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1、2020高一數(shù)學(xué) 正弦定理學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo):
1. 掌握正弦定理及其證明,能夠運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題;
2. 提供適當(dāng)?shù)膯栴}情境,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
二、教學(xué)過程:
1、復(fù)習(xí)舊知:三角形函數(shù)定義
2、問題情境
從金字塔的建造到尼羅河兩岸的土地丈量,從大禹治水到都江堰的修建,從天文觀測到精密儀器的制造,人們都離不開對幾何圖形的測量、設(shè)計和計算.測量河流兩岸兩碼頭之間的距離,確定待建隧道的長度,確定衛(wèi)星的角度與高度等等,所有這些問題,都可以轉(zhuǎn)化為求三角形的邊或角的問題,這就需要我們進(jìn)一步探索三角形中的邊角關(guān)系.
探索1 我們前面學(xué)習(xí)過直
2、角三角形中的邊角關(guān)系,在Rt中,設(shè),那么邊角之間有哪些關(guān)系?
探索2 在Rt中,我們得到,對于任意三角形,這個結(jié)論還成立嗎?
3、學(xué)生活動
把學(xué)生分成兩組,一組驗證結(jié)論對于銳角三角形是否成立,另一組驗證結(jié)論對于鈍角三角形是否成立.
學(xué)生通過畫三角形、測量長度及角度,再進(jìn)行計算,得出結(jié)論成立.
教師再通過幾何畫板軟件進(jìn)行驗證(如圖1).對于驗證的結(jié)果不成立的情況,指出這是由于測量的誤差或者計算的錯誤造成的.引出課題——正弦定理.
四、問題解決:
探索3 這個結(jié)論對于任意三角形可以證明是成立的.不妨設(shè)為最大角,若為直角,我們已經(jīng)證明結(jié)論成立,如何證明為銳角、鈍角時結(jié)論成立?
3、
師生共同活動,注意啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生作輔助線,將銳角、鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形,進(jìn)而探索證明過程.
探索4 充分挖掘三角形中的等量關(guān)系,可以探索出不同的證明方法,我們知道向量也是解決問題的重要工具,因此能否從向量的角度來證明這個結(jié)論呢?
這里運用向量的數(shù)量積將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式,我們運用不同的方法證明了三角形中的一個重要定理.
探索5 這個式子中包含哪幾個式子?每個式子中有幾個量?它可以解決斜三角型中的哪些類型的問題?
正弦定理可以解決兩類三角形問題:
(1)
4、
(2)
五、數(shù)學(xué)運用
例題 在中:
(1)已知,,,求,,;
(2)已知,,,求,,;
(3)已知,,,解這個三角形.
學(xué)生思考:已知三角形的兩邊和其中一邊的對角,為什么分別會出現(xiàn)兩解、一解和無解的情況呢?
六、.課堂練習(xí):
1.(口答)一個三角形的兩角和邊分別是和,若角所對邊的長為8,那么角所對邊的長是 .
5、2. 在中:
(1)已知,求,;
(2)已知,求,.
3.根據(jù)下列條件解三角形:
(1),,
(2),,
七、課堂小結(jié)
八、課后作業(yè)
1、在中,已知,,,則 , .
2、在中,如果,,,那么 ,的面積是 .
3、在中,,,則 .
4、在△ABC中,已知∠B=,,則∠A的值是
5、△ABC中,,A=,則邊=
6、在△ABC中,已知,,∠A=,則∠B=
7、在△ABC中,,則∠A= ____
6、
8、在三角形ABC中,、、所對的角分別為A、B、C,且,則△ABC是 三角形。
9、在△ABC中,A=450,B=600,則
10、在△ABC中,,則=
拓展延伸
11、已知在△ABC中,=10,∠A=,∠C=,求,和∠B
12、在△ABC中,,∠B=,=1,求和∠A、∠C
13、在△ABC中,=15,=10,A=,CE、CF三等分∠C,求CE、CF的長。
14、已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊,S是△ABC的面積,若a=4,b=5,S=,求c的長度。