陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)素材 北師大版必修5（通用）

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1、概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié) 數(shù)列 一．?dāng)?shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如 （1）已知，則在數(shù)列的最大項(xiàng)為__ （答：）； （2）數(shù)列的通項(xiàng)為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為___ （答：）； （3）已知數(shù)列中，，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍 （答：）； （4）一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是（ ） （答：A） A B C

2、 D 二．等差數(shù)列的有關(guān)概念： 1．等差數(shù)列的判斷方法：定義法或。如 設(shè) 是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列。 2．等差數(shù)列的通項(xiàng)：或。如 (1)等差數(shù)列中，，，則通項(xiàng)　　　　 （答：）； （2）首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______ （答：） 3．等差數(shù)列的前和：，。如 （1）數(shù)列 中，，，前n項(xiàng)和，則＝＿，＝＿ （答：，）； （2）已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和 （答：）. 4．等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。 提醒： （1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及

3、到5個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。 （2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，…（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，,…（公差為2） 三．等差數(shù)列的性質(zhì)： 1．當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. 2．若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。 3．當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如 （1）等差數(shù)列中，，則＝____ （答：27）； （2）在等差數(shù)列中，，且，是其前項(xiàng)和，則 　　A、都小于0，

4、都大于0 　　B、都小于0，都大于0 　　C、都小于0，都大于0 　　D、都小于0，都大于0　 （答：B） 4．若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、、 ，…也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 如 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為 。 （答：225） 5．在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，，（這里即）；。如 （1）在等差數(shù)列中，S11＝22，則＝______ （答：2）； （2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù) （答：5；31）.

5、6．若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則 .如 設(shè){}與{}是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，若，那么___________ （答：） 7．“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如 （1）等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。 （答：前13項(xiàng)和最大，最大值為16

6、9）； （2）若是等差數(shù)列，首項(xiàng)， ，則使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是 （答：4006） 8．如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究. 四．等比數(shù)列的有關(guān)概念： 1．等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或 。如 （1）一個(gè)等比數(shù)列{}共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則為____ （答：）； （2）數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列｛｝是等比數(shù)列。 2．等比數(shù)列的通項(xiàng)：或。如 設(shè)等比數(shù)列中

7、，，，前項(xiàng)和＝126，求和公比. （答：，或2） 3．等比數(shù)列的前和：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。如 （1）等比數(shù)列中，＝2，S99=77，求 （答：44）； （2）的值為__________ （答：2046）； 特別提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要對分和兩種情形討論求解。 4．等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項(xiàng)。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)。如已知兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為______（答：A

8、＞B） 提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為…，…（公比為）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為…，…，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為。如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 5.等比數(shù)列的性質(zhì)： （1）當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如 （1）在等比數(shù)列中，

9、，公比q是整數(shù)，則=___ （答：512）； （2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 （答：10）。 (2) 若是等比數(shù)列，則、、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，…也是等比數(shù)列。當(dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，…是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 如 （1）已知且，設(shè)數(shù)列滿足，且，則　　　　　. （答：）； （2）在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則的值為______ （答：40） (3)若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)列；若，則為擺動(dòng)數(shù)列；若，則為常數(shù)列. (4) 當(dāng)時(shí)，，這里，但，這是

10、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且，則＝ （答：－1） (5) .如設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值為_____ （答：－2） (6) 在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，. (7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè) 數(shù)列的前項(xiàng)和為（）， 關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：①若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若，則是等差數(shù)列；③若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是 （答：②③）

11、 五.數(shù)列的通項(xiàng)的求法： ⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。如已知數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：__________ （答：） ⑵已知（即）求，用作差法：。如 ①已知的前項(xiàng)和滿足，求 （答：）； ②數(shù)列滿足，求 （答：） ⑶已知求，用作商法：。如數(shù)列中，對所有的都有，則______ （答：） ⑷若求用累加法： 。如已知數(shù)列滿足，，則=________ （答：） ⑸已知求，用累乘法：。如已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和，若，求 （答：） ⑹已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列

12、后，再求。如①已知，求（答：）；②已知，求（答：）；（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。如①已知，求（答：）；②已知數(shù)列滿足=1，，求（答：） 注意：（1）用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當(dāng)時(shí)，）；（2）一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解。如數(shù)列滿足，求（答：） 六.數(shù)列求和的常用方法： 1．公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；③常用公式：，，.如 （1）等比數(shù)列的前項(xiàng)和Sｎ＝2ｎ－１，則＝_____

13、（答：）； （2）計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是，那么將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是_______ （答：） 2．分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和. 如求：（答：） 3．倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）. 如 ①求證：； ②已知，則＝______ （答：） 4．錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通

14、項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）. 如（1）設(shè)為等比數(shù)列，，已知，，①求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；②求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（答：①，；②）； （2）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足： ，①求證：數(shù)列是等比數(shù)列；②令 ，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并比較與的大小。（答：①略；②，當(dāng)時(shí)，＝；當(dāng)時(shí)，<；當(dāng)時(shí)，>） 5．裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有： ①； ②； ③，； ④ ；⑤； ⑥. 如（1）求和： （答：）； （2）在數(shù)列中，，且Sｎ＝９，則n＝_____ （答：99）；

15、 6．通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。如 ①求數(shù)列1×4，2×5，3×6，…，，…前項(xiàng)和= 　 （答：）； ②求和： （答：） 七．“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題 1．這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務(wù)必“卡手指”，細(xì)心計(jì)算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決. 2．利率問題：①單利問題：如零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型：若每期存入本金元，每期利率為，則期后本利和為： （等差數(shù)列問題）；②復(fù)利問題：按揭貸款的分期等額還款（復(fù)利）模型：若貸款（向銀行借款）元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，分期還清。如果每期利率為（按復(fù)利），那么每期等額還款元應(yīng)滿足：（等比數(shù)列問題）.