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1、(全國通用版)2022高考數(shù)學二輪復習 12+4分項練12 圓錐曲線 理
1.(2018·大連模擬)設橢圓C:+y2=1的左焦點為F,直線l:y=kx(k≠0)與橢圓C交于A,B兩點,則△AFB周長的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 根據(jù)橢圓對稱性得△AFB的周長為
|AF|+|AF′|+|AB|=2a+|AB|=4+|AB|(F′為右焦點),
由y=kx,+y2=1,得x=,
∴|AB|=·2|xA|=4
=4∈(2,4)(k≠0),
即△AFB周長的取值范圍是=.
2.(2018·煙臺模擬)已知雙曲線-y2=1(a>0)兩焦點之間的距
2、離為4,則雙曲線的漸近線方程是( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
答案 A
解析 由雙曲線-y2=1(a>0)的兩焦點之間的距離為4,可得2c=4,所以c=2,
又由c2=a2+b2,即a2+1=22,解得a=,
所以雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x.
3.(2018·湖南省岳陽市第一中學模擬)設拋物線y2=4x上一點P到y(tǒng)軸的距離為d1,到直線l:3x+4y+12=0的距離為d2,則d1+d2的最小值為( )
A.2 B. C. D.3
答案 A
解析 由①
得3y2+16y+48=0,Δ=256-12×48<0,故①無解
3、,
所以直線3x+4y+12=0與拋物線是相離的.
由d1+d2=d1+1+d2-1,
而d1+1為P到準線x=-1的距離,
故d1+1為P到焦點F(1,0)的距離,
從而d1+1+d2的最小值為焦點到直線3x+4y+12=0的距離=3,
故d1+d2的最小值為2.
4.(2018·重慶模擬)已知拋物線y2=4x的焦點為F,以F為圓心的圓與拋物線交于M,N兩點,與拋物線的準線交于P,Q兩點,若四邊形MNPQ為矩形,則矩形MNPQ的面積是( )
A.16 B.12 C.4 D.3
答案 A
解析 根據(jù)題意,四邊形MNPQ為矩形,
可得|PQ|=|MN|,
從而得到
4、圓心F到準線的距離與到MN的距離是相等的,
所以M點的橫坐標為3,代入拋物線方程,設M為x軸上方的交點,
從而求得M(3,2),N(3,-2),
所以|MN|=4,=4,
從而求得四邊形MNPQ的面積為S=4×4=16.
5.(2018·重慶模擬)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,以OF2為直徑的圓M與雙曲線C相交于A,B兩點,其中O為坐標原點,若AF1與圓M相切,則雙曲線C的離心率為( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 根據(jù)題意,有|AM|=,=,
因為AF1與圓M相切,所以∠F1AM=,
所以由勾股定理可得=c,
5、
所以cos∠F1MA==,
所以cos∠AMF2=-,且|MF2|=,
由余弦定理可求得
= =c,
所以e===.
6.(2018·重慶調(diào)研)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2,以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為M,若|MF1|-|MF2|=2b,該雙曲線的離心率為e,則e2等于( )
A.2 B.3
C. D.
答案 D
解析 以線段F1F2 為直徑的圓的方程為x2+y2=c2,
雙曲線經(jīng)過第一象限的漸近線方程為y=x,
聯(lián)立方程求得M(a,b),
因為=2b<2c,
所以M(a,b)在雙曲線-=
6、1(a>0,b>0)上,
所以-=1,所以-=1,
化簡得e4-e2-1=0,
由求根公式得e2=(負值舍去).
7.已知點P在拋物線y2=x上,點Q在圓2+(y-4)2=1上,則|PQ|的最小值為( )
A.-1 B.-1
C.2-1 D.-1
答案 A
解析 設拋物線上點的坐標為P(m2,m).
圓心與拋物線上的點的距離的平方
d2=2+(m-4)2=m4+2m2-8m+.
令f(m)=m4+2m2-8m+,
則f′(m)=4(m-1)(m2+m+2),
由導函數(shù)與原函數(shù)的關系可得函數(shù)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,函數(shù)的最小
7、值為f(1)=,由幾何關系可得|PQ|的最小值為-1=-1.
8.(2018·昆明模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0),圓M:2+y2=p2,直線l:y=k(k≠0),自上而下順次與上述兩曲線交于A1,A2,A3,A4四點,則等于( )
A. B. C.p D.
答案 B
解析 圓M:2+y2=p2的圓心為拋物線的焦點F,半徑為p.
直線l:y=k過拋物線的焦點F.
設A2(x1,y1),A4(x2,y2).
不妨設k<0,則x1<,x2>.
|A1A2|=|A1F|-|A2F|=p-=-x1,
|A3A4|=|A4F|-|A3F|=-p=x2-.
由 得k2
8、x2-p(k2+2)x+=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
所以 =
==
==.
9.(2018·江西省景德鎮(zhèn)市第一中學等盟校聯(lián)考)已知拋物線C:y2=2px(p>0),過其焦點F的直線l交拋物線于A,B兩點,若=3,且拋物線C上存在點M與x軸上一點N(7,0)關于直線l對稱,則該拋物線的焦點到準線的距離為( )
A.4 B.5 C. D.6
答案 D
解析 拋物線y2=2px(p>0)的準線為l′:x=-,
如圖所示,當直線AB的傾斜角為銳角時,
分別過點A,B作AP⊥l′,BQ⊥l′,垂足為P,Q,
過點B作BD⊥AP交AP于點D,
則|AP|=|
9、AF|,|BQ|=|BF|,
∵|AF|=3|BF|=|AB|,
∴|AP|-|BQ|=|AD|
=|AF|-|BF|=|AB|,
在Rt△ABD中,由|AD|=|AB|,
可得∠BAD=60°,
∵AP∥x軸,∴∠BAD=∠AFx=60°,
∴kAB=tan 60°=,
直線l的方程為y=,
設M點坐標為(xM,yM),
由
可得xM=p-,yM=,
代入拋物線的方程化簡可得
3p2-4p-84=0,解得p=6(負值舍去),
該拋物線的焦點到準線的距離為6.
10.已知F1,F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且∠F1PF2=,則橢圓和雙曲線的離
10、心率乘積的最小值為( )
A. B. C.1 D.
答案 B
解析 設橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,
設橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的半實軸長為a2,
半焦距為c,P為第一象限內(nèi)的公共點,
則
解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,
所以4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)·cos ,
所以4c2=(2-)a+(2+)a,
所以4=+≥2=,
所以e1e2≥,故選B.
11.(2017·全國Ⅰ)設A,B是橢圓C:+=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是( )
A.
11、(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞)
答案 A
解析 方法一 設橢圓焦點在x軸上,
則0
12、法二 當03時,焦點在y軸上,
要使C上存在點M滿足∠AMB=120°,
則≥tan 60°=,即≥,解得m≥9.
故m的取值范圍為(0,1]∪[9,+∞).
故選A.
12.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,P為雙曲線右支上一點(異于右頂點),△PF1F2的內(nèi)切圓與x軸切于點(2,0).過F2作直線l與雙曲線交于A,B兩點,若使|AB|=b2的直線l恰有三條,則雙曲線離心率的取值范圍是( )
A.(1,) B.(1
13、,2)
C.(,+∞) D.(2,+∞)
答案 C
解析 |F1F2|=2c(c2=a2+b2),
設△PF1F2的內(nèi)切圓分別與PF1,F(xiàn)1F2,PF2切于點G,H,I,
則|PG|=|PI|,|F1G|=|F1H|,|F2H|=|F2I|.
由雙曲線的定義知
2a=|PF1|-|PF2|=|F1G|-|F2I|=|F1H|-|F2H|,
又|F1H|+|F2H|=|F1F2|=2c,
故|F1H|=c+a,|F2H|=c-a,
所以H(a,0),即a=2.
注意到這樣的事實:
若直線l與雙曲線的右支交于A,B兩點,
則當l⊥x軸時,|AB|有最小值=b2;
若
14、直線l與雙曲線的兩支各交于一點(A,B兩點),
則當l⊥y軸時,|AB|有最小值2a,于是,
由題意得b2>2a=4,b>2,c=>2,
所以雙曲線的離心率e=>.故選C.
13.(2018·三明質(zhì)檢)已知中心是坐標原點的橢圓C過點,且C的一個焦點坐標為(2,0),則C的標準方程為________.
答案 +y2=1
解析 根據(jù)題意得橢圓的另一個焦點坐標是(-2,0),
則2a=+
==2,
所以a=,因為c=2,所以b==1,
從而得到橢圓的標準方程為+y2=1.
14.在平面直角坐標系xOy中,點M不與點O重合,稱射線OM與圓x2+y2=1的交點N為點M的“中心投影點
15、”.
(1)點M(1,)的“中心投影點”為________;
(2)曲線x2-=1上所有點的“中心投影點”構(gòu)成的曲線的長度是________.
答案 (1) (2)
解析 (1)|OM|==2,|ON|=1,
所以=,則N點坐標為.
(2)雙曲線x2-=1的漸近線方程為y=±x,由“中心投影點”的定義知,中心投影點是單位圓上夾在兩漸近線之間的與x軸相交的兩段圓弧,一條漸近線的傾斜角為,因此弧長為2×π×1=.
15.已知點F1,F(xiàn)2分別是雙曲線C:x2-=1(b>0)的左、右焦點,O為坐標原點,點P在雙曲線C的右支上,且滿足|F1F2|=2|OP|,tan∠PF2F1≥4,則雙曲
16、線C的半焦距的取值范圍為____________.
答案
解析 由|F1F2|=2|OP|可得△PF1F2為直角三角形,∠F1PF2=90°,tan∠PF2F1≥4,
即|PF1|≥4|PF2|,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
又|PF1|-|PF2|=2a,可得|PF2|≤a,
由(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2化為(|PF2|+a)2=2c2-a2≤2,可得c≤,
又雙曲線中c>a=1,
所以雙曲線C的半焦距的取值范圍為.
16.(2018·威海模擬)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,P,Q是拋物線上的兩個動點,線段PQ的中點為M,過M作拋
17、物線準線的垂線,垂足為N,若|MN|=|PQ|,則∠PFQ的最大值為________.
答案
解析 如圖所示,分別過P,Q作拋物線準線的垂線,垂足為A,B,
設|PF|=2a,|QF|=2b,
由拋物線定義,得|PF|=|PA|,|QF|=|QB|,
在梯形ABQP中,2|MN|=|PA|+|QB|=2a+2b,
∴|MN|=a+b.
若PQ過焦點F,則|PQ|=|PF|+|QF|=2a+2b,
又|MN|=a+b,且|MN|=|PQ|,
∴2a+2b=a+b,
∴a+b=0,顯然不成立,
∴PQ不過焦點F.
∵|MN|=|PQ|,∴|PQ|=a+b,
設∠PFQ=θ,由余弦定理得,
(a+b)2=4a2+4b2-8abcos θ,
∴a2+b2+2ab=4a2+4b2-8abcos θ,
∴cos θ=≥=,
當且僅當a=b時取等號,
又∵θ∈(0,π),∴0<θ≤,
∴∠PFQ的最大值為.