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1、斐波那契數(shù)列
每一對兔子過了出生第一個(gè)月之后，每個(gè)月生一對小兔子。現(xiàn)把一對初生小兔子放在屋內(nèi)，問一年后屋內(nèi)有多少對兔子？
先不在這里考慮兔子能否長大，或是某些月份沒有生小兔子一類的問題，完全只由數(shù)學(xué)角度去考慮這問題，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(Fibonacci)解了這個(gè)題目，其內(nèi)容大約是這樣的：
在第一個(gè)月時(shí)，只有一對小兔子，過了一個(gè)月，那對兔子成熟了，在第三個(gè)月時(shí)便生下一對小兔子，這時(shí)有兩對兔子。再過多一個(gè)月，成熟的兔子再生一對小兔子，而另一對小兔子長大，有三對小兔子。如此推算下去，我們便發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：
時(shí)間(月)
初生兔子(對)
成熟兔子(對)
兔子總數(shù)(對)
1
2、
1
0
1
2
0
1
1
3
1
1
2
4
1
2
3
5
2
3
5
6
3
5
8
不難發(fā)現(xiàn)，每個(gè)月成熟兔子的數(shù)目是上個(gè)月的兔子總數(shù)，而初生兔子的數(shù)目是上個(gè)月成熟兔子的數(shù)目，也即是兩個(gè)月前的兔子總數(shù)，因此每個(gè)月的兔子總數(shù)剛好是上個(gè)月和兩個(gè)月前的的兔子總數(shù)之和。由此可得每個(gè)月的兔子總數(shù)是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 23, 377...，由此可知一年后有 377 對兔子?！ ?
若把上述數(shù)列繼續(xù)寫下去，得到的數(shù)列便稱為斐波那契數(shù)列，數(shù)列中每個(gè)數(shù)便是前兩個(gè)數(shù)之和，而數(shù)列的最初兩個(gè)數(shù)都是
3、 1。若果設(shè) F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13... 則成立這個(gè)關(guān)系式：當(dāng) n 大于 1，F(xiàn)n+2=Fn+1+ Fn，而 F0=F1=1。下面是一個(gè)古怪的式子：
…(1)
Fn看似是無理數(shù)，但當(dāng) n 是非負(fù)整數(shù)時(shí)，F(xiàn)n都是整數(shù)，而且組成斐波那契數(shù)列，因?yàn)镕0=F1=1，并且Fn+2=Fn+1+ Fn，這可用數(shù)學(xué)歸納法來證明。
利用斐波那契數(shù)列解決兔子數(shù)目的問題似乎沒有甚么用途，因?yàn)椴荒鼙ＷC兔子真的每月只生一對小兔子一類的問題，但事實(shí)上這個(gè)數(shù)列的應(yīng)用十分廣泛。例如一個(gè)走梯級的問題，若某人走上一段梯級，他每一步可以走上一級，或是跳過
4、一級而走到第二級，若他要走上六級，有多少個(gè)不同走法？我們可以考慮，若果設(shè) Fn是走 n 級梯級的走法的數(shù)目，若他在第n級，他可以走到第 n-1 級，或是跳過第n-1級，走到第 n-2 級，他在第 n-1 級有 Fn-1個(gè)走法，而在第 n-2 級有 Fn-2個(gè)走法，因此在第n級時(shí)的走法是 Fn-2+Fn-1個(gè)走法，即 Fn=Fn-2+Fn-1，而他在第二級和第三級的走法分別有 1 個(gè)和 2 個(gè)，因此可知走法的數(shù)目與斐波那契數(shù)列有關(guān)。
我們還可以利用斐波那契數(shù)列來做出一個(gè)新的數(shù)列，方法是把數(shù)列中相鄰的數(shù)字相除，以組成新的數(shù)列如下：
從(1)中可知當(dāng) n 無限增大時(shí)，數(shù)列的極限是
這個(gè)數(shù)值稱為黃金分割，它正好是方程 x2+x-1=0 的一個(gè)根。
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