2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷3含答案）

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1、絕密★啟用前 2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)Ⅲ） 理科數(shù)學(xué) 注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。 2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1．已知集合A=，B=，則AB中元素的個數(shù)為 A．3 B．2 C．1 D．0

2、2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則∣z∣= A． B． C． D．2 3．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖． 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份 D．各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) 4．(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為 A．-80 B．-40 C．40 D．80 5．已知雙曲

3、線C： (a＞0,b＞0)的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點，則C的方程為 A． B． C． D． 6．設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯誤的是 A．f(x)的一個周期為?2π B．y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱 C．f(x+π)的一個零點為x= D．f(x)在(,π)單調(diào)遞減 7．執(zhí)行下面的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為 A．5 B．4 C．3 D．2 8．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為 A． B． C． D． 9．等差數(shù)列的首項

4、為1，公差不為0．若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則前6項的和為 A．-24 B．-3 C．3 D．8 10．已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為 A． B． C． D． 11．已知函數(shù)有唯一零點，則a= A． B． C． D．1 12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若= +，則+的最大值為 A．3 B．2 C． D．2 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13．若，滿足約束條

5、件，則的最小值為__________． 14．設(shè)等比數(shù)列滿足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，則a4 = ___________． 15．設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是_________。 16．a(chǎn)，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角； ②當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角； ③直線AB與a所成角的最小值為45°； ④直線AB與a所成角的最小值為60°； 其中正確的是________。（填寫所有正確結(jié)論的

6、編號） 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．（12分） △ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2． （1）求c； （2）設(shè)D為BC邊上一點，且AD AC,求△ABD的面積． 18．（12分） 某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如

7、果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。 （1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列； （2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（

8、單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？ 19．（12分） 如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）證明：平面ACD⊥平面ABC； （2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值． 20．（12分） 已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C與A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓． （1）證明：坐標(biāo)原點O在圓M上； （2）設(shè)圓M過點P（4，-2），求直線l與圓M的方程． 21．（12分） 已知函數(shù) =x﹣1﹣alnx． （

9、1）若 ，求a的值； （2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，﹤m，求m的最小值． （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。 22．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為．設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C． （1）寫出C的普通方程； （2）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ+sinθ)-=0，M為l3與C的交點，求M的極徑． 23．[選修45：不等式選講]（10分） 已知函數(shù)f（x）=│x+1│

10、–│x–2│． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范圍． 絕密★啟用前 2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)試題正式答案 一、選擇題 1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A 二、填空題 13. -1 14. -8 15. 16. ②③ 三、解答題 17.解： （1）由已知得 tanA= 在

11、 △ABC中，由余弦定理得 （2）有題設(shè)可得 故△ABD面積與△ACD面積的比值為 又△ABC的面積為 18.解： （1）由題意知，所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知 . 因此的分布列為 0.2 0.4 0.4 ⑵由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮 當(dāng)時， 若最高氣溫不低于25，則Y=6n-4n=2n 若最高氣溫位于區(qū)間，則Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n; 若最高氣溫低于20，則Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此E

12、Y=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 當(dāng)時， 若最高氣溫不低于20，則Y=6n-4n=2n; 若最高氣溫低于20，則Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n 所以n=300時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元。 19.解： （1）由題設(shè)可得， 又是直角三角形，所以 取AC的中點O，連接DO,BO,則DO⊥AC,DO=AO 又由于 所以 （2） 由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，為單

13、位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點，得E.故 設(shè)是平面DAE的法向量，則 可取 設(shè)是平面AEC的法向量，則同理可得 則 所以二面角D-AE-C的余弦值為 20.解 （1）設(shè) 由可得 又=4 因此OA的斜率與OB的斜率之積為 所以O(shè)A⊥OB 故坐標(biāo)原點O在圓M上. （2）由（1）可得 故圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑 由于圓M過點P（4，-2），因此,故 即 由（1）可得， 所以，解得. 當(dāng)m=1時，直線l的方程為x-y-2=

14、0，圓心M的坐標(biāo)為（3,1），圓M的半徑為，圓M的方程為 當(dāng)時，直線l的方程為，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為，圓M的方程為 21.解：（1）的定義域為. ①若，因為，所以不滿足題意； ②若，由知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故x=a是在的唯一最小值點. 由于，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1時，. 故a=1 （2）由（1）知當(dāng)時， 令得，從而 故 而，所以m的最小值為3. 22.解： （1）消去參數(shù)t得l1的普通方程；消去參數(shù)m得l2的普通方程 設(shè)P（x,y）,由題設(shè)得，消去k得. 所以C的普通方程為 （2）C的極坐標(biāo)方程為 聯(lián)立得. 故，從而 代入得，所以交點M的極徑為. 23.解： （1） 當(dāng)時，無解； 當(dāng)時，由得，，解得 當(dāng)時，由解得. 所以的解集為. （2）由得，而 且當(dāng)時，. 故m的取值范圍為