安徽省2020年高考數(shù)學第二輪復習 專題三 三角函數(shù)及解三角形第1講 三角函數(shù)的圖象與性質 文

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1、專題三　三角函數(shù)及解三角形第1講　三角函數(shù)的圖象與性質 真題試做 1．(2020·大綱全國高考，文3)若函數(shù)f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函數(shù)，則φ＝(　　)． A. B. C. D. 2．(2020·安徽高考，文7)要得到函數(shù)y＝cos(2x＋1)的圖象，只要將函數(shù)y＝cos 2x的圖象(　　)． A．向左平移1個單位 B．向右平移1個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位 3．(2020·天津高考，文7)將函數(shù)f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象經(jīng)過點，則ω的最小值是(　　)． A

2、. B．1 C. D．2 4．(2020·湖南高考，文18)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)g(x)＝f－f的單調遞增區(qū)間． 考向分析 三角函數(shù)的圖象與性質是高考考查的重點及熱點內(nèi)容，主要從以下三個方面進行考查： 1．三角函數(shù)的概念與誘導公式，主要以選擇、填空題的形式為主． 2．三角函數(shù)的圖象，主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定函數(shù)解析式問題，主要以選擇、填空題的形式考查，有時也會出現(xiàn)大題． 3．三角函數(shù)的性質，通常是給出函數(shù)解析式，先進行三角變換，將其轉化為y＝Asin(ωx

3、＋φ)的形式再研究其性質，或知道某三角函數(shù)的圖象或性質求其解析式，再研究其他性質，既有直接考查的客觀題，也有綜合考查的主觀題． 熱點例析 熱點一　三角函數(shù)的概念 【例1】已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝(　　)． A．－ B．－ C. D. 規(guī)律方法 當已知角的終邊所經(jīng)過的點或角的終邊所在的直線固定時，通常先根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義求這個角的三角函數(shù)． 特別提醒：(1)當角的終邊經(jīng)過的點不固定時，需要進行分類討論，特別是當角的終邊在過坐標原點的一條直線上時，根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，要把這條直線看做兩

4、條射線，分別求解． (2)在利用誘導公式和同角三角函數(shù)關系式時，一定要特別注意符號，一定要理解“奇變偶不變，符號看象限”的意思；同角三角函數(shù)的平方關系中，開方后的符號要根據(jù)角所在的象限確定． 變式訓練1 (2020·福建莆田高三質檢，11)已知角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓交點的橫坐標是－，若α∈(0，π)，則tan α＝__________. 熱點二　三角函數(shù)圖象及解析式 【例2】如圖，根據(jù)函數(shù)的圖象，求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的解析式． 規(guī)律方法 由部分圖象確定函數(shù)解析式問題解決的關鍵在于確定參數(shù)A，ω，φ，其

5、基本方法是在觀察圖象的基礎上，利用待定系數(shù)法求解．若設所求解析式為y＝Asin(ωx＋φ)，則在觀察圖象的基礎上，可按以下規(guī)律來確定A，ω，φ.(1)一般可由圖象上的最大值、最小值來確定|A|，或代入點的坐標解關于A的方程；(2)因為T＝，所以往往通過求周期T來確定ω.可通過已知曲線與x軸的交點確定周期T，或者相鄰的兩個最高點與最低點之間的距離為；相鄰的兩個最高點(或最低點)之間的距離為T；(3)從尋找五點法中的第一零點(也叫初始點)作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一零點的位置，或者在五點中找兩個特殊點列方程組解出φ.(4)代入點的坐標，通過解三角方程，再結合圖象確定ω，φ. 特別提醒：

6、求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，最難的是求φ，第一零點常常用來求φ，只要找準第一零點的橫坐標，列方程就能求出φ.若對A，ω的符號或對φ的范圍有要求，可用誘導公式變換，使其符合要求． 變式訓練2 (2020·福建泉州質檢，8)下圖所示的是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)圖象的一部分，則其函數(shù)解析式是(　　)． A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 熱點三　三角函數(shù)圖象變換 【例3】(2020·四川綿陽高三三診，10)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可由函數(shù)y＝cos x的圖象

7、(縱坐標不變)(　　)． A．先把各點的橫坐標縮短到原來的倍，再向左平移個單位 B．先把各點的橫坐標縮短到原來的倍，再向右平移個單位 C．先把各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位 D．先把各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移個單位 規(guī)律方法 圖象變換理論： (1)平移變換 ①沿x軸平移，按“左加右減”法則； ②沿y軸平移，按“上加下減”法則； (2)伸縮變換 ①沿x軸伸縮時，橫坐標x伸長(0＜ω＜1)或縮短(ω＞1)為原來的(縱坐標y不變)； ②沿y軸伸縮時，縱坐標y伸長(A＞1)或縮短(0＜A＜1)為原來的A倍(橫坐標x不變)． 特別提醒：對于圖象

8、的平移和伸縮變換都要注意對應解析式是在x或在y的基礎上改變了多少，尤其當x與y前的系數(shù)不為1時一定要將系數(shù)提出來再判斷． 變式訓練3 (2020·合肥八中沖刺卷，文7)若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)滿足對任意x∈R有f＝f成立，則φ的值可能是(　　)． A. B. C. D. 熱點四　三角函數(shù)圖象與性質的綜合應用 【例4】(2020·上海浦東新區(qū)模擬，19)已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x. (1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求方程g(x)＝1的解．

9、 規(guī)律方法 求解三角函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期、最值、單調區(qū)間等問題時，通常要運用各種三角函數(shù)公式，通過恒等變換(降冪、輔助角公式應用)將其解析式化為y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，且A＞0，ω≠0)的形式，再研究其各種性質． 有關常用結論與技巧： (1)我們往往運用整體換元法來求解單調性與對稱性，求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω≠0)的單調區(qū)間時一定要注意ω的取值情況，若ω＜0，則最好用誘導公式轉化為－ω＞0后再去求解，否則極易出錯． (2)①函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函數(shù)φ＝kπ

10、(k∈Z)，是偶函數(shù)φ＝kπ＋(k∈Z)； ②函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函數(shù)φ＝kπ＋(k∈Z)，是偶函數(shù)φ＝kπ(k∈Z)； ③函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函數(shù)φ＝kπ(k∈Z)． (3)對y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，且A＞0，ω≠0)結合函數(shù)圖象可觀察出如下幾點： ①函數(shù)圖象的對稱軸都經(jīng)過函數(shù)的最值點，對稱中心的橫坐標都是函數(shù)的零點； ②相鄰兩對稱軸(對稱中心)間的距離都是半個周期； ③圖象上相鄰兩個最大(小)值點之間的距離恰好等于一個周期． 變式訓練4 (2020·重慶高三模擬，17)已知函數(shù)f(x)＝4

11、sin ωxsin2＋cos 2ωx，其中ω＞0. (1)當ω＝1時，求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，求ω的取值范圍． 思想滲透 整體代換思想——三角函數(shù)性質問題 (1)求函數(shù)的對稱軸、對稱中心； (2)求函數(shù)的單調區(qū)間． 求解時主要方法為： (1)關于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的對稱性，一般可利用正弦、余弦曲線的對稱性，把ωx＋φ看成x，整體代換求得． (2)求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，且A＞0，ω≠0)的單調區(qū)間的步驟如下： ①若ω＞0，把ωx＋φ看成一個整體，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤

12、＋2kπ(k∈Z)解得x的集合，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)解得x的集合，所得區(qū)間即為減區(qū)間． ②若ω＜0，可先用誘導公式變?yōu)閥＝－Asin(－ωx－φ)，則y＝Asin(－ωx－φ)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間． 【典型例題】已知函數(shù)f(x)＝cos2，g(x)＝1＋sin 2x. (1)設x＝x0是函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對稱軸，求g(x0)的值； (2)求函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)的單調遞增區(qū)間． 解：(1)由題設知f(x)＝. 因為x＝x0是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對稱軸， 所以2x0＋＝kπ(k∈Z)，即

13、2x0＝kπ－(k∈Z)． 所以g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin. 當k為偶數(shù)時，g(x0)＝1＋sin＝1－＝； 當k為奇數(shù)時，g(x0)＝1＋sin＝1＋＝. (2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝＋1＋sin 2x ＝＋ ＝＋ ＝sin＋. 當2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)時， 函數(shù)h(x)＝sin＋是增函數(shù)． 故函數(shù)h(x)的單調遞增區(qū)間是(k∈Z)． 1．(2020·山東青島一模，8)將函數(shù)y＝cos的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸是(　　)． A．

14、x＝ B．x＝ C．x＝π D．x＝ 2．(2020·湖北孝感二模，8)若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點和最低點，且·＝0，則A·ω＝(　　)． A.π B.π C. D.π 3．(2020·天津寶坻質檢，4)設函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且f(x)－f(－x)＝0，則(　　)． A．f(x)在上是增函數(shù) B．f(x)在上是減函數(shù) C．f(x)在上是增函數(shù) D．f(x)在上是減函數(shù) 4．(2020·湖北武

15、漢4月調研，7)已知函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(0)＝(　　)． A．－ B．－1 C．－ D．－ 5．已知角α的頂點在原點，始邊與x軸正半軸重合，點P(－4m,3m)(m＜0)是角α終邊上一點，則2sin α＋cos α＝________. 6．已知函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，則f(x)的值域是__________． 7．(2020·安徽太和一中沖刺卷，文16)已知向量a＝與b＝共線，且有函數(shù)y＝f(x)． (1)若f(x)＝1，求cos的值； (2)在△ABC中，角A，B，C的對邊

16、分別是a，b，c，且滿足2acos C＋c＝2b，求函數(shù)f(B)的取值范圍． 8.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的一部分如圖所示． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)當x∈時，求函數(shù)y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值與最小值及相應的x的值． 參考答案 命題調研·明晰考向 真題試做 1．C　解析：∵f(x)＝sin是偶函數(shù)，∴f(0)＝±1. ∴sin＝±1. ∴＝kπ＋(k∈Z)． ∴φ＝3kπ＋(k∈Z)． 又∵φ∈[0,2π]，∴當k＝0時，φ＝.故選C. 2．C　解析：∵y＝cos(2x＋1)＝cos， ∴只須將y＝cos 2x的圖象向左平

17、移個單位即可得到y(tǒng)＝cos(2x＋1)的圖象． 3．D　解析：f(x)＝sin ωx的圖象向右平移個單位長度得： y＝sin. 又所得圖象過點，∴sin＝0. ∴sin＝0.∴＝kπ(k∈Z)．∴ω＝2k(k∈Z)． ∵ω＞0，∴ω的最小值為2. 4．解：(1)由題中圖象知，周期T＝2＝π， 所以ω＝＝2， 因為點在函數(shù)圖象上， 所以Asin＝0，即sin＝0. 又因為0＜φ＜，所以＜＋φ＜， 從而＋φ＝π，即φ＝. 又點(0,1)在函數(shù)圖象上， 所以Asin ＝1，得A＝2. 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2sin. (2)g(x)＝2sin－2sin ＝

18、2sin 2x－2sin ＝2sin 2x－2 ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間是，k∈Z. 精要例析·聚焦熱點 熱點例析 【例1】 B　解析：(方法1)在角θ終邊上任取一點P(a,2a)(a≠0)， 則r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2，∴cos 2θ＝＝， ∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－1＝－. (方法2)由方法1知 tan θ＝＝2，cos 2θ＝＝＝－. 【變式訓練1】 －　解析：由三角函數(shù)定義可知cos α＝－， 又α∈(0，π)

19、，故sin α＝＝， 所以tan α＝＝－. 【例2】 解：由圖象可知A＝2，T＝2×[6－(－2)]＝16，即＝16， ∴ω＝.∴y＝2sin. 又∵點(2，－2)在曲線上，代入得2sin＝－2， ∴sin＝－1. ∴＋φ＝2kπ－，k∈Z. ∴φ＝2kπ－，k∈Z. 又∵|φ|＜π，∴k＝0時，φ＝－. ∴函數(shù)解析式為y＝2sin. 【變式訓練2】 A　解析：由圖象可知A＝1，＝－＝， ∴T＝2π.∴ω＝＝1. 又可看做“五點法”作圖的第二個點， ∴＋φ＝. ∴φ＝.∴y＝sin. 【例3】 B　解析：由題中圖象可知A＝1，＝－＝， ∴T＝π.∴ω＝＝2.

20、 又可看做“五點法”作圖的第二個點， ∴＋φ＝.∴φ＝. ∴y＝sin. 由函數(shù)y＝cos x的圖象(縱坐標不變)上各點的橫坐標縮短到原來的倍，可得y＝cos 2x的圖象，再向右平移個單位可得y＝cos2＝cos＝cos＝sin＝sin的圖象． 【變式訓練3】 A　解析：x＝為函數(shù)的對稱軸，所以2·＋φ＝kπ＋，φ＝kπ＋，k∈Z，只有A符合． 【例4】 解：(1)f(x)＝sin＋1， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得： f(x)的單調遞增區(qū)間是(k∈Z)． (2)由已知，g(x)＝sin＋1， 由g(x)＝1，得sin＝0， ∴x＝＋(k∈Z)． 【變式訓練4

21、】 解：(1)由題可知： f(x)＝4sin ωx·＋cos 2ωx＝2sin ωx＋1. 當ω＝1時，f(x)＝2sin x＋1，則函數(shù)f(x)的最小正周期為2π. (2)由(1)知：f(x)＝2sin ωx＋1，欲使f(x)在上單調遞增，結合y＝2sin ωx＋1的圖象， 則有，于是ω∈. 創(chuàng)新模擬·預測演練 1．D　解析：函數(shù)y＝cos的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)＝cos的圖象，再向左平移個單位，得函數(shù)y＝cos＝cos的圖象，令x－＝kπ，即x＝2kπ＋，k∈Z. 令k＝0，則x＝. 2．A　解析：由圖象可知＝－＝， ∴T＝π.∴ω＝＝2

22、. 又M，N，·＝0， ∴×－A2＝0. ∴A＝.∴A·ω＝. 3．B　解析：由f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ) ＝sin(ωx＋φ＋)，又最小正周期為π，∴ω＝＝2. f(x)＝sin(2x＋φ＋)． ∵f(－x)＝f(x)， ∴φ＋＝kπ＋，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z. 由題意φ＝. f(x)＝sin＝cos 2x. 當0＜2x＜π，即0＜x＜時，f(x)單調遞減． 當－π＜2x＜0，即－＜x＜0時，f(x)單調遞增． 4．B　解析：由圖象可知A＝2，圖象過點，可看做“五點法”作圖的第二個點，故2×＋φ＝，φ＝－， ∴f(x)＝2sin. 故f

23、(0)＝2sin＝－1. 5．－　解析：∵P(－4m,3m)(m＜0)， ∴r＝＝5|m|， 由m＜0得r＝－5m， ∴sin α＝＝－，cos α＝＝. ∴2sin α＋cos α＝－. 6.　解析：當sin x≥cos x時，f(x)＝cos x，當sin x＜cos x時，f(x)＝sin x．同時畫出y＝sin x與y＝cos x在一個周期內(nèi)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象始終取y＝sin x與y＝cos x兩者下方的圖象，結合圖象可得f(x)∈. 7．解：(1)∵a與b共線， ∴＝， y＝sincos＋cos2 ＝sin x＋(1＋cos x)＝sin＋. ∴f(x)

24、＝sin＋＝1，即sin＝， cos＝cos 2 ＝2cos2－1＝2sin2－1＝－. (2)已知2acos C＋c＝2b， 由正弦定理得， 2sin Acos C＋sin C＝2sin B＝2sin(A＋C)， 2sin Acos C＋sin C＝2sin Acos C＋2cos Asin C. ∴cos A＝.∴在△ABC中，A＝， 即f(B)＝sin＋. ∵A＝，∴0＜B＜，＜B＋＜. ∴＜sin≤1,1＜f(B)≤. ∴函數(shù)f(B)的取值范圍為. 8．解：(1)由圖象知A＝2，＝2T＝8＝， ∴ω＝，得f(x)＝2sin. 由×1＋φ＝φ＝. ∴f(x)＝2sin. (2)y＝2sin＋2sin ＝2sin＋2cos ＝2sin＝2cosx. ∵x∈， ∴x∈. ∴當x＝－，即x＝－時，y取最大值；當x＝－π，即x＝－4時，y取最小值－2.