江蘇省新沂市第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題11 函數(shù)與方程學(xué)案 理 蘇科版

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1、學(xué)案11　函數(shù)與方程 【導(dǎo)學(xué)引領(lǐng)】 （一）考點(diǎn)梳理 1．函數(shù)的零點(diǎn) (1)函數(shù)零點(diǎn)的定義 一般地，我們把使函數(shù)y＝f(x)的值為0的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)． (2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系 方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)． (3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理) 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是f(x)＝0的根． 2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零點(diǎn)的分

2、布 根的分布(m＜n ＜p為常數(shù)) 圖象 滿足條件 x1＜x2＜m m＜x1＜x2 x1＜m＜x2 f(m)＜0 m＜x1＜x2＜n m＜x1＜n＜x2＜p 只有一根在(m，n)之間 或f(m)·f(n) ＜0 3.二分法 對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． 零點(diǎn)存在性定理是函數(shù)y＝f(x)存在零點(diǎn)的充分不必要條件 若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不間

3、斷的，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號相反，即f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，這個(gè)c就是方程f(x)＝0的根．這就是零點(diǎn)存在性定理．滿足這些條件一定有零點(diǎn)，不滿足這些條件也不能說就沒有零點(diǎn)． 如圖，f(a)·f(b)＞0，f(x)在區(qū)間(a，b)上存在零點(diǎn)，并且有兩個(gè)． 【自學(xué)檢測】 1．函數(shù)f(x)＝＋log2 x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_______． 2．若函數(shù)f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a＝________. 3．已知函數(shù)f(x)＝3ax－2a＋1在區(qū)間(－1,1)內(nèi)存在x0，使f(

4、x0)＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．　 4若函數(shù)f(x)＝log3－a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 5．若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是－2和3，則不等式af(－2x)＞0的解集是________． 【合作釋疑】判斷函數(shù)在給定區(qū)間上零點(diǎn)的存在性 【訓(xùn)練1】 (1)已知函數(shù)f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．當(dāng)2＜a＜3＜b＜4時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝________. (2)函數(shù)f(x)＝3x－7＋ln x的零點(diǎn)位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝________.

5、 【訓(xùn)練2】 (1)函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是________(填序號)． ①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)． (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x－ln x(x>0)，則y＝f(x)滿足________(填序號)． ①在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)； ②在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn)； ③在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn)； ④在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)． 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 【訓(xùn)練1】 (1)已知函數(shù)y＝x3－3x＋c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c＝________. (2)已知＜a＜2，則函數(shù)f(x)＝＋|

6、x|－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 【訓(xùn)練2】 (1)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f[f(x)]＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________． (2)對于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b＝設(shè)f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且關(guān)于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是________． 二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題 【訓(xùn)練1】 已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的范圍； (2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的范圍

7、 【訓(xùn)練2】 (1)m為何值時(shí)，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4. ①有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；②有兩個(gè)零點(diǎn)且均比－1大； (2)若函數(shù)f(x)＝|4x－x2|＋a有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】 1．已知方程x3＝3－x的解在區(qū)間內(nèi)，n∈Z，則n的值是________． 2．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，則k＝________. 3．已知a是函數(shù)f(x)＝2x－logx的零點(diǎn)，若0＜x0＜a，則f(x0)的值滿足________(與零的關(guān)系)． 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝x－ln x(x＞0)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)，(1，＋∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為________． 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝則函數(shù)g(x)＝f(x)－log4x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 6．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．　 7．若關(guān)于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有兩實(shí)根，且一個(gè)大于4，一個(gè)小于4，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．