陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 怎樣學(xué)好組合拓展資料素材 北師大版選修2-3

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1、怎樣學(xué)好組合 組合與排列是計算有關(guān)完成某項(xiàng)工作的方法種數(shù)的知識，是當(dāng)今快速發(fā)展著的組合數(shù)學(xué)的最初步、最基本的知識。它不僅應(yīng)用廣泛，也是學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計知識以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有關(guān)分支的預(yù)備知識，而且由于其思維方法的新穎性與獨(dú)特性，也是培養(yǎng)思維能力的不可多得的好素材。 一、掌握正確的學(xué)習(xí)方法 1．這一部分內(nèi)容的概念性強(qiáng)、靈活性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)，思想方法獨(dú)特，解題過程出現(xiàn)“重復(fù)”“遺漏”現(xiàn)象難以覺察。針對這一問題，首先要系統(tǒng)、準(zhǔn)確地掌握知識方法，在此基礎(chǔ)上，要通過大量具體、形象的事例進(jìn)行比較、分析、歸納、總結(jié)，要做到抽象問題具體化，困難問題簡單化，通過分門別類，建構(gòu)好數(shù)學(xué)模型，使思維有據(jù)可依，做到

2、更系統(tǒng)、更富有邏輯性。 2、在學(xué)習(xí)了排列之后，再學(xué)習(xí)組合時，要注意對易混淆的知識如排列與組合、組合與組合數(shù)等進(jìn)行類比，應(yīng)著眼于搞清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系；要注意公式的特征和運(yùn)用的前提條件；要注意體會解決應(yīng)用題的思考方法：分類討論、等價轉(zhuǎn)換、整體思想、正難則反等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用； 3、關(guān)于組合的應(yīng)用題，初學(xué)的同學(xué)常常會感到困難，其主要原因是：（1）不易分清具體問題是排列問題還是組合問題；（2）具體問題如何歸結(jié)為組合問題，具體問題中的“元素”指的是什么？m和n各是什么？學(xué)習(xí)時，要立足于基礎(chǔ)知識、基本方法、基本問題的學(xué)習(xí)，抓住典型例題，從不同角度、不同側(cè)面對題目進(jìn)行全面分析，認(rèn)真思考、研究，搞深搞

3、透，進(jìn)行多種解法訓(xùn)練，結(jié)合典型的錯解分析，查找思維的缺陷，提高分析解決問題的能力。 二、理解組合及組合數(shù)的定義 1、組合的定義：一般地說，從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。 對組合定義的理解應(yīng)搞清以下幾點(diǎn)： （1）從定義中可以看出，我們只研究取出的m個元素是互不相同的情況，也就是只研究相異元素不許重復(fù)的組合。 （2）當(dāng)兩個組合中的元素完全相同時，不論它們的順序如何都是相同的組合。 （3）當(dāng)兩個組合具備下列之一時，就是不同的組合： ①元素完全不同，如abc；def； ②元素不完全相同（即使只有一個元素不同），如abc，a

4、bd。 2、組合數(shù)的定義：從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示。 三、區(qū)分排列與組合、組合與組合數(shù) 1、排列與組合 組合與排列的共同點(diǎn)：都是“從n個不同元素中，任取m個元素”。不同點(diǎn)：組合是“不管順序并成一組”，只要兩個組合的元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合；排列是“按照一定順序排成一列”，只有元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的。 由排列、組合的定義可知，區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)。若交換兩個元素的位置對結(jié)果有影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素的

5、位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題。先取后排（按一定順序）者是排列問題，只取不排者是組合問題，簡言之，有序排列，無序組合。如：在數(shù)的運(yùn)算中，加、乘運(yùn)算是組合問題，減、除運(yùn)算是排列問題；相互寄信、相互贈物是排列問題，相互握手是組合問題；過兩點(diǎn)作線段是組合問題，作射線、向量則是排列問題等等。 2、組合與組合數(shù) 組合與組合數(shù)是兩個不同的概念。這里的組合是名詞，而不是動詞。一個組合是指“從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素并成一組”，它不是一個數(shù)，是具體的一件事，是一種形式；組合數(shù)是指“從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)”，它是一個數(shù)。如：從3個不同元素a，b，c中任取兩個

6、的組合為ab，bc，ca，其中每一種都叫一個組合，一共有3種組合，因此組合數(shù)是3。 四、掌握組合數(shù)公式及其性質(zhì) 1、組合數(shù)公式：（n，m∈N+且m≤n） 對組合數(shù)公式的理解應(yīng)搞清以下幾點(diǎn)： （1）組合數(shù)公式的推導(dǎo)思路是根據(jù)排列與組合的關(guān)系，依據(jù)乘法原理，將求從n個不同元素中任取m個的排列數(shù)分成先求“任取m個元素分組的組數(shù)”，后求“各組元素的全排列數(shù)”兩步來完成，從而將未知的組合數(shù)公式問題化歸為已經(jīng)解決的排列數(shù)公式問題。組合數(shù)公式的推導(dǎo)思路，在解某些應(yīng)用題時經(jīng)常用到，要注意認(rèn)真體會并能靈活應(yīng)用。 （2）使用組合數(shù)公式時，要注意中n，m∈N+且m≤n等限制條件。 （3）與排列數(shù)公式類似

7、，組合數(shù)也有兩個公式。第一個公式中的分子是m個連續(xù)正整數(shù)的乘積，最大的因數(shù)是n，最小的因數(shù)是n-m+1，分母是m!。當(dāng)m、n為較小的正整數(shù)時，用此公式計算組合數(shù)較為方便。第二個公式是用階乘的形式給出的，當(dāng)m、n的數(shù)值較大時，借助科學(xué)計算器，利用公式計算較為方便；當(dāng)對含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形、討論或證明時，常常利用此公式進(jìn)行溝通、變形和論證。 2、組合數(shù)的性質(zhì)： 性質(zhì)1： 性質(zhì)2： 對兩個性質(zhì)的幾點(diǎn)說明： （1）性質(zhì)1體現(xiàn)了從n個不同元素中取m個元素與從n個元素取出n-m個元素是一一對應(yīng)關(guān)系。當(dāng)時，一般情況下，不計算而改為計算較方便。 （2）為使性質(zhì)1在m=n時也能成立，規(guī)定。

8、 （3）注意性質(zhì)2的各種變形：，，以及在解題中的靈活應(yīng)用。 （4）組合數(shù)的兩個性質(zhì)在有關(guān)組合數(shù)的計算、化簡、證明以及后面將要學(xué)習(xí)的二項(xiàng)式定理中有著廣泛的應(yīng)用。 3、常用的組合數(shù)公式 （1）。 （2）。 五、掌握常用的解題方法 1、有關(guān)組合問題的題目的背景常以“幾何問題”、“產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢測問題”、“集合問題”、“人或物的有關(guān)分配問題”等形式出現(xiàn)。處理問題時常常利用分類思想。在解組合問題及組合與排列的綜合問題時，要注意準(zhǔn)確地應(yīng)用兩個基本原理；要注意準(zhǔn)確區(qū)分是排列問題還是組合問題；要注意在利用直接法解題的同時，也要根據(jù)問題的實(shí)際恰當(dāng)?shù)乩瞄g接法解題。 2、（1）排列數(shù)與組合數(shù)都是自

9、然數(shù)n的函數(shù)，由它們的等量或不等量求n，就是求方程（組）或不等式（組）的正整數(shù)解的問題，其中上下標(biāo)含有未知數(shù)時要考慮是否有意義。 （2）排列數(shù)公式與組合數(shù)公式都有兩種形式：連乘積形式和階乘形式。前者多用于數(shù)字計算，后者多用于證明恒等式和變形。要注意公式的逆用，即由寫出。 3、組合常見的問題及對策 （1）在解組合應(yīng)用題時，常會遇到“至少”“最多”“含”等詞，要仔細(xì)審題，理解其含義。 （2）有幾何圖形的題目，一定要注意圖形自身對其構(gòu)成元素的限制，解決這類問題常用間接法（或說排除法）。 （3）分組分配問題：分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個數(shù)相同是不可區(qū)分的，而后者則即

10、使兩組元素個數(shù)相同，但因排列順序不同，仍然是可區(qū)分的。對于這類問題必須遵循先分組后排列，若平均分m組，則分法=. (4)若干集合中選取元素問題：對比較復(fù)雜的在若干集合中選取元素的問題，一般需分類求解，只要能運(yùn)用分類思想正確地對所有選法分類，又能正確地根據(jù)題目要求合理地考察步驟，就可以順利地求得解答。在分類時，要注意做到既不重復(fù)也不遺漏。 4、解答組合應(yīng)用題的總體思路是： （1）整體分類。對事件進(jìn)行整體分類，從集合的意義講，分類要做到各類的并集等于全集，以保證分類的不重復(fù)，計算其結(jié)果時，使用分類計數(shù)原理。 （2）局部分步。整體分類以后，對每一類進(jìn)行局部分步，分步要做到步驟連續(xù)，以保證分步

11、的不遺漏，同時步驟要獨(dú)立，以保證分步的不重復(fù)，計算每一類的相應(yīng)結(jié)果時，使用分步計數(shù)原理。 （3）考察順序。區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志是“有序”與“無序”，無序的問題用組合解答，有序的問題屬于排列問題。 （4）辯證的看待“元素”與“位置”。排列、組合問題中的元素與位置，沒有嚴(yán)格的界定標(biāo)準(zhǔn)，哪些事物看成元素或位置，隨解題者的思維方式的變化而變化，要視具體情況而定。有時“元素選位置”，問題解決得簡捷，有時“位置選元素”，效果會更好。 5、排列、組合應(yīng)用題的題型 （1）簡單的排列或組合問題（不含限制條件——即元素或位置一律平等）。 （2）附有某些限制條件的排列或組合問題（或限定元素的選擇，或是

12、限定元素的位置）。 （3）排列與組合的混合型應(yīng)用題。 6、解排列、組合應(yīng)用題的一般步驟 （1）分析題意 ①認(rèn)清應(yīng)把問題中的哪些具體對象看作元素（如人、物、數(shù)、圖形等）。 ②分析是排列問題還是組合問題，還是排列、組合綜合題（若是綜合題一般需要先組合后排列，俗稱先“C”后“A”）。 ③分析完成這件事需有幾類辦法，找到分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏；執(zhí)行各類辦法時又分別需要進(jìn)行幾步才能完成事件。 （2）選定解法 通常不含限制條件的排列、組合問題都可以直接求解；含有限制條件的排列、組合問題有直接解法（合理分類）或間接解法（逆向思維）兩種解法（其中分類法和排除法最為常用）。但無論是用直接法還是間

13、接法，都要注意從不同角度，正、反兩個方面考慮同一問題，復(fù)習(xí)中要注意一題多解的訓(xùn)練。 （3）列式求解。 7、解排列、組合題的方法 解排列、組合混合應(yīng)用題一般是“先組后排”或“充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步”，再利用兩個計數(shù)原理作最后處理。 在近幾年的高考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)用排列、組合定義列舉求解的應(yīng)用題，這是一種“返璞歸真”的解法。在涉及數(shù)目不是很大的排列、組合問題中，列舉是一種不可忽視的有效解法，列舉一定要按照一定的原則，遵循一定的規(guī)律，不重復(fù)、不遺漏的進(jìn)行。在復(fù)習(xí)中，要掌握樹圖、框圖及坐標(biāo)圖象法等常用的方法。另外還有如下幾種常用的方法： （1）直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計算

14、。 ①以元素為主考慮問題，先滿足特殊元素的要求，再考慮其它元素。 ②以位置為主考慮問題，先滿足特殊位置的要求，再考慮其它位置。 （2）排除法: 先求出不考慮限制條件的排列、組合數(shù)，再由限制條件算出不符合條件的排列或組合數(shù)，然后兩數(shù)相減即可。 （3）捆綁法：在待定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“內(nèi)部”的排列，它主要用于解決相鄰或不相鄰的問題。一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某m(m≤n)個元素兩兩相鄰的排列有個。 （4）插空法：先把一般的、不受限制的元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空當(dāng)中，它與捆綁法有同等作用。 （5）特

15、殊元素、位置優(yōu)先安排法：對問題中的特殊元素或位置首先考慮排列，然后再排列其它一般元素或位置。 （6）分類法：將符合條件的排列分為幾類，而每一類的排列數(shù)較易求出，然后根據(jù)分類計數(shù)原理求出排列總數(shù)。 （7）集合法：將排列作為集合的元素，那么排列數(shù)就是集合的基數(shù)。 （8）調(diào)序法（某些元素次序一定的一種排列題型）：先將n個元素進(jìn)行全排列有種，m(m

16、分或全部元素進(jìn)行排列或組合，求共有多少種方法的問題。解排列組合的綜合應(yīng)用題，可從以下幾個方面探尋解題途徑： （1）要弄清問題中“事件”的含義； （2）所給的元素是不是各不相同？所選的元素是否“無重復(fù)”？ （3）題中有什么“條件”相當(dāng)于“順序”要求？對選出的元素要不要按先后順序排列？也即元素是“有序”還是“無序”，以確定是排列問題還是組合問題，與順序有關(guān)的屬于排列問題，與順序無關(guān)的屬于組合問題。 （4）有什么附加條件促使我們把問題分幾個步驟來考慮？是分類解決還是分步解決？以確定是應(yīng)用加法原理還是應(yīng)用乘法原理； （5）如何建立分類標(biāo)準(zhǔn)。對既要分類又要分步的問題，建立分類標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)鍵在于每一

17、類分步解決的問題中，每兩步之間必須是獨(dú)立的，即后一步的方法數(shù)不受前一步的影響。反之，若某類分步計算過程中后一步的方法數(shù)由于前一步解決方式不同而不同，則此分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)拆細(xì)或以其它形式重新分類； （6）各個步驟所得到的排列數(shù)、組合數(shù)之間是按“加法原理”，還是按“乘法原理”再進(jìn)行計算？ （7）對有多個約束條件的問題，可以通過分析每個約束條件，然后再綜合考慮是分類還是分步，或交替使用兩個原理，也可以先不考慮約束條件，最后扣除不符合條件的情況獲得結(jié)果。 （8）要正確理解“有且僅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”、“不都是”等詞語的確切含義。 （9）對于有附加條件的排列、組合問題，往往是對某一個元素的位置加以限定，被限定的元素為特殊元素，被限定的位置為特殊位置，因此，我們可以從限定元素或限定位置出發(fā)考慮問題，先選出元素或位置，然后再進(jìn)行排列。 綜上所述，我們可把排列組合應(yīng)用題的解題思路簡單概括為：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類為加，分步為乘；特殊優(yōu)先，先選（組）后排。