河北省石家莊市高中數(shù)學(xué) 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)學(xué)案 北師大版必修1

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1、§3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，領(lǐng)會方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系； 2.掌握函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理； 3.能結(jié)合圖象求解零點(diǎn)問題． 學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：零點(diǎn)的概念及存在性的判定． 難點(diǎn)：零點(diǎn)存在性的判定. 知識鏈接或儲備 預(yù)習(xí)教材P86知識 質(zhì)疑解疑與探究 問題探究1：　函數(shù)零點(diǎn)的定義 問題1:　考察下列一元二次方程與對應(yīng)的二次函數(shù)： (1)方程x2－2x－3＝0與函數(shù)y＝x2－2x－3； (2)方程x2－2x＋1＝0與函數(shù)y＝x2－2x＋1; (3)方程x2－2x＋3＝0與函數(shù)y＝x2－2x＋3. 你能列表表示

2、出方程的根，函數(shù)的圖象及圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)嗎？ 方程 x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0 函數(shù) y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3 函 數(shù) 的 圖 像 方程的實(shí)數(shù)根 函數(shù)的圖像 與x軸的交點(diǎn) 問題2: 從表中你能得到什么結(jié)論？ 問題3: 在問題2得出的結(jié)論對一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a≠0)和相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)也成立嗎？你能根據(jù)判別式的不同情況也用列表的形式加以說明嗎？ 判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程 a

3、x2＋bx＋c＝0(a≠0) 的根 函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象 函數(shù)的圖象 與x軸的交點(diǎn) 問題4：一元二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與相應(yīng)一元二次方程的實(shí)數(shù)根的關(guān)系能推廣到更一般的情況嗎？即對于方程f(x)＝0與函數(shù)y＝f(x)上述結(jié)論還適應(yīng)嗎？ 問題5：函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)可等價于哪些說法？ 小結(jié)：函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是函數(shù)所對應(yīng)的方程的根，它具有數(shù)與形的雙重意義。 問題6：你能說出函數(shù)①y＝lg x；②y＝lg(x＋1); ③y＝2x；④y＝2x－2的零點(diǎn)嗎？ 例1　已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，若a

4、c＜0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．不確定 小結(jié)　求函數(shù)的零點(diǎn)或判斷零點(diǎn)的個數(shù)除了利用零點(diǎn)的定義外，還經(jīng)常利用其等價的結(jié)論． 試試：函數(shù)y＝x2－4x－5的零點(diǎn)是(　　) A．(－1,0)，(5,0) B．(－1,0) C. (5,0) D．－1和5 問題探究2：函數(shù)零點(diǎn)存在性定理 問題1　觀察二次函數(shù)f(x)＝x2－2x－3的圖象，發(fā)現(xiàn)這個二次函數(shù)在區(qū)間[－2,1]上有零點(diǎn)x＝－1，而f(－2)＞0，f(1)＜0，即f(－2)·f(1)＜0.二次函數(shù)在區(qū)間[2,4]上有零點(diǎn)x＝3，而

5、f(2)＜0，f(4)＞0，即f(2)·f(4)＜0. 由以上兩步探索，你可以得出什么樣的結(jié)論？ 問題2　如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是間斷的，上述定理成立嗎？ 問題3　如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上存在零點(diǎn)，f(a)·f(b)<0是否一定成立？ 偶 問題4　如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，滿足了上述兩個條件后，函數(shù)的零點(diǎn)是唯一的嗎？ 還要添加什么條件可以保證函數(shù)有唯一零點(diǎn)？ 例2　求函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6的

6、零點(diǎn)的個數(shù)． 作出x、f(x)的對應(yīng)值表和圖象如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 思考：由上表和圖像可知？ 例3　求函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點(diǎn)個數(shù)． 小結(jié)　判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)的方法主要有：(1)可以利用零點(diǎn)存在性定理來確定零點(diǎn)的存在性，然后借助于函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個數(shù)．(2)利用函數(shù)圖象判定函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)． 拓展提升與鞏固訓(xùn)練 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，并給出判定方程在某個區(qū)產(chǎn)存在根的基本步驟． 當(dāng)堂檢測 1．利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間： （1）； （2）； （3）； （4）． 知識的歸納總結(jié)