2020年高三數(shù)學一輪復習 第2課時知能演練輕松闖關 新人教版選修4-5

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1、2020年高三數(shù)學一輪復習 選修4-5第2課時知能演練輕松闖關 新人教版 一、填空題 1．設a，b∈R，若a2＋b2＝5，則(a＋2b)2的最大值為________． 解析：由柯西不等式得(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2(當且僅當2a＝b時等號成立)． 因為a2＋b2＝5，所以(a＋2b)2≤25. 答案：25 2．(2020·黃岡質檢)若x＋2y＋4z＝1，則x2＋y2＋z2的最小值是________． 解析：∵1＝x＋2y＋4z≤·， ∴x2＋y2＋z2≥，即x2＋y2＋z2的最小值為. 答案： 二、解答題 3．(2020·高考福建卷)設不等式|2x－

2、1|<1的解集為M. (1)求集合M； (2)若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大?。? 解：(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得00， 故ab＋1>a＋b. 4．已知m>0，a，b∈R求證：2≤. 證明：因為m>0， 所以1＋m>0，所以要證2≤， 即證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即證m(a2－2ab＋b2)≥0， 即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立， 故2≤. 5．

3、已知x，y，z均為正數(shù)，求證：＋＋≥＋＋. 證明：因為x，y，z都為正數(shù)， 所以＋＝(＋)≥. 同理可得＋≥，＋≥， 當且僅當x＝y(tǒng)＝z時，以上三式等號都成立． 將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2， 得＋＋≥＋＋. 6．已知x，y都是正實數(shù)，求證：x3＋y3≥x2y＋xy2. 證明：法一：∵(x3＋y3)－(x2y＋xy2) ＝x2(x－y)＋y2(y－x) ＝(x－y)(x2－y2)＝(x－y)2(x＋y)， 又∵x，y∈(0，＋∞)， ∴(x－y)2≥0，x＋y>0，∴(x－y)2(x＋y)≥0， ∴x3＋y3≥x2y＋xy2. 法二：∵x2＋y2≥2xy，

4、又∵x，y∈(0，＋∞)，∴x＋y>0， ∴(x2＋y2)(x＋y)≥2xy(x＋y)，展開得x3＋y3＋x2y＋xy2≥2x2y＋2xy2， 移項，整理得x3＋y3≥x2y＋xy2. 7．設m是|a|，|b|和1中最大的一個，當|x|>m時， 求證：|＋|<2. 證明：由已知m≥|a|，m≥|b|，m≥1. 又|x|>m， ∴|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1， ∴≤＋ ＝＋<＋ ＝1＋<1＋＝2. ∴<2. 8．設a、b、c為正數(shù)，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值． 解：(a＋2b＋3c)[()2＋12＋2] ≥(·＋·1＋·)2 ＝(＋＋)2. ∴(＋＋)2≤. ∴＋＋≤. 當且僅當＝＝時取等號． 又a＋2b＋3c＝13， 即a＝9，b＝，c＝時． ＋＋有最大值.