云南省曲靖市沾益四中2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期周測(cè)試題 理（重點(diǎn)班）

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1、云南省曲靖市沾益四中2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期周測(cè)試題（重點(diǎn)班）理 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．設(shè)全集為R,集合，，則 A． B． C． D． 2．若，則 A. B. C. D. 3．已知數(shù)列{an}各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足，，，則數(shù)列{an}的前3項(xiàng)的和等于 A．7 B．15 C．31 D．63 4．古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底研究過這樣一個(gè)幾何圖形(如圖)：分別以等腰直角三角形的三邊為直徑作半圓.則在整個(gè)圖形內(nèi)任意取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在陰影部分的概率為

2、 A．　 B．　 C． D． 5. 的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為 A. -8　　　B. -6　　　C. 8　　　D. 6 6．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則 A. 　　 B. 　　 C. 　　D. 7．函數(shù)的圖象大致形狀為 ８．如圖，幾何體是一個(gè)三棱臺(tái)，在6個(gè)頂點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)確定平面， ，且，則所取的這3個(gè)點(diǎn)可以是 A． B． C． D． 9.某程序框圖如圖所示，其中，若輸出的，則判斷框內(nèi)可以填入的條件為 A．n＜2020？ B．n≤2020？ C．n＞2020？ D．n≥2020

3、？ 10. 雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則△PFO的外接圓方程是 A. B. C. D. 11．已知函數(shù)，則 A. 　　　　B. C. 　　　　D. 12．已知函數(shù)(＞0)，，且都有，滿足的實(shí)數(shù)有且只有３個(gè)，給出下述四個(gè)結(jié)論： ①滿足題目條件的實(shí)數(shù)有且只有１個(gè)；?、跐M足題目條件的實(shí)數(shù)有且只有１個(gè)； ③在()上單調(diào)遞增；　　　 　④的取值范圍是． 其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是 A. ①④　　　B. ②③　　　C. ①②③　　　D. ①③④ 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4、13. 如圖，在平行四邊形OACB中，E，F(xiàn)分別為AC和BC上的點(diǎn)，且. ，其中m，n∈R，則m+n的值為________． 14．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，，則___________. 15．設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限.若為直角三角形，則的坐標(biāo)為___________. 16．學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為在圓錐底部挖去一個(gè)正方體后的剩余部分(正方體四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐母線上，四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上)，圓錐底面直徑為cm,高為10cm．打印所用原料密度為，不考慮打印

5、損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________.(π取3.14) 三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17.(本小題滿分12分) 某城市在進(jìn)行創(chuàng)建文明城市的活動(dòng)中，為了解居民對(duì)“創(chuàng)文”的滿意程度，組織居民給活動(dòng)打分(分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分為 100分)，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為120的樣本，發(fā)現(xiàn)所有數(shù)據(jù)均在[40，100]內(nèi)．現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成以下6組并畫出了樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示．觀察圖形，回答下列問題： (1)算出第三組[60，70)的頻數(shù)，并補(bǔ)全頻率分布直方圖； (2)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣

6、本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表) 18.(本小題滿分12分) 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知． (1)求； (2)若，求面積的取值范圍． 19. (本小題滿分12分) 如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥底面ABCD,ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且SA=1，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn). (1)求證：SC⊥AM； (2)求平面與平面所成銳二面角的大小. 20.(本小題滿分12分) 已知函數(shù). (1)若在是單調(diào)函數(shù)，求的值； (2)若對(duì)，恒成立，求的取值范圍． 21.(本小題滿分12分) 已知曲線C：y=的焦點(diǎn)是，是曲線C上不同兩點(diǎn)，且存在

7、實(shí)數(shù)使得，曲線C在點(diǎn)處的兩條切線相交于點(diǎn)Ｄ． (1)求點(diǎn)Ｄ的軌跡方程； (2)點(diǎn)E在軸上，以為直徑的圓與的另一交點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求四邊形ADBE的面積. 請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系下，方程的圖形為如圖所示的“幸運(yùn)四葉草” ，又稱為玫瑰線 . （1） 當(dāng)玫瑰線的時(shí)，求以極點(diǎn)為圓心的單位圓與玫瑰線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)； (2)求曲線上的點(diǎn)M與玫瑰線上的點(diǎn)N距離的最小值及取得最小值時(shí)的點(diǎn)M、N的極坐標(biāo)(不必寫詳細(xì)解題過程).

8、 23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講 若關(guān)于x的不等式的解集為[－6,2]． (1)求實(shí)數(shù)m，n的值； (2)若實(shí)數(shù)y，z滿足，求證：． 2020屆四省名校高三第一次大聯(lián)考 理數(shù)參考答案 一、選擇題 1．B【解析】由，得.由，得，再得，所以.故選Ｂ． 2．D【解析】，.故選D． 3．A【解析】，，則{an}為等比數(shù)列，由得，則前三項(xiàng)依次是1，2，4，故前三項(xiàng)的和等于7.故選Ａ． 4．C【解析】設(shè)等腰直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)度都等于２，則斜邊長(zhǎng)等于，則整個(gè)圖形的面積，陰影區(qū)域的面積，所以所求概率.故選Ｃ． 5.D【解

9、析】展開合并同類項(xiàng)后，含x3的項(xiàng)是.故選D． 6．A【解析】，切點(diǎn)為．　，切線斜率，則切線方程為．已知切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，.故選A． 7．B【解析】，f(x)為奇函數(shù)，排除C，D；時(shí)，排除A.故選B. ８．C【解析】已知是三棱臺(tái)，則,，又已知，平面經(jīng)過時(shí), ,選項(xiàng)C符合要求，容易判斷其他選項(xiàng)均不符合要求.故選C. 9.A【解析】由S==(1﹣)+()+…+()=1﹣，解得n=2020.可得n的值為2020時(shí)，滿足判斷框內(nèi)的條件，當(dāng)n的值為2020時(shí)，不滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出S的值．故判斷框內(nèi)可以填入的條件為“n＜2020？”.故選A． 10. A【解析】由題意得，雙曲

10、線漸近線方程是.當(dāng)P在漸近線y=x上時(shí)，因，則△PFO是等腰直角三角形，是△PFO外接圓的直徑，中點(diǎn)的坐標(biāo)是，外接圓半徑，則外接圓方程是，即．同理，當(dāng)P在C的另一條漸近線上時(shí)，結(jié)果是一致的.故選Ａ． 11．C【解析】,則是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)．易知函數(shù)在上遞增，用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)在上遞增，從而可知函數(shù)在上遞增．，，． ．，，則，故．所以，，即.故選Ｃ． 12．D【解析】 ，.設(shè)進(jìn)行替換，作的圖象如下： 在上滿足的實(shí)數(shù)有且只有３個(gè)，即函數(shù)在上有且只有３個(gè)零點(diǎn)，由圖象可知，，結(jié)論④正確；由圖象知，在上只有一個(gè)最小值點(diǎn)，有一個(gè)或兩個(gè)最大值點(diǎn)，結(jié)論①正確，結(jié)論②錯(cuò)誤；時(shí)，，由知，所以在上遞增，

11、則在()上單調(diào)遞增，結(jié)論③正確．綜上，正確的有①③④.故選Ｄ． 二、填空題 13.【解析】 分別是兩邊的中點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，則是的一個(gè)四等分點(diǎn)，，所以，． 14．【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為，則 ．所以，，． 15．或【解析】，．當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，，設(shè)，在橢圓上，則，解得．當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在以為直徑的圓周上，此圓周的方程是，與聯(lián)立解得，，∵在第一象限，則．綜上，的坐標(biāo)為或． 16．358.5【解析】設(shè)被挖去的正方體的棱長(zhǎng)為x cm，圓錐底面半徑為r，則，x=5，所以，制作該模型所需材料質(zhì)量約為. 三、解答題 17.解:(1)因?yàn)楦鹘M的頻率之和等于1，所以分?jǐn)?shù)在[60，

12、70)內(nèi)的頻率為 1﹣10(0.005+0.015+0.030+0.025+0.010)＝0.15，(2分) 所以第三組[60，70)的頻數(shù)為120×0.15＝18(人)．(3分) 完整的頻率分布直方圖如圖． (5分) (2)因?yàn)楸姅?shù)的估計(jì)值是頻率分布直方圖中最高矩形的中點(diǎn)， 從圖中可看出眾數(shù)的估計(jì)值為75分．(7分) ,, 設(shè)樣本中位數(shù)為,則, , 解得.(9分) 又根據(jù)頻率分布直方圖，樣本的平均數(shù)的估計(jì)值為： 45×(10×0.005)+55×(10×0.015)+65×(10×0.015)+75×(10×0.03)+85×(10×0.025)+95×(10×0.0

13、1)＝73.5(分)． 所以樣本的眾數(shù)為75分，中位數(shù)為75分，平均數(shù)為73.5分． (12分) 18．解：(1) ． 由正弦定理，得，(4分) 已知，且， 則，所以， 所以，．(６分)　 (2) 法一：由正弦定理，．，． ． 則，． (12分)　 法二：，，由余弦定理，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)． ．當(dāng)或時(shí)，. 所以面積的取值范圍是．(12分) 19．解：(1)由題意底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AD＝1，CD?平面ABCD， ∴SA⊥CD， ∵CD⊥AD，AD∩SA＝A，∴CD⊥平面SAD .(2分) ∵AM?平面SAD，∴C

14、D⊥AM， (3分) 又SA＝AD＝1，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，∴AM⊥SD， (4分) ∵SD∩CD＝D，∴AM⊥平面SCD，(5分) ∵SC?平面SCD，∴SC⊥AM． (6分) (2)法一：由題知兩兩垂直, 以為軸建立空間直角坐標(biāo)系． 　　　　 (7分) 則，，，． ，則是平面的一個(gè)法向量，；(8分) 由(1)知AM⊥平面SCD， ∴是平面SCD的一個(gè)法向量，且，(9分) ∴．(11分) ∴平面與平面所成銳二面角的大小等于．(12分) 法二：過引直線，使，則， ∴在平面內(nèi)，在平面內(nèi)， ∴就是平面與平面所成二面角的棱．(８分) 由條件知，，，已知，則． 由作

15、法知，，則， ∴，， ∴就是平面與平面所成銳二面角的平面角.　(10分) 在中，, ∴平面與平面所成銳二面角的大小等于．(12分) 20.解：(1)，， 令，解得，．(1分) 時(shí)，，在R上單調(diào)，則在上也單調(diào)． 時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題目要求． 時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題目要求． 綜上，．(4分) (2)以導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為界點(diǎn)討論： ①時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上恒成立(5分) ②時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上恒成立(6分) ③時(shí)，，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上恒成立(7分) ④時(shí)，在上

16、單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增， 在上恒成立 整合①②③④，在上恒成立(9分) 在平面直角坐標(biāo)系中作出不等式組表示的平面區(qū)域(可行域)如下圖： 設(shè)，則，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，截距最大，此時(shí)最大. 由解得最優(yōu)解，則．(11分) 當(dāng)直線向軸負(fù)方向無限平移時(shí)，截距，此時(shí)． 所以，的取值范圍是．(12分) 21.解：(1)曲線C：就是拋物線，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為． 存在實(shí)數(shù)使得，則三點(diǎn)共線， 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不符合題意； 當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為， 與聯(lián)立消去，整理得，判別式． 設(shè)，則就是方程的兩實(shí)根，， ． ，，切線斜率，則曲線C在點(diǎn)處的切線方程是，即 ①． 同理得

17、曲線C在點(diǎn)處的切線方程是 ②．(2分) 聯(lián)立①②即可求解兩切線交點(diǎn)Ｄ的坐標(biāo)． ①②：． 已知，，所以，上式化簡(jiǎn)為(表示水平直線，不必求)． 所以，兩切線交點(diǎn)Ｄ的軌跡方程是．(4分) (2)已知，在(1)的解答的基礎(chǔ)上， ． ，代入中，解得，注意到對(duì)稱性，求四邊形ADBE面積，只需取即可．(6分) ． 設(shè)中點(diǎn)為，則，． 已知點(diǎn)在以為直徑的圓周上，則， 設(shè)，由,得,解得，則． 將直線的方程化為，則點(diǎn)到的距離 ． 所以，(8分) 在(1)的解答中，聯(lián)立①②消去解得，則兩切線交點(diǎn)坐標(biāo)為． 時(shí)，，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，到的距離 ． 所以，(10分) 又已知在兩側(cè)， 所以(12分) 22.解：(1)以極點(diǎn)為圓心的單位圓為與聯(lián)立，得， 所以，因?yàn)椋裕? 從而交點(diǎn)的極坐標(biāo)為和. (5分) （2） 曲線的直角坐標(biāo)方程為， 玫瑰線極徑的最大值為2，且可于N取得， 連接O,N,與垂直且交于點(diǎn)M. 所以距離的最小值為,(8分) 此時(shí)M,N.(10分) 23.解：(1)由，得，即， 則解得(5分) (2)由(1)可知，， 又因?yàn)?1， 所以．(10分)