2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)49 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型

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1、考點(diǎn)49 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型 一、選擇題 1.（2020·湖北高考理科·Ｔ8）如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓。在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【解題指南】本題考查幾何概型，解答的關(guān)鍵是充分利用圖形的特征，求出陰影部分的面積，再帶入概率公式求解. 【解析】選A. 設(shè)OA=2, 則扇形OAB面積為π.陰影部分的面積為: ,由可知結(jié)果. 2.（2020·湖北高考文科·Ｔ10）如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A

2、，OB為直徑作兩個(gè)半圓。在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【解題指南】本題考查幾何概型，解答的關(guān)鍵是充分利用圖形的特征，求出陰影部分的面積，再帶入概率公式求解. 【解析】選C. 設(shè)OA=2, 則扇形OAB面積為π.陰影部分的面積為: ,由可知結(jié)果. 3.（2020·北京高考文科·Ｔ3）與（2020·北京高考理科·Ｔ2）相同 設(shè)不等式組，表示平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（ ） （A） （B） （C

3、） （D） 【解題指南】分別求出平面區(qū)域D及到原點(diǎn)距離大于2的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積，作比即可求出概率. 【解析】選D.平面區(qū)域D的面積為4，到原點(diǎn)距離大于2的點(diǎn)位于圖中陰影部分所示，其面積為4-，所以概率為. 4.（2020·遼寧高考文科·Ｔ11）在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C. 現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC,CB的長(zhǎng)，則該矩形面積大于20cm2的概率為( ) (A) (B) (C) (D) 【解題指南】設(shè)其中一段長(zhǎng)為cm，則另一段長(zhǎng)為cm，其中cm， 利用求得的取值范圍，利用幾何概型求

4、得概率. 【解析】選C. 設(shè)其中一段AC長(zhǎng)為cm，則另一段BC長(zhǎng)為cm，其中cm 由題意，則點(diǎn)C的取值長(zhǎng)度8cm，故概率為. 5.（2020·遼寧高考理科·Ｔ10）在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，領(lǐng)邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32cm2的概率為（ ） (A) (B) (C) (D) 【解題指南】設(shè)其中一段長(zhǎng)為cm，則另一段長(zhǎng)為cm，其中cm， 利用求得的取值范圍，利用幾何概型求得概率. 【解析】選C. 設(shè)其中一段AC長(zhǎng)為cm，則另一段BC長(zhǎng)為cm，其中cm 由題

5、意，則點(diǎn)C的選取的長(zhǎng)度4+4=8cm，故概率為. 6.（2020·安徽高考文科·Ｔ10）袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于( ) （A） （B） （C） （D） 【解題指南】將所有結(jié)果一一列出，根據(jù)古典概型即可求出兩球顏色為一白一黑的概率. 【解析】選.1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球記為 從袋中任取兩球共有15種； 滿足兩球顏色為一白一黑有種，概率等于. 二、填空題 7. （2020·江蘇高考·Ｔ6）現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，-3為公比的等

6、比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是 . 【解題指南】從等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等可能事件的概率，兩方面處理. 【解析】這十個(gè)數(shù)是，所以它小于8的概率等于. 【答案】. 8.（2020·浙江高考文科·Ｔ12）從邊長(zhǎng)為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中，隨機(jī)（等可能）取兩點(diǎn)，則該兩點(diǎn)間的距離為的概率是___________. 【解題指南】古典概型問(wèn)題, 該兩點(diǎn)間的距離為的情況可列舉得出. 【解析】若使兩點(diǎn)間的距離為，則為對(duì)角線一半，選擇點(diǎn)必含中心，概率為. 【答案】. 9.（2020·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T15）某一部件由三個(gè)電子元件按下圖方式連接而成

7、，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布N（1000，），且各個(gè)元件能否正常相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過(guò)1 000小時(shí)的概率為 【解題指南】由正態(tài)分布的意義求得三個(gè)元件使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率，然后將部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的可能情況列出，利用相互獨(dú)立事件的概率公式求解. 【解析】設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的事件分別記為A，B，C，顯然 該部件的使用壽命超過(guò)1000的事件為， 該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為. 【答案】. 三、解答題 10.（2

8、020·江西高考文科·Ｔ18）如圖所示，從A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,）B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn). （1）求這3點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率； （2） 求這3點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率. 【解題指南】把從6個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)的情況全部列舉出來(lái)，然后找出（1）（2）情況中所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，然后把比值求出得所求概率. 【解析】從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)的所有可能結(jié)果是： 軸上取2個(gè)點(diǎn)的有，共4種 軸上取2個(gè)點(diǎn)的有，，，，共4種 軸上取2個(gè)點(diǎn)的有，，，共4種 所選取的3個(gè)點(diǎn)有不同坐標(biāo)軸

9、上有，， 共8種.因此，從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)的所有可能結(jié)果共20種. （1）選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的所有可能結(jié)果有：，共2種，因此，這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率為 . （2）選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的所有可能結(jié)果有： ，，共12種，因此，這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率為 . 11.（2020·山東高考文科·Ｔ18）袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為1，2. (Ⅰ)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率； (Ⅱ)現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從這六張卡片

10、中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率. 【解題指南】（I）本題考查古典概型，要將基本事件都列出，然后找兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4所含的基本事件的個(gè)數(shù)，由古典概型概率公式求得結(jié)果.（II）再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，列出基本事件，然后找出這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4所含的基本事件的個(gè)數(shù)，由古典概型概率公式求得結(jié)果. 【解析】(I)從五張卡片中任取兩張的所有可能情況有如下10種：紅1紅2，紅1紅3，紅1藍(lán)1，紅1藍(lán)2，紅2紅3，紅2藍(lán)1，紅2藍(lán)2，紅3藍(lán)1，紅3藍(lán)2，藍(lán)1藍(lán)2.其中兩張卡片的顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的有3種情況，故所求的概率為. (II)加入一

11、張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片后，從六張卡片中任取兩張，除上面的10種情況外，多出5種情況：紅1綠0，紅2綠0，紅3綠0，藍(lán)1綠0，藍(lán)2綠0，即共有15種情況，其中顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的有8種情況，所以概率為. 12.（2020·天津高考文科·Ｔ15）某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查. （I）求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目. （II）若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析， （1）列出所有可能的抽取結(jié)果； （2）求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率. 【解題指南】按抽取的比例計(jì)算抽取的學(xué)校數(shù)目；

12、用列舉法、古典概率公式計(jì)算概率. 【解析】（I）從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1. （II）（1）在抽取到的6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為，2所這中學(xué)分別記為，1所大學(xué)記為，則抽取2所學(xué)校的所有可能結(jié)果為，，，，共15種. （2）從這6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)（記為事件B）的所有可能結(jié)果為，共3種，所有. 13. （2020·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·Ｔ18）某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售。如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理. （Ⅰ）若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，

13、n∈N）的函數(shù)解析式. （Ⅱ）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 (1)假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，求這100天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)； (2)若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元的概率. 【解題指南】（I）根據(jù)題意建立利潤(rùn)與需求量的分段函數(shù)； （II）（1）由表中數(shù)據(jù)，每一段上的（天數(shù)利潤(rùn)）求和后再取平均值，即得平均數(shù)；（2）通過(guò)表

14、格求得各段上的頻率，然后利用互斥事件的概率加法公式求得不少于75元的概率. 【解析】(I)當(dāng)日需求理時(shí),利潤(rùn). 當(dāng)日需求量時(shí),利潤(rùn). 所以關(guān)于的函數(shù)解析式為 . (II)(1)這100天中有10天的日利潤(rùn)為55元,20天的日利潤(rùn)為65元.16天的日利潤(rùn)為75元,54天的日利潤(rùn)為85元,所以這100天的日利潤(rùn)的平均數(shù)為 . (2)利潤(rùn)不低于75元當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于16枝,故當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元的概率為. 14.（2020·陜西高考文科·Ｔ19）（本小題滿分12分） 假設(shè)甲乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場(chǎng)上銷售量相等，為了解他們的使用壽命，現(xiàn)從兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽

15、取100個(gè)進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： （Ⅰ）估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率； （Ⅱ）這兩種品牌產(chǎn)品中，，某個(gè)產(chǎn)品已使用了200小時(shí)，試估計(jì)該產(chǎn)品是甲品牌的概率. 【解題指南】根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)和其他已知數(shù)據(jù)計(jì)算有關(guān)頻率作為概率的估計(jì)值. 【解析】（Ⅰ）甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的頻率為，用頻率估計(jì)概率，所以，甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率為. （Ⅱ）根據(jù)抽樣結(jié)果，壽命大于200小時(shí)的產(chǎn)品有75+70=145個(gè)，其中甲品牌產(chǎn)品是75個(gè)，所以在樣本中，壽命大于200小時(shí)的產(chǎn)品是甲品牌的頻率是，用頻率估計(jì)概率，所以已使用了200小時(shí)的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為. 15.（2012·福建高考文科·Ｔ17） (本小題滿分12分) 在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，的前10項(xiàng)和． （Ⅰ）求和； （Ⅱ）現(xiàn)分別從和的前3項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng)，寫出相應(yīng)的基本事件，并求這兩項(xiàng)的值相等的概率． 【解題指南】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、古典數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想． 【解析】（Ⅰ）設(shè)的公差為，的公比為．依題意得 　　　　　， 解得，， 所以，． （Ⅱ）分別從和的前3項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng)，得到的基本事件有9個(gè)： ，，，，，，，， 符合題意的基本事件有2個(gè)：，． 故所求的概率.