陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式要點講解素材 北師大版必修5（通用）

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1、用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式 求數(shù)列的通項公式是高考重點考查的內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列----等差數(shù)列·等比數(shù)列可直接根據(jù)它們的通項公式求解，但也有一些數(shù)列要通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，之后再應(yīng)用各自的通項公式求解，體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用。 例1:（06年福建高考題）數(shù)列 ( ) A． B． C． D． 解法1： 又 是首項為2公比為2的等比數(shù)列 ,所以選C 解法2 歸納總結(jié)：若數(shù)列滿足為常數(shù)），則令來構(gòu)造等比數(shù)列，并利用對應(yīng)項相等求的值，求通項公式。 例2：數(shù)列中，，則

2、 。 解： 為首項為2公比也為2的等比數(shù)列。 ，（n>1） n>1時 顯然n=1時滿足上式 小結(jié)：先構(gòu)造等比數(shù)列，再用疊加法,等比數(shù)列求和求出通項公式， 例3：已知數(shù)列中求這個數(shù)列的通項公式。 解： 又形成首項為7，公比為3的等比數(shù)列， 則………………………① 又， ，形成了一個首項為—13，公比為—1的等比數(shù)列 則………………………② ①② 小結(jié)：本題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列，屬于構(gòu)造方面比較級，最終用加減消元的方法確定出數(shù)列的通項公式。 例4：設(shè)數(shù)列的前項和為成立，(1)求證： 是等比數(shù)列。(2)

3、 求這個數(shù)列的通項公式 證明：(1)當(dāng) 又………………………① ………………………② ②—① 當(dāng)時，有 又 為首項為1，公比為2的等比數(shù)列， (2) 小結(jié)：本題構(gòu)造非常特殊， 要注意恰當(dāng)?shù)幕喓吞崛」蚴?，本題集中體現(xiàn)了構(gòu)造等比數(shù)列的價值與魅力，同時也彰顯構(gòu)造思想在高考中的地位和作用。 例5：數(shù)列滿足，則 A． B． C． D． 解： 構(gòu)成了一個首項這，公差為3的等差數(shù)列， 所以選B。 小結(jié)：構(gòu)造等比數(shù)列，注意形，當(dāng)時，變?yōu)椤? 例6：已知函數(shù)，又?jǐn)?shù)列中，其前項和為，對所有大于1的自然數(shù)都有，求數(shù)列的通項公式

4、。 解： 是首項為，公差為的等差數(shù)列。 。 時， 且當(dāng)時， 符合條件 通項公式為 例7：（2020山東高考題） 已知，點（）在函數(shù)的圖象上，其中求數(shù)列的通項公式。 解： 又在函數(shù)圖象上 是首項為公比為2的等比數(shù)列 小結(jié)：前一個題構(gòu)造出為等差數(shù)列，并且利用通項與和的關(guān)系來確定數(shù)列的通項公式，后一個題構(gòu)造為等比數(shù)列,再利用對數(shù)性質(zhì)求解。數(shù)列與函數(shù)的綜合運用是當(dāng)今高考的重點與熱點，因此我們在解決數(shù)列問題時應(yīng)充分利用函數(shù)有關(guān)知識，以它的概念與性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列的橋梁,揭示它們之間內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問題。 例8：(2020天津

5、高考題)已知數(shù)列滿足，（）其中，求數(shù)列的通項公式 方法指導(dǎo)：將已知條件中的遞推關(guān)系變形，應(yīng)用轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列形式，從而為求的通項公式提供方便，一切問題可迎刃而解。 解： 。 所以 所以為等差數(shù)列，其首項為0，公差為1； 例9：數(shù)列中，若，，則 A． B． C． D． 解： 又是首項為公差3的等差數(shù)列。 所以選A 變式題型：數(shù)列中，，求 解： 是首項為公比為的等比數(shù)列 小結(jié):且為一次分式型或構(gòu)造出倒數(shù)成等差數(shù)列或構(gòu)造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列，發(fā)散之后，兩種構(gòu)造思想相互聯(lián)系,相互滲透，最后融合到一起。 總之，構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列來求數(shù)列的通項公式，是求通項公式的重要方法也是高考重點考查的思想，當(dāng)然題是千變?nèi)f化的，構(gòu)造方式也會跟著千差萬別,要具體問題具體分析，需要我們反復(fù)推敲歸納，從而確定其形式，應(yīng)該說構(gòu)造方法的形成是在探索中前進，在前進中探索。