陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 概念辨析正弦、余弦的誘導(dǎo)公式例題講解素材 北師大版必修4（通用）

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1、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式概念辨析 公式二： sin(180o+)=-sin cos(180o+)=-cos 用弧度制可表示如下： sin(π+)=-sin cos(π+)=-cos 它刻畫了角180o+與角的正弦值（或余弦值）之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系是：以角終邊的反向延長(zhǎng)線為終邊的角的正弦值（或余弦值）與角的正弦值（或余弦值）是一對(duì)相反數(shù)．這是因?yàn)槿粼O(shè)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P( x，y)，則角終邊的反向延長(zhǎng)線，即180o+角的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為P′(-x，-y)（如圖4-5-1）．由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sin=y， cos=x, sin(180o+)=-

2、y, cos(180o+)=-x, ∴sin(180o+)=-sin，cos(180o+)=-cos． 公式三： sin(－)= －sin cos(－)= cos 它說(shuō)明角-與角的正弦值互為相反數(shù)，而它們的余弦值相等．這是因?yàn)椋魶](méi)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則角-的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為P′(x，-y)（如圖4-5-2）．由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得 sin=y， cos=x, sin(-)=-y, cos(-)=x, 所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cosα 公式二、三的獲得主要借助于單位圓及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義．根據(jù)點(diǎn)P

3、的坐標(biāo)準(zhǔn)確地確定點(diǎn)P′的坐標(biāo)是關(guān)鍵，這里充分利用了對(duì)稱的性質(zhì)．事實(shí)上，在圖1中，點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而在圖2中，點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱．直觀的對(duì)稱形象為我們準(zhǔn)確寫出P′的坐標(biāo)鋪平了道路，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想的優(yōu)越性． 2．關(guān)于公式四和公式五 公式四是： sin(180o-)=sin cos(180o-)=-cos 用弧度制可表示如下： sin(π-)=sin cos(π-)=-cos 公式五是： sin(360o-)=-sin cos(360o-)=cos 用弧度制可表示如下： s

4、in(2π-)=-sin cos(2π-) =cos 這兩組公式均可由前面學(xué)過(guò)的誘導(dǎo)公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），體現(xiàn)了把未知問(wèn)題化為已知問(wèn)題處理這一化歸的數(shù)學(xué)思想．公式的推導(dǎo)并不難，然而推導(dǎo)中的化歸意識(shí)和策略是值得我們關(guān)注的． 3．關(guān)于用一句話概括五組誘導(dǎo)公式的問(wèn)題 五組誘導(dǎo)公式可概括為：+k·360o（k∈Z），-，180o±，360o-的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)． 這里的“同名三角函數(shù)值”是指等號(hào)兩邊的三角函數(shù)名稱相同；“把看成銳角”是指原本是任意角，這里只是把它視為銳角處理；“前面加上一個(gè)……符號(hào)”是指的同名函數(shù)值未必就是最后結(jié)果，前面還應(yīng)添上一個(gè)符號(hào)（正號(hào)或負(fù)號(hào)，主要是負(fù)號(hào)，正號(hào)可省略），而這個(gè)符號(hào)是把任意角視為銳角情況下的原角原函數(shù)的符號(hào)． 教學(xué)時(shí)應(yīng)注意講清這句話中每一詞語(yǔ)的含義，特別要講清為什么要把任意角α看成銳角．建議通過(guò)實(shí)例分析說(shuō)明．