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1、綜合仿真練(四)(理獨(dú))
1．本題包括A、B、C三個(gè)小題，請(qǐng)任選二個(gè)作答
A．[選修4－2：矩陣與變換]
已知矩陣A＝，X＝，且AX＝ ，其中x，y∈R.
(1)求x，y的值；
(2)若B＝，求(AB)－1.
解：(1)AX＝ ＝ .
因?yàn)锳X＝，所以
解得x＝3，y＝0.
(2)由(1)知A＝ ，又B＝ ，
所以AB＝＝ .
設(shè)(AB)－1＝ ，則＝，
即＝.
所以解得a＝，b＝－，c＝0，d＝，
即 (AB)－1＝ .
B．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半
2、軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ－4cos θ＝0，已知直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．
解：因?yàn)榍€(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ－4cos θ＝0，
所以ρ2sin2θ＝4ρcos θ，
即曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x.
將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入拋物線(xiàn)方程y2＝4x，得2＝4，
即t2＋8t＝0，解得t1＝0，t2＝－8.
所以AB＝|t1－t2|＝8.
C．[選修4－5：不等式選講]
(2020·南師附中等四校聯(lián)考)(基本不等式)已知x>0，求證：x3＋y2＋3≥3x＋2y.
證明：因?yàn)閤>0，所以x3＋2＝x3＋1＋1≥3＝3x
3、，
當(dāng)且僅當(dāng)x3＝1，即x＝1時(shí)取“＝”．
因?yàn)閥2＋1－2y＝(y－1)2≥0，所以y2＋1≥2y，
當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時(shí)取“＝”．
所以(x3＋2)＋(y2＋1)≥3x＋2y，
即x3＋y2＋3≥3x＋2y，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)取“＝”．
2．(2020·南京三模)平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)及點(diǎn)M(2,0)，動(dòng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，AB＝4.
(1)求p的值；
(2)如圖，若l與x軸不垂直，設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為C，直線(xiàn)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且垂直于y軸，直線(xiàn)l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且垂直于直線(xiàn)l，記l1，l2相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在定直線(xiàn)
4、上．
解：(1)因?yàn)橹本€(xiàn)l過(guò)M(2,0)，且當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，AB＝4，
所以?huà)佄锞€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2)，
將(2,2)代入拋物線(xiàn)方程，得4＝2p×2，解得p＝1.
(2)證明：由(1)知，拋物線(xiàn)的方程為y2＝2x.易知直線(xiàn)l的斜率存在，
設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
聯(lián)立，得消去x，得ky2－2y－4k＝0，
則Δ＝4＋16k2>0，y1,2＝，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－4.
因?yàn)镃為AB的中點(diǎn)，所以yC＝＝，
則直線(xiàn)l1的方程為y＝.
因?yàn)橹本€(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)M且與l垂直，
則l2的方程為y＝－(x－2)(k≠0)，
5、聯(lián)立，得
解得即P，
所以點(diǎn)P在定直線(xiàn)x＝1上．
3．已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，設(shè)Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù)．
(1)寫(xiě)出f(6)的值；
(2)當(dāng)n≥6時(shí)，寫(xiě)出f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解：(1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6中的元素(a，b)滿(mǎn)足：
若a＝1，則b＝1,2,3,4,5,6；若a＝2，則b＝1,2,4,6；
若a＝3，則b＝1,3,6.
所以f(6)＝13.
(2)當(dāng)n≥6時(shí)，
f(n)＝(t∈N*)．
下面用數(shù)學(xué)歸納法
6、證明：
①當(dāng)n＝6時(shí)，f(6)＝6＋2＋＋＝13，結(jié)論成立．
②假設(shè)n＝k(k≥6)時(shí)結(jié)論成立，那么n＝k＋1時(shí)，Sk＋1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：
a．若k＋1＝6t，則k＝6(t－1)＋5，此時(shí)有
f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3
＝(k＋1)＋2＋＋，結(jié)論成立；
b．若k＋1＝6t＋1，則k＝6t，此時(shí)有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，結(jié)論成立；
c．若k＋1＝6t＋2，則k＝6t＋1，此時(shí)有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，結(jié)論成立；
d．若k＋1＝6t＋3，則k＝6t＋2，此時(shí)有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，結(jié)論成立；
e．若k＋1＝6t＋4，則k＝6t＋3，此時(shí)有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，結(jié)論成立；
f．若k＋1＝6t＋5，則k＝6t＋4，此時(shí)有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，結(jié)論成立．
綜上所述，結(jié)論對(duì)滿(mǎn)足n≥6的自然數(shù)n均成立．
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