2020版高中數(shù)學 1-1-3同步練習新人教B版選修2-2

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1、選修2-2 1.1.3 一、選擇題 1．已知曲線y＝x2－2上一點P，則過點P的切線的傾斜角為(　　) A．30°　　　　　　　　　 B．45° C．135° D．165° [答案]　B [解析]　∵y＝x2－2， ∴y′＝ ＝ ＝ ＝x. ∴y′|x＝1＝1. ∴點P處切線的斜率為1，則切線的傾斜角為45°.故選B. 2．如果曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么(　　) A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 [答案]　B [解析]　切線x＋2y－3＝0的斜

2、率k＝－，即f′(x0)＝－＜0.故選B. 3．下列說法正確的是(　　) A．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處就沒有切線 B．若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處有切線，則f′(x0)必存在 C．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率不存在 D．若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率不存在，則曲線在該點處就沒有切線 [答案]　C [解析]　根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，曲線在某點處的切線斜率為該點的導數(shù)，因此C正確．故選C. 4．(2020·新課標全國卷文，4)曲線y＝x3－2x＋1在點(

3、1,0)處的切線方程為(　　) A．y＝x－1 B．y＝－x－1 C．y＝2x－2 D．y＝－2x－2 [答案]　A [解析]　本題考查了導數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，在解題時應首先驗證點是否在曲線上，然后通過求導得出切線的斜率，題目定位于簡單題． 由題可知，點(1,0)在曲線y＝x3－2x＋1上，求導可得y′＝3x2－2，所以在點(1,0)處的切線的斜率k＝1，切線過點(1,0)，根據(jù)直線的點斜式可得過點(1,0)的曲線y＝x3－2x＋1的切線方程為y＝x－1，故選A. 5．曲線y＝在點P(1,1)處的切線方程是(　　) A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0 C．y

4、－1＝－(x－1) D．y－1＝(x－1) [答案]　B [解析]　斜率k＝ ＝ ＝－1. 所以切線方程為y－1＝－1×(x－1)．故選B. 6．設f(x)為可導函數(shù)，且滿足 ＝－1，則過曲線y＝f(x)上點(1，f(1))處的切線斜率為(　　) A．2 B．－1 C．1 D．－2 [答案]　B [解析]　根據(jù)導數(shù)的定義知f′(1)＝－1.故選B. 7．已知曲線y＝2ax2＋1過點(，3)，則該曲線在該點的切線方程是(　　) A．y＝－4x－1 B．y＝4x－1 C．y＝4x＋8 D．y＝4x或y＝4x－4 [答案]　B [解析]　由3＝2a()2＋1得a＝

5、1或a＝－1(舍)． 又y′|x＝1＝4，所以切線方程為y－3＝4(x－1)，即y＝4x－1.故選B. 8．(2020·遼寧文，12)已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是(　　) A．[0，) B．[，) C．(，] D．[，π) [答案]　D [解析]　考查導數(shù)的幾何意義、均值不等式及三角不等式 ∵y′＝－ ∴tanx＝－＝－＝－， ∵ex＞0∴ex＋ ≥2(當且僅當x＝0時取等號) ∴ex＋＋2≥4， ∴0＜≤1， ∴－1≤tanα＜0， ∵α∈[0，π)， ∴α∈[π，π)． 故選D. 9．y＝ax2＋1的圖象與直線y

6、＝x相切，則a＝(　　) A. B. C. D．1 [答案]　B [解析]　y′＝2ax，設切點為(x0，y0)，則2ax0＝1， ∴x0＝. ∵切點在直線y＝x上，∴y0＝ 代入y＝ax2＋1得＝＋1 ∴a＝.故選B. 10．曲線y＝x3＋x－2在點P0處的切線平行于直線y＝4x－1，則點P0的坐標是(　　) A．(1,0) B．(－1，－4) C．(1,0)或(－1，－4) D．(0,1)或(4,1) [答案]　C [解析]　設P0(x0，y0)， 則f′(x0)＝ ＝3x＋1＝4， 所以x0＝±1.因此P0(1,0)或(－1，－4)．故選C. 二、

7、填空題 11．曲線y＝x2－3x在點P處的切線平行于x軸，則點P的坐標為________． [答案]　 [解析]　∵y′＝2x－3，令y′＝0，得x＝， 代入曲線方程y＝x2－3x得y＝－. 12．拋物線y＝x2在點P處的切線平行于直線y＝4x－5，則點P的坐標為________． [答案]　(2,4) [解析]　 ＝ ＝2x， 令2x＝4，∴x＝2，即在點(2,4)處的切線平行于直線y＝4x－5. 13．曲線f(x)＝x3在點A處的切線的斜率為3，則該曲線在點A處的切線方程為____________． [答案]　3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0 [解析]　設點A(x0

8、，x)，則k＝f′(x0)＝3x＝3. ∴x0＝±1. ∴切點的坐標為(1,1)或(－1，－1)， ∴所求的切線方程為y－1＝3(x－1)或y＋1＝3(x＋1)，即3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0. 14．過點P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點M(1,1)處的切線平行的直線方程是________． [答案]　2x－y＋4＝0 [解析]　∵y′＝6x－4， ∴y′|x＝1＝2.所求直線的斜率為2，所以所求直線的方程為y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0. 三、解答題 15．已知曲線y＝2x2上的點(1,2)，求過該點且與過該點的切線垂直的直線方程． [解析]

9、　因為f′(1)＝ ＝4， 所以過點(1,2)的切線的斜率為4. 設過點(1,2)與過該點的切線垂直的直線的斜率為k，則4k＝－1，k＝－， 所以所求直線方程為y－2＝－(x－1)， 即x＋4y－9＝0. 16．求曲線y＝x3在點(3,27)處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積． [解析]　因為f′(3)＝ ＝27， 所以在點(3,27)處的切線方程為y－27＝27(x－3)， 即y＝27x－54. 此切線與x軸、y軸的交點分別為(2,0)，(0，－54)， 所以切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為S＝×2×54＝54. 17．試求過點M(1,1)且與曲線y＝x3＋1相切

10、的直線方程． [解析]　＝ ＝ ＝3xΔx＋3x2＋(Δx)2， ＝3x2，因此y′＝3x2. 設過(1,1)點的切線與y＝x3＋1相切于點P(x0，x＋1)，據(jù)導數(shù)的幾何意義，函數(shù)在點P處的切線的斜率為k＝3x①，過(1,1)點的切線的斜率k＝②，由①＝②得，3x＝，解之得x0＝0或x0＝，所以k＝0或k＝，因此y＝x3＋1過點M(1,1)的切線方程有兩條，分別為y－1＝(x－1)和y＝1，即27x－4y－23＝0和y＝1. 18．已知曲線y＝x2－1與y＝x3＋1在x0點的切線互相垂直，求x0的值． [解析]　函數(shù)y＝x2－1在x0處的導數(shù)為： y′|x＝x0＝ ＝ ＝2x0. 函數(shù)y＝x3＋1在x0處的導數(shù)為： y′|x＝x0＝ ＝ ＝3x， ∵兩曲線在x0處的切線互相垂直，顯然兩切線的斜率都存在， ∴2x0·3x＝－1， 解得x0＝－.