陜西省高中數學 第一章 推理與證明 高考中的合情推理例題訓練 北師大版選修2-2（通用）

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1、高考中的合情推理 合情推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程，其主要形式有歸納和類比。 一、歸納推理 例1、（2020廣東）在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干準“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個乒乓球；第2、3、4、…堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放.從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，以表示第n堆的乒乓球總數，則 ； （答案用n表示） 分析：解決本題的關鍵之一是找出相鄰兩項的關系，即

2、下一堆的個數是上一堆的個數加上其第一層的個數；其次是求出第一層的通項公式。 解：f（1）＝1，觀察圖象可知f（2）＝4，f（3）＝10，f（4）＝20，下一堆的個數是上一堆的個數加上其第一層的個數，而第一層的個數滿足1，3，6，10，……，通項公式是，所以f（n）＝f（n－1）＋， 所以有：f（2）－f（1）＝ f（3）－f（2）＝ f（4）－f（3）＝ …………………………………… f（n）－f（n－1）＝ 以上各式相加得：f（n）＝f（1）＋ ＝ ＝ ＝ 所以應該填：10； 點評：求f（n）的通項公式時運用累差法思想求解。可見高考題多數依據課本知識、思想或方法的設計

3、題目。解決問題的關鍵是找到相鄰兩項的關系。 二、 類比推理（類比） 例2、（2020湖北）半徑為r的圓的面積，周長，若將r看作上的變量，則， ①，①式可用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數。對于半徑為R的球，若將R看作看作上的變量，請你寫出類似于①的式子：_________________，②，②式可用語言敘述為___________. 解：由提供的形式找出球的兩個常用量體積、表面積公式，類似寫出恰好成立，. 答案：① ②球的體積函數的導數等于球的表面積函數。 點評：主要考查類比意識考查學生分散思維，注意將圓的面積與周長與球的體積與表面積進行類比。 結論類比：

4、已知簡單命題A的結論去探索新命題B的結論，從而對問題從更高層次上去把握，這類題目能訓練學生的信息遷移能力和創(chuàng)造思維能力。 例3、（2020上海）已知函數有如下性質：如果常數a>o，那么該函數在上是減函數，在上是增函數。 （1） 如果函數的值域為，求b的值； （2） 研究函數（常數在定義域內的單調性，并說明理由； （3） 對函數和（常數作出推廣，使它們都是你所推廣 的函數的特例，研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明）。 解：（1）函數在上是減函數，在上是增函數，所以該函數在處取得最小值 令，得 （2）設，顯然函數在上是減函數，在上是增函數，令得，令得或 又因為在上是減函數，在上是增函數，于是利用復合函數的單調性知，函數在上是減函數，在上是增函數，在上是減函數，上是增函數。 （3）推廣結論：當n是正奇數時，函數（常數是奇函數，故在上是增函數，在是減函數，在上是減函數，在上是增函數。 而當n為正偶數時，函數（常數是偶函數，在上是減函數，在是增函數，在上是減函數，在上是增函數。 點評：本題設計新穎，層層遞進，主要考查函數的單調性、最值，考查分析解決問題的能力。