陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列要點(diǎn)講解素材 北師大版必修5（通用）

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1、數(shù) 列 一、高考要求 1． 理解數(shù)列的有關(guān)概念，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前n項(xiàng). 2． 理解等差（比）數(shù)列的概念，掌握等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式. 并能運(yùn)用這些知識(shí)來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題. 3． 了解數(shù)學(xué)歸納法原理，掌握數(shù)學(xué)歸納法這一證題方法，掌握“歸納—猜想—證明”這一思想方法. 二、熱點(diǎn)分析 1.數(shù)列在歷年高考中都占有較重要的地位，一般情況下都是一個(gè)客觀性試題加一個(gè)解答題，分值占整個(gè)試卷的10%左右.客觀性試題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、極限的四則運(yùn)算法則、無(wú)窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和等內(nèi)容，對(duì)基本的計(jì)算

2、技能要求比較高，解答題大多以考查數(shù)列內(nèi)容為主，并涉及到函數(shù)、方程、不等式知識(shí)的綜合性試題，在解題過(guò)程中通常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法，是屬于中高檔難度的題目. 2.有關(guān)數(shù)列題的命題趨勢(shì)　?。?）數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)和數(shù)列的重要工具，三者的綜合求解題是對(duì)基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)，而三者的求證題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是近年來(lái)高考命題的新熱點(diǎn)　?。?）數(shù)列推理題是新出現(xiàn)的命題熱點(diǎn).以往高考常使用主體幾何題來(lái)考查邏輯推理能力，近兩年在數(shù)列題中也加強(qiáng)了推理能力的考查。（3）加強(qiáng)了數(shù)列與極限的綜合考查題　　 3.熟練掌握、靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)。等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)在

3、解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)應(yīng)用非常廣泛，且十分靈活，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)題目中隱含的相關(guān)性質(zhì)，往往使運(yùn)算簡(jiǎn)潔優(yōu)美.如，可以利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化：從而有，即. 4.對(duì)客觀題，應(yīng)注意尋求簡(jiǎn)捷方法　　解答歷年有關(guān)數(shù)列的客觀題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，除了常規(guī)方法外，還可以用更簡(jiǎn)捷的方法求解.現(xiàn)介紹如下：　?、俳柚厥鈹?shù)列.　　②靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，可更加準(zhǔn)確、快速地解題，這種思路在解客觀題時(shí)表現(xiàn)得更為突出，很多數(shù)列客觀題都有靈活、簡(jiǎn)捷的解法　　 5.在數(shù)列的學(xué)習(xí)中加強(qiáng)能力訓(xùn)練　數(shù)列問(wèn)題對(duì)能力要求較高，特別是運(yùn)算能力、歸納猜想能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力更為突出.一般來(lái)說(shuō)，考題中選擇、填空題解法靈活多變，而解答

4、題更是考查能力的集中體現(xiàn)，尤其近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查，應(yīng)引起我們足夠的重視.因此，在平時(shí)要加強(qiáng)對(duì)能力的培養(yǎng)。 6．這幾年的高考通過(guò)選擇題，填空題來(lái)著重對(duì)三基進(jìn)行考查，涉及到的知識(shí)主要有：等差（比）數(shù)列的性質(zhì). 通過(guò)解答題著重對(duì)觀察、歸納、抽象等解決問(wèn)題的基本方法進(jìn)行考查，其中涉及到方程、不等式、函數(shù)思想方法的應(yīng)用等，綜合性比較強(qiáng)，但難度略有下降. 三、復(fù)習(xí)建議 1． 對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)要落實(shí)到位，主要是等差（比）數(shù)列的定義、通項(xiàng)、前n項(xiàng)和. 2． 注意等差（比）數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用. 3． 掌握一些遞推問(wèn)題的解法和幾類(lèi)典型數(shù)列前n項(xiàng)和的求和方法. 4． 注意滲透三種數(shù)學(xué)思想：函數(shù)

5、與方程的思想、化歸轉(zhuǎn)化思想及分類(lèi)討論思想. 5． 注意數(shù)列知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，特別是在利率,分期付款等問(wèn)題中的應(yīng)用. 6． 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考考查的重點(diǎn)。而且往往還以解答題的形式出現(xiàn)，所以我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)給予重視。近幾年的高考數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學(xué)生的各種能力。 四、典型例題 【例1】 已知由正數(shù)組成的等比數(shù)列，若前項(xiàng)之和等于它前項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)之和的11倍，第3項(xiàng)與第4項(xiàng)之和為第2項(xiàng)與第4項(xiàng)之積的11倍，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 解：∵q=1時(shí)， 又顯然，q≠1 ∴ 依題意；解之 又

6、， 依題意，將代入得 【例2】 等差數(shù)列{an }中，=30，=15，求使an≤0的最小自然數(shù)n。 解：設(shè)公差為d，則或或或 解得：T a33 = 30 與已知矛盾 或T a33 = - 15 與已知矛盾 或Ta33 = 15 或 T a33 = - 30 與已知矛盾 ∴an = 31+(n - 1) () T 31 0 T n≥63 ∴滿(mǎn)足條件的最小自然數(shù)為63。 【例3】 設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，已知S4=44,S7=35 （1）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式； （2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn。 解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由已知S4

7、=44,S7=35可得a1=17,d=-4 ∴a=-4n+21 (n∈N),S=-2n+19 (n∈N). （2）由a=-4n+21≥0 得n≤, 故當(dāng)n≤5時(shí)，a≥0, 當(dāng)n≥6時(shí)， 當(dāng)n≤5時(shí),T=S=-2n+19n 當(dāng)n≥6時(shí),T=2S5-S=2n-19n+90. 【例4】 已知等差數(shù)列的第2項(xiàng)是8，前10項(xiàng)和是185，從數(shù)列中依次取出第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，……，第項(xiàng)，依次排列一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式。 解：由 得 ∴ ∴ 【例5】 已知數(shù)列1，1，2……它的各項(xiàng)由一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)首項(xiàng)為0的等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加而得到。求該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn

8、； 解：(1)記數(shù)列1，1，2……為{An}，其中等比數(shù)列為{an}，公比為q； 等差數(shù)列為{bn}，公差為d，則An =an +bn (n∈N） 依題意，b1 =0，∴A1 =a1 +b1 =a1 =1 ① A=a+b=aq+b+d=1 ② A=a+b=aq2 +b+2d=2 ③ 由①②③得d=-1, q=2, ∴ ∴ 【例6】 已知數(shù)列滿(mǎn)足an+Sn=n,(1)求a1,a2,a3,由此猜想通項(xiàng)an,并加以證明。 解法1：由an+Sn=n, 當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1，\a1+a1=1，得a1= 當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=S2，由a2+S2=2，得a1+2a2=

9、2，\a2= 當(dāng)n=3時(shí)，a1+a2+a3=S3，由a3+S3=3，得a1+a2+2a3=3\a3= 猜想，(1)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立。 當(dāng)n=1時(shí),a1=1-,(1)式成立 假設(shè),當(dāng)n=k時(shí),(1)式成立,即ak=1-成立， 則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+1 \2ak+1=k+1-Sk 又ak=k+Sk \2ak+1=1+ak \ak+1= 即當(dāng)n=k+1時(shí),猜想（1）也成立。 所以對(duì)于任意自然數(shù)n,都成立。 解法2：由an+Sn=n得，兩式相減得：， 即，即，下略