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1、2.2第1課時(shí) 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
一、選擇題
1．平面上到點(diǎn)A(－5,0)、B(5,0)距離之和為10的點(diǎn)的軌跡是( )
A．橢圓 B．圓
C．線段 D．軌跡不存在
[答案] C
[解析] 兩定點(diǎn)距離等于定常數(shù)10，所以軌跡為線段．
2．橢圓ax2＋by2＋ab＝0(a－b>0，∴＋＝1，
焦點(diǎn)在y軸上，c＝＝
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)
3．已知
2、橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上．若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為( )
A. B．3 C. D.
[答案] D
[解析] a2＝16，b2＝9?c2＝7?c＝.
∵△PF1F2為直角三角形．
∴P是橫坐標(biāo)為±的橢圓上的點(diǎn)．(P點(diǎn)不可能是直角頂點(diǎn))
設(shè)P(±，|y|)，把x＝±代入橢圓方程，知＋＝1?y2＝?|y|＝.
4．橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是( )
A．± B．±
C．± D．±
[答案] C
[解析] 設(shè)F
3、1(－3,0)∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為3代入＋＝1得＝1－＝，y2＝，∴y＝±
5．橢圓＋y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則|PF2|＝( )
A. B. C. D．4
[答案] C
[解析] 如圖所示，由＋y2＝1知，F(xiàn)1、F2的坐標(biāo)分別為(－，0)、(，0)，即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xp＝－，代入橢圓方程得yp＝，
∴|PF1|＝，
∵|PF1|＋|PF2|＝4.
∴|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝.
6．(09·陜西理)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的( )
A．充分而不必要條件 B
4、．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
[答案] C
[解析] 方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓?>>0?m>n>0.故選C.
7．橢圓＋＝1的焦距是2，則m的值是( )
A．5 B．3或8 C．3或5 D．20
[答案] C
[解析] 2c＝2，c＝1，故有m－4＝12或4－m＝12，∴m＝5或m＝3且同時(shí)都大于0，故答案為C.
8．過橢圓4x2＋y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)F1的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則A、B與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2構(gòu)成△ABF2的周長(zhǎng)是( )
A．2 B．4 C. D．2
[答案] B
[
5、解析] ∵|AF1|＋|AF2|＝2，|BF1|＋|BF2|＝2，
∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4，
即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4.
9．已知橢圓的方程為＋＝1，焦點(diǎn)在x軸上，則m的取值范圍是( )
A．－4≤m≤4 B．－44或m<－4 D．0
6、C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
[答案] D
[解析] 頂點(diǎn)C滿足|CA|＋|CB|＝10>|AB|，由橢圓定義知2a＝10,2c＝8
所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，
故橢圓方程為＋＝1(y≠0)．
二、填空題
11．如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則b2＝______.
[答案] 2
[解析] 由題意S△POF2＝c2＝，則c2＝4?c＝2
∴P＝(1，)代入橢圓方程＋＝1中得，
＋＝1，求出b2＝2.
12．已知A(－，0)，B是圓F：(x－) 2＋y2＝4(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)
7、，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為____________．
[答案] x2＋y2＝1
[解析] 如圖所示，由題意知，|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2，
∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|，
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓，a＝1，c＝，b2＝.
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋＝1，即x2＋y2＝1.
13．(08·浙江)已知F1、F2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________.
[答案] 8
[解析] (|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|
8、BF2|)
＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20，∴|AB|＝8.
14．如圖，把橢圓＋＝1的長(zhǎng)軸AB分成8等份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________.
[答案] 35
[解析] 設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F′，由橢圓的對(duì)稱性知，
|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，
∴原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋(|P4F|＋|P4F′|)＝7a＝35.
三、解答題
15．
9、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)．
(2)坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并且經(jīng)過兩點(diǎn)A(0,2)，B(，)
[解析] (1)由于橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)
由于橢圓經(jīng)過點(diǎn)(0,2)和(1,0)，
∴?
故所求橢圓的方程為＋x2＝1.
(2)設(shè)所求橢圓的方程為＋＝1(m>0，n>0)．
∵橢圓過A(0,2)，B(，)，
∴解得
∴所求橢圓方程為x2＋＝1.
16．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)，a＝3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
[解析] 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為＋＝1(a>b>0)．由
10、橢圓過點(diǎn)P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，代入得b2＝1，a2＝9，故橢圓的方程為＋y2＝1.
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為＋＝1(a>b>0)．
由橢圓過點(diǎn)P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，聯(lián)立解得a2＝81，b2＝9，故橢圓的方程為＋＝1.
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋y2＝1.
17．已知m為常數(shù)且m>0，求證：不論b為怎樣的正實(shí)數(shù)，橢圓＋＝1的焦點(diǎn)不變．
[解析] ∵m>0，b2＋m>b2，∴焦點(diǎn)在x軸上，由＝，得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，由m為常數(shù)，得橢圓的焦點(diǎn)不變．
18．在面積為1的△PMN中，tanM＝，tanN＝－2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M、N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P(x0，y0)(y0>0)的橢圓方程．
[解析] 以線段MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)，MN所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系．
設(shè)M(－c,0)，N(c,0)，c>0，
又P(x0，y0)，y0>0.
由??P(，)．
設(shè)橢圓方程為＋＝1，又P在橢圓上，
故b2()2＋(b2＋)()2＝b2(b2＋)，
整理得3b4－8b2－3＝0?b2＝3.
所以所求橢圓方程為＋＝1.
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