，m)＝C， 所以P(n，m)·Q(n，m)＝1為定值．