江蘇省白蒲中學(xué)2020高二數(shù)學(xué) 極限與導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的背景教案 蘇教版

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1、導(dǎo)數(shù)的背景 教學(xué)目標(biāo)　　理解函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限的具體意義 教學(xué)重點(diǎn)　　瞬時(shí)速度、切線的斜率、邊際成本 教學(xué)難點(diǎn)　　極限思想 教學(xué)過(guò)程 一、導(dǎo)入新課 1.　瞬時(shí)速度 問(wèn)題1：一個(gè)小球自由下落，它在下落3秒時(shí)的速度是多少？ 析：大家知道，自由落體的運(yùn)動(dòng)公式是（其中g(shù)是重力加速度）. 當(dāng)時(shí)間增量很小時(shí)，從3秒到（3＋）秒這段時(shí)間內(nèi)，小球下落的快慢變化不大.　因此，可以用這段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地反映小球在下落3秒時(shí)的速度. 從3秒到（3＋）秒這段時(shí)間內(nèi)位移的增量： 從而，. 從上式可以看出，越小，越接近29.4米/秒；當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于29.4米

2、/秒.　此時(shí)我們說(shuō)，當(dāng)趨向于0時(shí)，的極限是29.4. 當(dāng)趨向于0時(shí)，平均速度的極限就是小球下降3秒時(shí)的速度，也叫做瞬時(shí)速度. 一般地，設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s＝s（t），則物體在t到（t＋）這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為.　如果無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)a，就說(shuō)當(dāng)趨向于0時(shí)，的極限為a，這時(shí)a就是物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度. 2.　切線的斜率 問(wèn)題2：P（1,1）是曲線上的一點(diǎn)，Q是曲線上點(diǎn)P附近的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線逐漸向點(diǎn)P趨近時(shí)割線PQ的斜率的變化情況. 析：設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1＋，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為（1＋）2，點(diǎn)Q對(duì)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的增量（即函數(shù)的增量）， 所以，割線PQ的斜率. 由此

3、可知，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí)，變得越來(lái)越小，越來(lái)越接近2；當(dāng)點(diǎn)Q無(wú)限接近于點(diǎn)P時(shí)，即無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于2.　這表明，割線PQ無(wú)限趨近于過(guò)點(diǎn)P且斜率為2的直線.　我們把這條直線叫做曲線在點(diǎn)P處的切線.　由點(diǎn)斜式，這條切線的方程為：. 一般地，已知函數(shù)的圖象是曲線C，P（），Q（）是曲線C上的兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí)，割線PQ繞著點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng).　當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P，即趨向于0時(shí)，如果割線PQ無(wú)限趨近于一個(gè)極限位置PT，那么直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線.　此時(shí)，割線PQ的斜率無(wú)限趨近于切線PT的斜率k，也就是說(shuō)，當(dāng)趨向于0時(shí)，割線PQ的斜率的極限為k. 3.　邊際成

4、本 問(wèn)題3：設(shè)成本為C，產(chǎn)量為q，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為，我們來(lái)研究當(dāng)q＝50時(shí)，產(chǎn)量變化對(duì)成本的影響.在本問(wèn)題中，成本的增量為：. 產(chǎn)量變化對(duì)成本的影響可用：來(lái)刻劃，越小，越接近300；當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于300，我們就說(shuō)當(dāng)趨向于0時(shí)，的極限是300. 我們把的極限300叫做當(dāng)q＝50時(shí)的邊際成本. 　　一般地，設(shè)C是成本，q是產(chǎn)量，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為C＝C（q），當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，產(chǎn)量變化對(duì)成本的影響可用增量比刻劃.　如果無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于常數(shù)A，經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱A為邊際成本.　它表明當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，增加單位產(chǎn)量需付出成本A（這是實(shí)際付出成本的一個(gè)近似值）. 二、小結(jié)

5、　　瞬時(shí)速度是平均速度當(dāng)趨近于0時(shí)的極限；切線是割線的極限位置，切線的斜率是割線斜率當(dāng)趨近于0時(shí)的極限；邊際成本是平均成本當(dāng)趨近于0時(shí)的極限. 三、練習(xí)與作業(yè)： 1.　某物體的運(yùn)動(dòng)方程為（位移單位：m，時(shí)間單位：s）求它在t＝2s時(shí)的速度. 2.　判斷曲線在點(diǎn)P（1,2）處是否有切線，如果有，求出切線的方程. 3.　已知成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為，求當(dāng)產(chǎn)量q＝80時(shí)的邊際成本. 4.　一球沿某一斜面自由滾下，測(cè)得滾下的垂直距離h（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系為，求t＝4s時(shí)此球在垂直方向的瞬時(shí)速度. 5.　判斷曲線在（1，）處是否有切線，如果有，求出切線的方程. 6.　已知成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系為，求當(dāng)產(chǎn)量q＝30時(shí)的邊際成本.