2020高中數(shù)學(xué) 1-5-1、2 曲邊梯形的面積 汽車行駛的路程同步檢測(cè) 新人教B版選修2-2

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1、選修2-2 1.5.1曲邊梯形的面積 1.5.2 汽車行駛的路程 一、選擇題 1.和式(yi+1)可表示為(  ) A.(y1+1)+(y5+1) B.y1+y2+y3+y4+y5+1 C.y1+y2+y3+y4+y5+5 D.(y1+1)(y2+1)…(y5+1) [答案] C [解析] (yi+1)=(y1+1)+(y2+1)+(y3+1)+(y4+1)+(y5+1)=y(tǒng)1+y2+y3+y4+y5+5,故選C. 2.在求由x=a,x=b(a

2、分點(diǎn)作x軸的垂線,把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形,下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是(  ) ①n個(gè)小曲邊梯形的面積和等于S; ②n個(gè)小曲邊梯形的面積和小于S; ③n個(gè)小曲邊梯形的面積和大于S; ④n個(gè)小曲邊梯形的面積和與S之間的大小關(guān)系無(wú)法確定 A.1個(gè)    B.2個(gè)    C.3個(gè)    D.4個(gè) [答案] A [解析] n個(gè)小曲邊梯形是所給曲邊梯形等距離分割得到的,因此其面積和為S.∴①正確,②③④錯(cuò)誤,故應(yīng)選A. 3.在“近似代替”中,函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi,xi+1]上的近似值等于(  ) A.只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi) B.只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi+

3、1) C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi,xi+1]) D.以上答案均不正確 [答案] C [解析] 由求曲邊梯形面積的“近似代替”知,C正確,故應(yīng)選C. 4.(2020·惠州高二檢測(cè))求由拋物線y=2x2與直線x=0,x=t(t>0),y=0所圍成的曲邊梯形的面積時(shí),將區(qū)間[0,t]等分成n個(gè)小區(qū)間,則第i-1個(gè)區(qū)間為(  ) A. B. C. D. [答案] D [解析] 在[0,t]上等間隔插入(n-1)個(gè)分點(diǎn),把區(qū)間[0,t]等分成n個(gè)小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為,故第i-1個(gè)區(qū)間為,故選D. 5.由直線x=1,y=0,x=

4、0和曲線y=x3所圍成的曲邊梯形,將區(qū)間4等分,則曲邊梯形面積的近似值(取每個(gè)區(qū)間的右端點(diǎn))是(  ) A. B. C. D. [答案] D [解析] s=× ==. 6.在等分區(qū)間的情況下,f(x)=(x∈[0,2])及x軸所圍成的曲邊梯形面積和式的極限形式正確的是(  ) A.·] B.·] C. D.·n] [答案] B [解析] 將區(qū)間[0,2]進(jìn)行n等分每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為,故應(yīng)選B. 二、填空題 7.直線x=0,x=2,y=0與曲線y=x2+1圍成的曲邊梯形,將區(qū)間[0,2]5等分,按照區(qū)間左端點(diǎn)和右端點(diǎn)估計(jì)梯形面積分別為_(kāi)____

5、___、________. [答案] 3.92 5.52 8.已知某物體運(yùn)動(dòng)的速度為v=t,t∈[0,10],若把區(qū)間10等分,取每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為近似小矩形的高,則物體運(yùn)動(dòng)的路程近似值為_(kāi)_______. [答案] 55 三、解答題 9.求直線x=0,x=2,y=0與曲線y=x2所圍成曲邊梯形的面積. [分析] 按分割,近似代替,求和,取極限四個(gè)步驟進(jìn)行. [解析] 將區(qū)間[0,2]分成n個(gè)小區(qū)間,則第i個(gè)小區(qū)間為. 第i個(gè)小區(qū)間的面積ΔSi=f·, ∴Sn=· ==(i-1)2 =[02+12+22+…+(n-1)2] =· =. S=Sn= =,

6、∴所求曲邊梯形面積為. [點(diǎn)評(píng)] 注意求平方和時(shí),用到數(shù)列中的一個(gè)求和公式.12+22+…+n2=.不要忘記對(duì)Sn求極限. 10.汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),經(jīng)過(guò)時(shí)間t所行駛的路程s=vt.如果汽車做變速直線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻t的速度為v(t)=t2+2(單位:km/h),那么它在1≤t≤2(單位:h)這段時(shí)間行駛的路程是多少? [分析] 汽車行駛路程類似曲邊梯形面積,根據(jù)曲邊梯形面積思想,求和后再求極限值. [解析] 將區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間,第i個(gè)小區(qū)間為. ∴Δsi=f·. sn=· = = =3n+[02+12+22+…+(n-1)2]+[0+2+4+6+…+2(

7、n-1)] =3++. s=sn= =. ∴這段時(shí)間行駛的路程為km. 11.求物體自由落體的下落距離:已知自由落體的運(yùn)動(dòng)速度v=gt,求在時(shí)間區(qū)間[0,t]內(nèi)物體下落的距離. [分析] →→→→ [解析] (1)分割:將時(shí)間區(qū)間[0,t]分成n等份. 把時(shí)間[0,t]分成n個(gè)小區(qū)間(i=1,2,…,n), 每個(gè)小區(qū)間所表示的時(shí)間段Δt=-t=,在各小區(qū)間物體下落的距離記作Δsi(i=1,2,…,n). (2)近似代替:在每個(gè)小區(qū)間上以勻速運(yùn)動(dòng)的路程近似代替變速運(yùn)動(dòng)的路程. 在上任取一時(shí)刻ξi(i=1,2,…,n),可取ξi使v(ξi)=gt近似代替第i個(gè)小區(qū)間上的速度,因

8、此在每個(gè)小區(qū)間上自由落體Δt=內(nèi)所經(jīng)過(guò)的距離可近似表示為Δsi≈g·(i=1,2,…,n). (3)求和:sn=si =· =[0+1+2+…+(n-1)] =gt2. (4)取極限:s= gt2=gt2. 12.求由直線x=1、x=2、y=0及曲線y=圍成的圖形的面積S. [解析] (1)分割 在區(qū)間[1,2]上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn),將它等分成n個(gè)小區(qū)間: ,,…,,記第i個(gè)區(qū)間為(i=1,2,…,n),其長(zhǎng)度為 Δx=-=. 分別過(guò)上述n-1個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線,把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形(如下圖),它們的面積記作:ΔS1,ΔS2,…,ΔSn,則小區(qū)邊梯形面積的和為

9、S=Si. (2)近似代替 記f(x)=.當(dāng)n很大,即Δx很小時(shí),在區(qū)間上,可以認(rèn)為f(x)=的值變化很小,近似地等于一個(gè)常數(shù),不妨認(rèn)為它等于f().從圖形上看,就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊.這樣,在區(qū)間上,用小矩形面積ΔSi′近似地代替ΔSi,即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”,則有ΔSi≈ΔSi′=fΔx=·=(i=1,2,…,n). (3)求和 小曲邊梯形的面積和Sn=Si≈Si′ ==++…+ =n-+-+…+- =n=.從而得到S的近似值S≈Sn=. (4)取極限 分別將區(qū)間[1,2]等分成8,16,20,…等份時(shí),Sn越來(lái)越趨向于S,從而有S=Sn=. ∴由直線x=1,x=2,y=0及曲線y=圍成的圖形的面積S為.

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