陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 等比數(shù)列的派生數(shù)列拓展資料素材 北師大版必修5（通用）

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1、等比數(shù)列的派生數(shù)列 　　我們約定由等比數(shù)列的組合生成的新數(shù)列為派生數(shù)列，派生數(shù)列有非常漂亮的性質(zhì)． 　　性質(zhì)1 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，k∈N，k≥1，i∈N，i≥1，若b1＝ai，b2＝ai+k+1，b3=ai+2(k+1)，…，bn＝ai+(n-1)(k+1)，…，則數(shù)列{bn}仍為等比數(shù)列，其公比為qk+1． 　　 　　特別地，當(dāng)i＝1，k＝1時(shí)，{bn}成為{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列；當(dāng)i＝2，k＝1時(shí)，{bn}由{an}的所有偶數(shù)項(xiàng)組成，顯然它們均為等比數(shù)列．且公比為q2． 　　性質(zhì)2 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，k∈N．k≥1，若b1＝a1＋a2＋…＋ak，b

2、2＝ak+1＋ak+2＋…＋a2k，…，bn＝a(n-1)k+1＋a(n-1)k+2＋…＋ank，…，則數(shù)列{bn}仍為等比數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Snk－S(n-1)k，…成等比數(shù)列，其公比為qk． 　　 　　特別地，當(dāng)k＝3時(shí)，b1＝a1＋a2＋a3，bi＝a4＋a5＋a6，…，bn＝a3n-2＋a3n-1＋a3n，…，顯然，{bn}是公比為q3的等比數(shù)列，此即為1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一道試題． 　　推廣 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，k∈N，k≥1，λ∈R． 　　 　　 　　特別地，當(dāng)λ＝1時(shí)，即成性質(zhì)2，當(dāng)λ＝2時(shí)，用途廣泛． 　　性質(zhì)3 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，k∈N，k≥1，若b1＝a1a2…ak，b2＝ak+1ak+2…a2k，…bn＝a(n-1)k+1a(n-1)k+2…an)k，…，則{bn}仍為等比數(shù)列，其公比為qk2．