廣東省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何第2講　橢圓、雙曲線、拋物線 文

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1、專題六　解析幾何第2講　橢圓、雙曲線、拋物線 真題試做 1．(2020·江西高考，文8)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為(　　)． A. B. C. D.－2 2．(2020·湖南高考，文6)已知雙曲線C：－＝1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為(　　)． A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3．(2020·大綱全國高考，文10)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P

2、在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝(　　)． A. B. C. D. 4．(2020·廣東高考，文20)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1(－1,0)，且點(diǎn)P(0,1)在C1上． (1)求橢圓C1的方程； (2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2：y2＝4x相切，求直線l的方程． 考向分析 圓錐曲線是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，是高考中每年必考的內(nèi)容．所占分?jǐn)?shù)約在12～18分．主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容．其中對圓錐曲線方程與性質(zhì)的考查，多以選擇題、填空題為主，如202

3、0年湖南高考文6,2020年江西高考文8等題；對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，常與其他知識(shí)結(jié)合，形成曲線中的存在性問題、曲線中的證明問題等，多以解答題的形式出現(xiàn)． 預(yù)計(jì)在今后高考中，解析幾何中的解答題仍將以直線與圓錐曲線為載體，繼續(xù)與函數(shù)、方程、不等式、向量等知識(shí)結(jié)合，考查最值問題、范圍問題、存在性問題以及有關(guān)的證明等，試題屬于中、高檔題，考查的思想方法主要有數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法． 熱點(diǎn)例析 熱點(diǎn)一　圓錐曲線的定義、性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程 【例1】若橢圓＋＝1與雙曲線－＝1(m，n，p，q均為正數(shù))有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則|PF1|·|PF

4、2|等于(　　)． A．p2－m2 B．p－m C．m－p D．m2－p2 規(guī)律方法 1.求圓錐曲線方程常用的方法有定義法、待定系數(shù)法、軌跡方程法．而對于雙曲線和橢圓在不明確焦點(diǎn)坐標(biāo)的情況下可以統(tǒng)一設(shè)成mx2＋ny2＝1(mn≠0)，這樣可以避免對參數(shù)的討論． 2．應(yīng)特別重視圓錐曲線的定義在解題中的運(yùn)用，若已知圓錐曲線上一點(diǎn)及焦點(diǎn)的相關(guān)信息，應(yīng)首先要考慮使用圓錐曲線的定義來求解． 3．在求解有關(guān)離心率的問題時(shí)，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點(diǎn)，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍．

5、 4．在雙曲線中，由于e2＝1＋，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)． 5．拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線、一條對稱軸、無對稱中心、沒有漸近線，這里強(qiáng)調(diào)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離． 變式訓(xùn)練1 (1)(2020·廣東惠州一調(diào)，文5)已知實(shí)數(shù)4，m,9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為(　　)． A. B. C.或 D.或7 (2)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝x，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程為__________． 熱點(diǎn)二　圓錐曲線的最值或定值問題 【例2】(2020·

6、廣東深圳第一次調(diào)研，文21)如圖，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：(x＋2)2＋y2＝r2(r＞0)，設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N. (1)求橢圓C的方程； (2)求·的最小值，并求此時(shí)圓T的方程； (3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：|OR|·|OS|為定值． 規(guī)律方法 1.求最值的常用方法 (1)函數(shù)法，如通過二次函數(shù)求最值；(2)三角代換法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求最值；(3)不等式法，通過基本不等式求最值；(4)數(shù)形結(jié)合法等． 2．定值問題的求

7、解策略 解這類問題常通過取參數(shù)和特殊值先確定“定值”是多少，再進(jìn)行證明，或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)． 特別提醒：解決定值問題一定要分清哪些量為變量，哪些量為常量． 變式訓(xùn)練2 (2020·安徽安慶二模，20)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，e＝，過F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，且|AB|＝4. (1)求橢圓C的方程； (2)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，若線段MN被直線x＝1平分，證明：線段MN的中垂線過定點(diǎn)． 熱點(diǎn)三　求圓錐曲線中的參數(shù)范圍 【例3】如圖，已知圓C：(x＋1)2＋y2＝

8、8，定點(diǎn)A(1,0)，M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足＝2，·＝0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程； (2)若過定點(diǎn)F(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G，H(點(diǎn)G在點(diǎn)F，H之間)，且滿足＝λ，求λ的取值范圍． 規(guī)律方法 求圓錐曲線中參數(shù)范圍的常用方法 (1)函數(shù)法，用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解． (2)不等式法，根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等關(guān)系，通過解不等式求參數(shù)的范圍． (3)判別式法，建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式Δ≥0求參數(shù)的范圍． (4)數(shù)形結(jié)合法，研究該參數(shù)所對應(yīng)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求

9、解． 特別提醒：直線與圓錐曲線相交(有兩個(gè)交點(diǎn))，聯(lián)立方程消元后得方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，則Δ＝b2－4ac＞0，求字母范圍時(shí)易忽視此限制條件，從而產(chǎn)生增根． 變式訓(xùn)練3 已知點(diǎn)P(4,4)，圓C：(x－m)2＋y2＝5(m＜3)與橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)有一個(gè)公共點(diǎn)A(3,1)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF1與圓C相切． (1)求m的值與橢圓E的方程； (2)設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的取值范圍． 熱點(diǎn)四　開放性、探索性問題(存在性問題) 【例4】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和

10、Q. (1)求k的取值范圍； (2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量＋與共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由． 規(guī)律方法 1.解決探索性問題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在． (1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類討論； (2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件； (3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開放，采取另外的途徑． 2．存在性問題的解題步驟： (1)先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)

11、或不等式(組)； (2)解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在； (3)得出結(jié)論． 變式訓(xùn)練4 (2020·廣東肇慶一模，文20)已知圓C與兩圓x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圓C的圓心軌跡方程為l，設(shè)l上的點(diǎn)與點(diǎn)M(x，y)的距離的最小值為m，點(diǎn)F(0,1)與點(diǎn)M(x，y)的距離為n. (1)求圓C的圓心軌跡l的方程； (2)求滿足條件m＝n的點(diǎn)M的軌跡Q的方程； (3)試探究軌跡Q上是否存在點(diǎn)B(x1，y1)，使得過點(diǎn)B的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于.若存在，請求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 思想滲透 分類討論思想—

12、—解析幾何中含參數(shù)的問題 解析幾何中含參數(shù)的問題類型： (1)當(dāng)直線過定點(diǎn)設(shè)直線方程時(shí)，應(yīng)對直線分斜率存在與不存在兩種情況進(jìn)行討論； (2)求有關(guān)直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，對參數(shù)的討論； (3)求有關(guān)線段長度、圖形面積的最值問題時(shí)，對解析式中含有的參數(shù)進(jìn)行討論； (4)對有關(guān)二元二次方程表示曲線類型的判定等． 求解時(shí)注意的問題： (1)求解有關(guān)含參數(shù)的問題時(shí)應(yīng)結(jié)合參數(shù)的意義，對參數(shù)的不同取值或不同取值范圍進(jìn)行分類討論，分類時(shí)應(yīng)注意討論的時(shí)機(jī)、標(biāo)準(zhǔn)、原因，做到不重不漏； (2)對參數(shù)的分類討論，最后仍然分類寫出答案；如果是對所求的字母進(jìn)行分類求解，最后一般要整理得出并集．

13、(2020·浙江高考，理21)如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為，不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分． (1)求橢圓C的方程； (2)求△ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程． 解：(1)設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F(－c,0)，則由題意得 解得 所以橢圓方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M. 當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，直線AB的方程為x＝0，與不過原點(diǎn)的條件不符，舍去．故可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m(m≠0)， 由消去y，整理得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－1

14、2＝0，① 則Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0， 所以線段AB的中點(diǎn)M， 因?yàn)镸在直線OP上，所以 ＝， 得m＝0(舍去)或k＝－. 此時(shí)方程①為3x2－3mx＋m2－3＝0，則 Δ＝3(12－m2)＞0， 所以|AB|＝·|x1－x2|＝·. 設(shè)點(diǎn)P到直線AB距離為d，則 d＝＝. 設(shè)△ABP的面積為S，則 S＝|AB|·d＝·， 其中m∈(－2，0)∪(0,2)． 令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－2，2]， u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)·(m－1－)(m－1＋)． 所以當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－

15、時(shí)，u(m)取到最大值． 故當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－時(shí)，S取到最大值． 綜上，所求直線l方程為3x＋2y＋2－2＝0. 1．(2020·廣東惠州一模，理7)已知雙曲線x2－＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在雙曲線上，且＝0，則點(diǎn)M到x軸的距離為(　　)． A. B. C. D. 2．(2020·廣東東莞一模，文8)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(2,2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為(　　)． A．y2＝4x B．y2＝－4x C．x2＝4y D．y2＝8x 3．以F1(－1

16、,0)，F(xiàn)2(1,0)為焦點(diǎn)且與直線x－y＋3＝0有公共點(diǎn)的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是(　　)． A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4．(2020·山東濰坊3月模擬，13)雙曲線－y2＝1(a＞0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________． 5．(2020·北京豐臺(tái)3月模擬，10)已知拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是6，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________． 6．(2020·廣東茂名二模，文13)已知有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且它們在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF1F2

17、是以PF1為底邊為等腰三角形，若|PF1|＝10，雙曲線的離心率的值為2，則該橢圓的離心率的值為__________． 7．(2020·山東濟(jì)南模擬，22)已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點(diǎn)C(2,2)，且拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)為F1. (1)求橢圓E的方程； (2)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí)，求直線l的方程和圓P的方程． 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1．B　解析：因?yàn)锳，B為左，右頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左，右焦點(diǎn)， 所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c. 又因?yàn)閨AF1|

18、，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列， 所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2. 所以離心率e＝＝，故選B. 2．A　解析：2c＝10，c＝5.∵點(diǎn)P(2,1)在直線y＝x上， ∴1＝.又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5. 故C的方程為：－＝1. 3．C　解析：設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝2m， 由雙曲線定義知：|PF1|－|PF2|＝2a，得2m－m＝2， ∴m＝2. 又2c＝2＝2×2＝4， ∴由余弦定理可得：cos∠F1PF2＝＝. 4．解：(1)因?yàn)闄E圓C1的左焦點(diǎn)為F1(－1,0)，所以c＝1. 點(diǎn)P(0,1)代入橢圓＋＝1，得＝1，

19、 即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝2. 所以橢圓C1的方程為＋y2＝1. (2)直線l的斜率顯然存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m， 由消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 因?yàn)橹本€l與橢圓C1相切， 所以Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0， 整理得2k2－m2＋1＝0.① 由消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0. 因?yàn)橹本€l與拋物線C2相切， 所以Δ＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.② 綜合①②，解得或 所以直線l的方程為y＝x＋或y＝－x－. 精要例析·聚焦熱點(diǎn) 熱點(diǎn)例析 【例1】 C　解

20、析：根據(jù)題意可知m＞n，由于點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，據(jù)橢圓定義有|PF1|＋|PF2|＝2. 又點(diǎn)P在雙曲線上，再據(jù)雙曲線定義有|PF1|－|PF2|＝±2，將上述兩式分別平方再相減得|PF1|·|PF2|＝m－p. 【變式訓(xùn)練1】 (1)C　解析：因4，m,9成等比，則m2＝36，∴m＝±6. 當(dāng)m＝＋6時(shí)，圓錐曲線為橢圓＋y2＝1，其離心率為； 當(dāng)m＝－6時(shí)，圓錐曲線為雙曲線y2－＝1，其離心率為，故選C. (2)－＝1　解析：由雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x得＝，∴b＝a. ∵拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)為F(4,0)，∴c＝4. 又∵c2＝a2＋b2，∴16

21、＝a2＋(a)2. ∴a2＝4，b2＝12. ∴所求雙曲線的方程為－＝1. 【例2】 解：(1)依題意，得a＝2，e＝＝， ∴c＝，b＝＝1. 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)方法一：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱， 設(shè)M(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨設(shè)y1＞0. 由于點(diǎn)M在橢圓C上，所以y12＝1－.(*) 由已知T(－2,0)，則＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)， ∴＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y12＝(x1＋2)2－＝x12＋4x1＋3＝2－≥－. 由于－2＜x1＜2，故當(dāng)x1＝－時(shí)，取得最小值為－. 由(*)式，

22、y1＝，故M，又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到r2＝. 故圓T的方程為：(x＋2)2＋y2＝. 方法二：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，故設(shè)M(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)， 由已知T(－2,0)，則－1＜cos θ＜1， ＝(2cos θ＋2，sin θ)·(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin2θ＝5cos2θ＋8cos θ＋3＝52－≥－. 故當(dāng)cos θ＝－時(shí)，取得最小值為－，此時(shí)M， 又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到r2＝. 故圓T的方程為：(x＋2)2＋y2＝. (3)方法一：設(shè)P(x0，y0)，由題意知：x0≠x

23、1，y0≠±y1. 則直線MP的方程為：y－y0＝(x－x0)， 令y＝0，得xR＝. 同理，xS＝，故xR·xS＝.(**) 又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，故x02＝4(1－y02)，x12＝4(1－y12)，代入(**)式，得xR·xS＝＝＝4. 所以|OR|·|OS|＝|xR|·|xS|＝|xR·xS|＝4為定值． 方法二：設(shè)M(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，P(2cos α，sin α)， 其中cos θ≠cos α，sin α≠±sin θ. 則直線MP的方程為： y－sin α＝(x－2cos α)， 令y＝0，得xR＝. 同理，xS＝

24、. 故xR·xS＝＝＝4. 所以|OR|·|OS|＝|xR|·|xS|＝|xR·xS|＝4為定值． 【變式訓(xùn)練2】 (1)解：∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列， ∴|AF2|＋|BF2|＝2|AB|. ∴4a＝|AF2|＋|AF1|＋|BF2|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝3|AB|＝12. ∴a＝3. 又e＝＝，∴c＝1，b＝＝2. 所求的橢圓方程為＋＝1. (2)證明：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為(1，y0)， 由題意知＋＝1，＋＝1. 兩式相減，得＋＝0， ∴kMN＝＝－＝－. ∴線段MN的中垂線方程為y－y0

25、＝(x－1)， 易證，此直線過定點(diǎn). 【例3】 解：(1)∵＝2，·＝0， ∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|＝|NM|. 又∵|CN|＋|NM|＝2， ∴|CN|＋|AN|＝2＞2， ∴點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C(－1,0)，A(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓且橢圓長軸長為2a＝2，焦距2c＝2， ∴a＝，c＝1，b2＝1， ∴曲線E的方程為＋y2＝1. (2)當(dāng)直線GH的斜率存在時(shí)， 設(shè)直線GH的方程為y＝kx＋2，代入橢圓方程＋y2＝1，得x2＋4kx＋3＝0. 由Δ＞0得k2＞. 設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 又∵＝λ，∴(x1，y1

26、－2)＝λ(x2，y2－2)， ∴x1＝λx2，∴x1＋x2＝(1＋λ)x2，x1x2＝λx2， ∴2＝x2＝. ∴2·2＝·， 整理得＝. ∵k2＞，∴4＜＜. ∴4＜λ＋＋2＜，∴＜λ＜3. 又∵0＜λ＜1，∴＜λ＜1. 又當(dāng)直線GH的斜率不存在，即其方程為x＝0時(shí)，＝，λ＝.∴≤λ＜1，即所求λ的取值范圍是. 【變式訓(xùn)練3】 解：(1)點(diǎn)A坐標(biāo)代入圓C方程，得(3－m)2＋1＝5. ∵m＜3，∴m＝1. 圓C：(x－1)2＋y2＝5. 設(shè)直線PF1的斜率為k， 則PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0. ∵直線PF1與圓C相切，∴＝. 解得k

27、＝或k＝. 當(dāng)k＝時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去． 當(dāng)k＝時(shí)，直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為－4，∴c＝4. ∴F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)． 2a＝AF1＋AF2＝5＋＝6，a＝3，a2＝18，b2＝2. 橢圓E的方程為＋＝1. (2)＝(1,3)，設(shè)Q(x，y)，＝(x－3，y－1)， ＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6. ∵＋＝1，即x2＋(3y)2＝18， 而x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴－18≤6xy≤18. 則(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy的取值范圍是[0,36]． x＋3y的取值范圍是[－6,6

28、]． ∴＝x＋3y－6的取值范圍是[－12,0]． 【例4】 解：(1)由已知條件知直線l的方程為y＝kx＋， 代入橢圓方程得＋(kx＋)2＝1. 整理得x2＋2kx＋1＝0.① 直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0， 解得k＜－或k＞. 即k的取值范圍為∪. (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)， 由方程①得x1＋x2＝－.② 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2，③ 而A(，0)，B(0,1)，＝(－2,1)， 所以與共線等價(jià)于x1＋x2＝－(y1＋y2)． 將②③代入上式，解得k＝. 由(

29、1)知k＜－或k＞，故沒有符合題意的常數(shù)k. 【變式訓(xùn)練4】 解：(1)兩圓半徑都為1，兩圓心分別為C1(0，－4)，C2(0,2)，由題意得CC1＝CC2，可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線，C1C2的中點(diǎn)為(0，－1)，直線C1C2的斜率不存在，故圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線方程為y＝－1，即圓C的圓心軌跡L的方程為y＝－1. (2)因?yàn)閙＝n，所以M(x，y)到直線y＝－1的距離與到點(diǎn)F(0,1)的距離相等，故點(diǎn)M的軌跡Q是以y＝－1為準(zhǔn)線，點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，＝1，即p＝2， 所以，軌跡Q的方程是x2＝4y. (3)由(2)得y＝x2，y

30、′＝x，所以過點(diǎn)B的切線的斜率為k＝x1，切線方程為y－y1＝x1(x－x1)， 令x＝0得y＝－x21＋y1，令y＝0得x＝－＋x1， 因?yàn)辄c(diǎn)B在x2＝4y上，所以y1＝x12. 故y＝－x12，x＝x1. 所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝|x||y|＝＝|x13|. 令S＝，即|x13|＝得|x1|＝2，所以x1＝±2. 當(dāng)x1＝2時(shí)，y1＝1，當(dāng)x1＝－2時(shí)，y1＝1. 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,1)或(－2,1)． 創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練 1．B　解析：設(shè)||＝m，||＝n， 由 得m·n＝4， 由S△F1MF2＝m·n＝|F1F2|·d，解得d＝，故選B.

31、 2．A　解析：由題意不妨設(shè)A點(diǎn)為(0,0)． ∵AB的中點(diǎn)為P(2,2)，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,4)． 設(shè)拋物線方程為y2＝2px，易得p＝2. ∴y2＝4x，故選A. 3．C　解析：∵c＝1，故若使橢圓的離心率最大，則a最小，即在直線x－y＋3＝0上求一點(diǎn)M使|MF1|＋|MF2|最小，易求點(diǎn)F1關(guān)于直線x－y＋3＝0的對稱點(diǎn)N為(－3,2)，∴|NF2|＝2. ∴2a＝2，故所求橢圓方程是＋＝1.故選C. 4．y＝±x　解析：c2＝a2＋1，由＝＝4得a＝. 故漸近線方程為y＝±x＝±x. 5．(4，±4)　解析：利用拋物線定義先求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 6.　解析：設(shè)橢圓的長

32、軸為2a1，雙曲線的實(shí)軸為2a2，焦距為2c. 則在雙曲線中，有|PF1|－|PF2|＝10－2c＝2a2， 又∵e2＝＝2，∴a2＝，c＝. 在橢圓中，有|PF1|＋|PF2|＝10＋2×＝2a1，∴a1＝. ∴橢圓的離心率為e1＝＝＝. 7．解：(1)設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 則＋＝1，① ∵拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)為F1，∴c＝.② 又a2＝b2＋c2，③ 由①②③得a2＝12，b2＝6. ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y＝－x＋m， 代入橢圓E的方程，得3x2－4mx＋2m2－12＝0. 由Δ＝16m2－12(2m2－12)＝8(18－m2)＞0，得m2＜18. A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 圓P的圓心為， 半徑r＝|x1－x2|＝. 當(dāng)圓P與y軸相切時(shí)，r＝，則2x1x2＝， 即＝，m2＝9＜18，m＝±3. 當(dāng)m＝3時(shí)，直線l方程為y＝－x＋3，此時(shí)，x1＋x2＝4，圓心為(2,1)，半徑為2，圓P的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4； 同理，當(dāng)m＝－3時(shí)，直線l方程為y＝－x－3，圓P的方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.