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1、數(shù)列求和的若干常用方法
數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查對象。除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊數(shù)列的求和可采用分部求和法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的和或用裂項求和法、錯位相減法、逆序相加法、組合化歸法，遞推法等。本文就此總結(jié)如下，供參考。
一、分組求和法
所謂分組法求和就是：對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。
例1．?dāng)?shù)列{an}的前n項和，數(shù)列{bn}滿 .
（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項
2、和Tn。
解析：（Ⅰ）由，
兩式相減得：，
同定義知是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.
（Ⅱ）
等式左、右兩邊分別相加得：
=
例2． 已知等差數(shù)列的首項為1，前10項的和為145，求：
解析：首先由 則：
二、裂項求和法
這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2）
（3）等。
例3. 在數(shù)列{an}中，，又，
求數(shù)列{bn}的前n項的和.
解析： ∵ ∴
∴ 數(shù)列{
3、bn}的前n項和
＝ ＝
例4．設(shè)｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對所有自然數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.
(1)寫出數(shù)列｛an｝的前三項；(2)求數(shù)列｛an｝的通項公式(寫出推證過程)；
(3)令bn=(n∈N)，求：b1+b2+…+bn-n.
解析：(1)略；(2) an=4n-2.； (3)令cn=bn-1,
則cn== =
b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn
=
評析：一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，則求和：首先考慮則=
4、。下列求和： 也可用裂項求和法。
三、 錯位相減法
設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的前項和求解，均可用錯位相減法。
例5.已知，數(shù)列是首項為a，公比也為a的等比數(shù)列，令， 求數(shù)列的前項和。
解析：
①-②得：
。
例6．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且
（Ⅰ）略；（Ⅱ）令求數(shù)列前n項和的公式.
解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）解：由得
①
②
將①式減去②式，得
所以
四、組合化歸法
例7.求和：。
解析：
而連續(xù)自然數(shù)可表示為組合數(shù)的形式，于是，數(shù)列的求和便轉(zhuǎn)化為組合數(shù)的求和問題了。
評析：可轉(zhuǎn)化為連續(xù)自然數(shù)乘積的數(shù)列求和問題，均可考慮組合化歸法。
五、 逆序相加法
例8.設(shè)數(shù)列是公差為，且首項為的等差數(shù)列，
求和：
解析：因?yàn)?
評析：此類問題還可變換為探索題形：
已知數(shù)列的前項和，是否存在等差數(shù)列使得
對一切自然數(shù)n都成立。
六、 遞推法
例6. 已知數(shù)列的前項和與滿足：成等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前項和。
解析：由題意：
評析：本題的常規(guī)方法是先求通項公式，然后求和，但逆向思維，直接求出數(shù)列的前項和的遞推公式，是一種最佳解法。
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