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1、向量在物理中的應(yīng)用舉例
向量起源于物理，是從物理學(xué)中抽象出來的數(shù)學(xué)概念.物理學(xué)中的許多問題，如位移、速度、加速度等都可以利用向量來解決.用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題，首先要把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即根據(jù)題目的條件建立數(shù)學(xué)模型，再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的向量運(yùn)算來完成．
１．解決力學(xué)問題
例1 質(zhì)量為的物體靜止地放在斜面上，斜面與水平面的夾角為，求斜面對(duì)于物體的摩擦力和支持力的大小．
解：如圖1，物體受三個(gè)力：重力（豎直向下，大小為Ｎ），斜面對(duì)物體的支持力（垂直于斜面，向上，設(shè)其大小為Ｎ），摩擦力（與斜面平行，向上，大小為Ｎ）．
由于物體靜止，故這三個(gè)力平衡，合力為，
即． ?、?
記垂直于
2、斜面向下、大小為1N的力為，與斜面平行向下、大小為1N的力為，以，為基底，則，由旋轉(zhuǎn)到方向的角為，則．
由①得過且過（，），
，，
故，．
例2 有兩根柱子相距20m，分別位于電車的兩側(cè)，在兩柱之間連結(jié)一條水平的繩子，電車的送電線就懸掛在繩子的中點(diǎn)，如果送電線在這點(diǎn)垂直向下的作用力是17.8N，則這條成水平的繩子的中點(diǎn)下降0.2m，求此時(shí)繩子所受的張力．
解：如圖2所示，設(shè)重力作用點(diǎn)為，繩子所承受的力分別記為，重力記為．由為繩子的中點(diǎn)知．
由，知四邊形為菱形．
又，
．
即繩子所受的張力為445N．
2．解決與位移、速度有關(guān)的問題
例3 一輛汽車在
3、平直公路上向西行駛，車上裝著風(fēng)速計(jì)和風(fēng)向標(biāo)，測(cè)得風(fēng)向?yàn)闁|偏南，風(fēng)速為4m/s，這時(shí)氣象臺(tái)報(bào)告實(shí)際風(fēng)速為2m/s．試求風(fēng)的實(shí)際方向和汽車的速度大小．
分析：這是一個(gè)需要用向量知識(shí)解決的物理問題，因此，先要用物理概念建立解題意向，再使用向量形象描述，進(jìn)而分析題意，創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，最后利用解直角三角形的技巧把問題解決．
解：依據(jù)物理知識(shí)，有三對(duì)相對(duì)速度，汽車對(duì)地的速度為，風(fēng)對(duì)車的速度為，風(fēng)對(duì)地的速度為．
風(fēng)對(duì)地的速度可以看成車對(duì)地與風(fēng)對(duì)車的速度的合速度，即．
如圖3，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，表示向量的有向線段是的對(duì)角線．
，， ?。?
在中，．
即風(fēng)向的實(shí)際方向是正南方向
4、；汽車速度的大小為．
例4 一位模型賽車手搖控一輛賽車，向正東方向前進(jìn)1米，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)彎度，繼續(xù)按直線向前行進(jìn)1米，再按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)變度，按直線向前行進(jìn)1米，按此法繼續(xù)操作下去．
（1） 作圖說明，當(dāng)時(shí)，操作幾次賽車的位移為．
（2） 若按此操作賽車能回到出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)滿足什么條件，請(qǐng)寫出其中兩個(gè)．
解：（1）作圖，如圖4，賽車位移路線構(gòu)成一個(gè)正八邊形．
賽車所行路程為8米，操作8次賽車的位移為．
（2）若按此法操作次賽車能回到出發(fā)點(diǎn)，則操作次賽車的位
移為，賽車位移路線構(gòu)成一個(gè)正邊形，由平面幾何知識(shí)，（多邊形外角和定理），．
若，則，即操作6次可回到起點(diǎn)．
若，則，即操作次可回到起點(diǎn)．
評(píng)注：本題是向量位移的應(yīng)用，培養(yǎng)了同學(xué)們動(dòng)手操作繪圖能力，分析問題及解決問題的能力．
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