2020年高考數(shù)學(xué) 考點分析與突破性講練 專題16 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 理

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1、專題16 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 一、考綱要求: 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系. 3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算. 4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系. 5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題. 6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題． 二、概念掌握及解題上的注意點： 1.向量數(shù)量積的兩種計算方法 (1)當(dāng)已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos θ. (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，

2、即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. 2.向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用類型與求解策略 (1)求兩向量的夾角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]． (2)兩向量垂直的應(yīng)用：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|. (3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有 ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. ②|a±b|＝＝. ③若a＝(x，y)，則|a|＝. (4)射影的數(shù)量(投影) a在b上的投影|a| cos〈a，b〉＝. 三、高考考題題例分析： 例1．(2020·全國卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂

3、直，則m＝________. 【答案】7　 【解析】∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)． 又a＋b與a垂直，∴(a＋b)·a＝0， 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m＝7. 例2. (2020·北京高考)已知點P在圓x2＋y2＝1上，點A的坐標(biāo)為(－2,0)，O為原點，則·的最大值為________. 【答案】6　 【解析】法一：根據(jù)題意作出圖象，如圖所示，A(－2,0)，P(x，y)． 由點P向x軸作垂線交x軸于點Q，則點Q的坐標(biāo)為(x,0)． ·＝||||cos θ， ||＝2，||＝， cos

4、θ＝＝， 所以·＝2(x＋2)＝2x＋4. 點P在圓x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]． 所以·的最大值為2＋4＝6. 例3.(2020·全國卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________. 【答案】2. 【解析】法一：|a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝＝2. 法二：(數(shù)形結(jié)合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，則|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2. 例4(2020高考安徽，理8)是邊長為的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（） （A

5、）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】如圖， 例5(2020高考山東理數(shù))已知非零向量m，n滿足4│m│=3│n│，cos=.若n⊥（tm+n），則實數(shù)t的值為（） （A）4 （B）–4 （C） （D）– 【答案】B 【解析】：由，可設(shè)，又，所以 所以，故選B. 例6.(2020高考新課標(biāo)2理數(shù))已知向量，且，則（ ） （A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8 【答案】D 【解析】：向量，由得，解得，故選D. 例7.(2020天津，理13)在中，

6、，，.若，，且，則的值為___________. 【答案】 【解析】 ,則 例8.（2020課標(biāo)卷II）已知向量，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=（　?。? A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【解析】：向量，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=2﹣=2+1=3， 故選：B． 例9.（2020課標(biāo)卷III）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），則λ=　?。? 【答案】 平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí) 一、 選擇題： 1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝

7、 (　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C　 2．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b與b垂直，則|a|＝ (　　) A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】：由已知得2a－b＝(3，x)，而(2a－b)·b＝0?－3＋x2＝0?x2＝3，所以|a|＝＝＝2． 3．在邊長為1的等邊△ABC中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則a·b＋b·c＋c·a＝ (　　) A．－　　　　　　 B．0 C

8、． D．3 【答案】A　 【解析】：依題意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－. 4.線段AD，BE分別是邊長為2的等邊三角形ABC在邊BC，AC邊上的高，則·＝ (　　) A．－　　 　B．　 　　C．－　　 　D． 【答案】A　 【解析】：由等邊三角形的性質(zhì)得||＝||＝，〈，〉＝120°，所以·＝||||cos〈，〉＝××＝－，故選A. 5．已知＝(2,1)，點C(－1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為 (　　) A．－ B．－3 C． D．3 【答案

9、】C　 6．若向量a＝(2，－1)，b＝(3－x,2)，c＝(4，x)滿足(6a－b)·c＝8，則x等于 (　　) A．4　　 B．5 C．6　　　　D．7 【答案】D　 【解析】：因為6a－b＝(9＋x，－8)，所以(6a－b)·c＝36＋4x－8x＝8， 解得x＝7，故選D. 7．已知O為坐標(biāo)原點，向量＝(3sin α，cos α)，＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且⊥，則tan α的值為

10、 (　　) A．－ B．－ C． D． 【答案】A　 【解析】：由題意知6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，上述等式兩邊同時除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈， 則tan α<0，解得tan α＝－，故選A． 8.設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝4，a·b＝1，則|a－b|＝ (　　) A．2 B．2 C．3 D．2 【答案】B 【解析】：由|a＋b|＝4兩邊平方可

11、得|a|2＋|b|2＝16－2a·b＝14，則|a－b|＝＝＝＝2， 故選B． 9.已知平面向量a，b的夾角為120°，且a·b＝－1，則|a－b|的最小值為 (　　) A.　　　 B．　 　　C.　　 　D．1 【答案】 10．已知兩點A(－1,1)，B(3,5)，點C在曲線y＝2x2上運動，則·的最小值為 (　　) A．2 B． C．－2 D．－ 【答案】D 　【解析】：設(shè)C(x0,2x)，因為＝(4,4)，＝(x0＋1,2x－1)，所以·＝8x＋4x0＝8－≥－， 即·的最小值

12、為－，故選D. 11.O是平面上一點，動點P滿足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，則動點P的軌跡一定通過△ABC的 (　　) A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【解析】∵＝＝1， ∴λ表示與∠A的平分線共線的向量． 又＝＋λ， ∴－＝λ 即＝λ， ∴P一定在∠A的平分線上，即P點一定通過△ABC的內(nèi)心． 12．已知a，b均為單位向量，且a·b＝0．若|c－4a|＋|c－3b|＝5，則|c＋a|的取值范圍是

13、 (　　) A．[3， ]　 B．[3,5]　　 C．[3,4]　　 D．[，5] 【答案】B 【解析】：　∵a，b均為單位向量，且a·b＝0， ∴設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)， 二、 填空題： 13.設(shè)向量a與b的夾角為θ，若a＝(3，－1)，b－a＝(－1,1)，則cos θ＝________. 【答案】　 【解析】：由題意得向量b＝(b－a)＋a＝(2,0)，所以cos θ＝＝＝ 14．若非零向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b

14、)⊥(3a－b)，則a與b夾角的余弦值為________． 【答案】　 【解析】：由(a＋b)⊥(3a－b)可得(a＋b)·(3a－b)＝0，又|a|＝1，|b|＝2，則可得a·b＝，設(shè)a，b的夾角為θ，θ∈[0，π]，則cos θ＝＝. 15.已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為________ 【答案】 16．已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O(shè)為直角頂點的等腰直角三角形，則△OAB的面積為________. 【答案】1 【解析】：由題意得，|a|＝1，又△OAB是以O(shè)為直角頂點的等腰直角三角形，所以⊥，||＝||

15、.由⊥得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|， 由||＝||得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0. 所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2， 所以||＝||＝，故S△OAB＝××＝1. 三、 解答題: 17．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°. (1)計算：①|(zhì)a＋b|，②|4a－2b|； (2)當(dāng)k為何值時，(a＋2b)⊥(ka－b)． 【答案】(1) |a＋b|＝4；|4a－2b|＝16 (2) k＝－7 【解析】：由已知得，a·b＝4×8×＝－16. 18.如圖4-3-1，已知O為坐標(biāo)原點，向量＝

16、(3cos x,3sin x)，＝(3cos x，sin x)，＝(，0)，x∈. 圖4-3-1 (1)求證：(－)⊥； (2)若△ABC是等腰三角形，求x的值． 【答案】(2) x＝ 【解析】　(1)證明：－＝(0,2sin x)， ∴(－)·＝0×＋2sin x×0＝0， ∴(－)⊥. (2)若△ABC是等腰三角形，則AB＝BC， ∴(2sin x)2＝(3cos x－)2＋sin2x， 整理得2cos2x－cos x＝0， 解得cos x＝0，或cos x＝. ∵x∈，∴cos x＝，x＝. 19.已知向量a＝，b＝，且x∈. (1)求a·b及|a＋b|；

17、 (2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值． 【答案】(1) a·b ＝cos 2x；|a＋b|＝2cos x. (2) 最小值－；最大值－1. 20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. (1)若m⊥n，求tan x的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． 【答案】(1) tan x＝1. (2) x＝. 【解析】：(1)因為m＝， n＝(sin x，cos x)，m⊥n. 所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0， 所以sin x＝cos x，所以tan x＝1. (2)因為

18、|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝， 即sin x－cos x＝，所以sin＝， 因為0＜x＜，所以－＜x－＜， 所以x－＝，即x＝. 21.已知函數(shù)f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R． (1)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)與n＝(2，sin C)共線，求邊長b和c的值． 【答案】(1) (k∈Z)． (2) b＝3，c＝2． 【解析】：(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x

19、＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos， 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)． 22．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(a－c)·＝c·. (1)求角B的大??； (2)若|－|＝，求△ABC面積的最大值． 【答案】(1) B＝. (2) (2)因為|－|＝，所以||＝， 即b＝，根據(jù)余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時取等號)， 即ac≤3(2＋)， 故△ABC的面積 S＝acsin B≤， 即△ABC的面積的最大值為.