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1、選修2-2 1.1 第1課時 變化率問題
一、選擇題
1.在平均變化率的定義中,自變量x在x0處的增量Δx( )
A.大于零 B.小于零
C.等于零 D.不等于零
[答案] D
[解析] Δx可正,可負,但不為0,故應(yīng)選D.
2.設(shè)函數(shù)y=f(x),當自變量x由x0變化到x0+Δx時,函數(shù)的改變量Δy為( )
A.f(x0+Δx) B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)
[答案] D
[解析] 由定義,函數(shù)值的改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故應(yīng)選D.
3.已知
2、函數(shù)f(x)=-x2+x,則f(x)從-1到-0.9的平均變化率為( )
A.3 B.0.29
C.2.09 D.2.9
[答案] D
[解析] f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2.
f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71.
∴平均變化率為==2.9,故應(yīng)選D.
4.已知函數(shù)f(x)=x2+4上兩點A,B,xA=1,xB=1.3,則直線AB的斜率為( )
A.2 B.2.3
C.2.09 D.2.1
[答案] B
[解析] f(1)=5,f(1.3)=5.69.
∴kAB===2.3,故應(yīng)
3、選B.
5.已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,函數(shù)f(x)從2到2+Δx的平均變化率為( )
A.2-Δx B.-2-Δx
C.2+Δx D.(Δx)2-2·Δx
[答案] B
[解析] ∵f(2)=-22+2×2=0,
∴f(2+Δx)=-(2+Δx)2+2(2+Δx)
=-2Δx-(Δx)2,
∴=-2-Δx,故應(yīng)選B.
6.已知函數(shù)y=x2+1的圖象上一點(1,2)及鄰近一點(1+Δx,2+Δy),則等于( )
A.2 B.2x
C.2+Δx D.2+(Δx)2
[答案] C
[解析] =
==2+Δx.故應(yīng)
4、選C.
7.質(zhì)點運動規(guī)律S(t)=t2+3,則從3到3.3內(nèi),質(zhì)點運動的平均速度為( )
A.6.3 B.36.3
C.3.3 D.9.3
[答案] A
[解析] S(3)=12,S(3.3)=13.89,
∴平均速度===6.3,故應(yīng)選A.
8.在x=1附近,取Δx=0.3,在四個函數(shù)①y=x、②y=x2、③y=x3、④y=中,平均變化率最大的是( )
A.④ B.③
C.② D.①
[答案] B
[解析] Δx=0.3時,①y=x在x=1附近的平均變化率k1=1;②y=x2在x=1附近的平均變化率k2
5、=2+Δx=2.3;③y=x3在x=1附近的平均變化率k3=3+3Δx+(Δx)2=3.99;④y=在x=1附近的平均變化率k4=-=-.∴k3>k2>k1>k4,故應(yīng)選B.
9.物體做直線運動所經(jīng)過的路程s可以表示為時間t的函數(shù)s=s(t),則物體在時間間隔[t0,t0+Δt]內(nèi)的平均速度是( )
A.v0 B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由平均變化率的概念知C正確,故應(yīng)選C.
10.已知曲線y=x2和這條曲線上的一點P,Q是曲線上點P附近的一點,則點Q的坐標為( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 點Q的
6、橫坐標應(yīng)為1+Δx,所以其縱坐標為f(1+Δx)=(Δx+1)2,故應(yīng)選C.
二、填空題
11.已知函數(shù)y=x3-2,當x=2時,=________.
[答案] (Δx)2+6Δx+12
[解析] =
=
=(Δx)2+6Δx+12.
12.在x=2附近,Δx=時,函數(shù)y=的平均變化率為________.
[答案]?。?
[解析] ==-=-.
13.函數(shù)y=在x=1附近,當Δx=時的平均變化率為________.
[答案] -2
[解析]?。剑剑剑?.
14.已知曲線y=x2-1上兩點A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),當Δx=1時,割線AB的斜率是_______
7、_;當Δx=0.1時,割線AB的斜率是________.
[答案] 5 4.1
[解析] 當Δx=1時,割線AB的斜率
k1====5.
當Δx=0.1時,割線AB的斜率
k2===4.1.
三、解答題
15.已知函數(shù)f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分別計算在區(qū)間[-3,-1],[0,5]上函數(shù)f(x)及g(x)的平均變化率.
[解析] 函數(shù)f(x)在[-3,-1]上的平均變化率為
==2.
函數(shù)f(x)在[0,5]上的平均變化率為
=2.
函數(shù)g(x)在[-3,-1]上的平均變化率為
=-2.
函數(shù)g(x)在[0,5]上的平均變化率為
=-2.
16.過
8、曲線f(x)=的圖象上兩點A(1,2),B(1+Δx,2+Δy)作曲線的割線AB,求出當Δx=時割線的斜率.
[解析] 割線AB的斜率k==
===-.
17.求函數(shù)y=x2在x=1、2、3附近的平均變化率,判斷哪一點附近平均變化率最大?
[解析] 在x=2附近的平均變化率為
k1===2+Δx;
在x=2附近的平均變化率為
k2===4+Δx;
在x=3附近的平均變化率為
k3===6+Δx.
對任意Δx有,k1<k2<k3,
∴在x=3附近的平均變化率最大.
18.(2020·杭州高二檢測)路燈距地面8m,一個身高為1.6m的人以84m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影點C處沿直線離開路燈.
(1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關(guān)系式;
(2)求人離開路燈的第一個10s內(nèi)身影的平均變化率.
[解析] (1)如圖所示,設(shè)人從C點運動到B處的路程為xm,AB為身影長度,AB的長度為ym,由于CD∥BE,
則=,
即=,所以y=f(x)=x.
(2)84m/min=1.4m/s,在[0,10]內(nèi)自變量的增量為
x2-x1=1.4×10-1.4×0=14,
f(x2)-f(x1)=×14-×0=.
所以==.
即人離開路燈的第一個10s內(nèi)身影的平均變化率為.