2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1.1 函數(shù)的概念學案 新人教A版必修第一冊

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1、第1課時　函數(shù)的概念 1．理解函數(shù)的概念． 2．了解構(gòu)成函數(shù)的三要素． 3．能正確使用函數(shù)、區(qū)間符號． 1．函數(shù)的概念 (1)函數(shù)的定義 設A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A. (2)函數(shù)的定義域與值域 函數(shù)y＝f(x)中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集． (3)對應關系f：除解析式、圖象表格

2、外，還有其他表示 對應關系的方法，引進符號f統(tǒng)一表示對應關系． 溫馨提示：(1)當A，B為非空數(shù)集時，符號“f：A→B”表示A到B的一個函數(shù)． (2)集合A中的數(shù)具有任意性，集合B中的數(shù)具有唯一性． (3)符號“f”它表示對應關系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣． 2．區(qū)間概念(a，b為實數(shù)，且a

3、s確定嗎？ (3)下落后的某一時刻，能同時對應兩個距離嗎？ [答案]　(1)0≤t≤3,0≤s≤44.1　(2)確定　(3)不能 2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)區(qū)間表示數(shù)集，數(shù)集一定能用區(qū)間表示．(　　) (2)數(shù)集{x|x≥2}可用區(qū)間表示為[2，＋∞]．(　　) (3)根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的一個x可以對應著不同的y.(　　) (4)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 題型一函數(shù)關系的判斷 【典例1】　(1)判斷下列對應是不是從集合A到集合B的函數(shù)． ①A＝N，B＝N*，對應法則f

4、：對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應； ②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，對應法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； ③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，對應法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； ④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，對應法則f：對A中元素求面積與B中元素對應． (2)設M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函數(shù)y＝f(x)的定義域為M，值域為N，對于下列四個圖象，不可作為函數(shù)y＝f(x)的圖象的是(　　) [思路導引]　在“非空數(shù)集”A中“任取x”，在對應關系“f”作用下，B中“有唯一”的“數(shù)f(x)”與之“對應”

5、，稱f：A→B為集合A到集合B的一個函數(shù)． [解析]　(1)①對于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒有元素與之對應，所以不是函數(shù)． ②對于A中的元素±1，在f的作用下與B中的1對應，A中的元素±2，在f的作用下與B中的4對應，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對應，是“多對一”的對應，故是函數(shù)． ③對于A中的任一元素，在對應關系f的作用下，B中都有唯一的元素與之對應，如±1對應1，±2對應4，所以是函數(shù)． ④集合A不是數(shù)集，故不是函數(shù)． (2)由函數(shù)定義可知，任意作一條直線x＝a，則與函數(shù)的圖象至多有一個交點，結(jié)合選項可知C中圖象不表示y是x的函數(shù)

6、． [答案]　(1)見解析　(2)C (1)判斷對應關系是否為函數(shù)的2個條件 ①A、B必須是非空數(shù)集． ②A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應． (2)根據(jù)圖形判斷對應是否為函數(shù)的方法 ①任取一條垂直于x軸的直線l. ②在定義域內(nèi)平行移動直線l. ③若l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù)． [針對訓練] 1．若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，則下列圖形給出的對應中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)f：M→N的是(　　) [解析]　A中的對應不滿足函數(shù)的存在性，即存在x∈M，但N中無與之對

7、應的y；B、C均不滿足函數(shù)的唯一性，只有D正確． [答案]　D 2．下列對應為從集合A到集合B的一個函數(shù)的是______．(填序號) ①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； ②A＝Z，B＝N*，f：x→y＝x2； ③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； ④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0. [解析]?、僦校螦中的元素0在集合B中沒有元素與之對應，②中同樣是集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對應，對于③，集合A中負整數(shù)沒有意義． [答案]?、? 題型二用區(qū)間表示數(shù)集 【典例2】　把下列數(shù)集用區(qū)間表示，并在數(shù)軸上表示出來． (1){x|x≥3}； (

8、2){x|x<－5}； (3){x|－4≤x<2或3

9、表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點． [針對訓練] 3．已知全集U＝R，A＝{x|－15}＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)． [答案]　(－∞，－1]∪(5，＋∞) 4．用區(qū)間表示不等式{x|x2－x－6≥0}的解集為______________________． [解析]　不等式x2－x－6＝(x－3)(x＋2)≥0，解得x≥3或x≤－2，所以不等式的解集為{x|x≤－2或x≥3}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)． [答案]　(－∞，－2]∪[3，＋∞) 題型三求函數(shù)的定義域 【

10、典例3】　求下列函數(shù)的定義域． (1)y＝2＋； (2)y＝(x－1)0＋； (3)y＝·； (4)y＝－. [思路導引]　函數(shù)定義域即是使自變量x有意義的取值范圍． [解]　(1)當且僅當x－2≠0，即x≠2時，函數(shù)y＝2＋有意義，所以這個函數(shù)的定義域為{x|x≠2}． (2)函數(shù)有意義，當且僅當解得x>－1，且x≠1，所以這個函數(shù)的定義域為{x|x>－1且x≠1}． (3)函數(shù)有意義，當且僅當解得1≤x≤3，所以這個函數(shù)的定義域為{x|1≤x≤3}． (4)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足即即解得－3≤x≤2且x≠－1，即函數(shù)定義域為{x|－3≤x≤2且x≠－1}．

11、 [變式]　(1)將本例(3)中“y＝·”改為“y＝”，則其定義域是什么？ (2)將本例(3)中“y＝·”改為“y＝”，則其定義域是什么？ [解]　(1)要使函數(shù)有意義，只需(3－x)(x－1)≥0，解得1≤x≤3，即定義域為{x|1≤x≤3}． (2)要使函數(shù)有意義，則解得1

12、f(x)是實際問題的解析式，則應符合實際問題，使實際問題有意義． [針對訓練] 5．求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝. [解]　(1)要使函數(shù)有意義，需x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函數(shù)的定義域為{x|x≥3或x≤－1}． (2)要使函數(shù)有意義，則|x|－x≠0， 即|x|≠x，得x<0，所以函數(shù)的定義域為(－∞，0)． (3)要使函數(shù)有意義，則解得－≤x≤，且x≠±3，即定義域為{x|－≤x≤，且x≠±3}． 課堂歸納小結(jié) 1．函數(shù)的本質(zhì)：兩個非空數(shù)集間的一種確定的對應關系．由于函數(shù)的定義域和對應

13、關系一旦確定，值域隨之確定． 2．定義域是一個集合，所以需要寫成集合的形式，在已知函數(shù)解析式又對x沒有其他限制時，定義域就是使函數(shù)式有意義的x的集合． 3．對區(qū)間的幾點認識 (1)區(qū)間是集合，是數(shù)集，區(qū)間的左端點必須小于右端點． (2)用數(shù)軸表示區(qū)間時，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心點表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點． (3)在用區(qū)間表示集合時，開和閉不能混淆． (4)“∞”是一個符號，不是一個數(shù)，它表示數(shù)的變化趨勢. 1．函數(shù)f(x)＝的定義域為(　　) A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1,2) D．[1，＋∞) [解析]　由題意可知，要

14、使函數(shù)有意義，需滿足即x≥1且x≠2. [答案]　A 2．函數(shù)y＝＋的定義域為(　　) A．{x|x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤－1} D．{x|0≤x≤1} [解析]　由題意可知解得0≤x≤1. [答案]　D 3．函數(shù)f(x)＝的定義域為(　　) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|－2

15、解析]　結(jié)合區(qū)間的定義知，用區(qū)間表示為[－1,0)∪(1,2]． [答案]　[－1,0)∪(1,2] 5．已知矩形的周長為1，它的面積S是其一邊長為x的函數(shù)，則其定義域為________(結(jié)果用區(qū)間表示)． [解析]　由實際意義知x>0，又矩形的周長為1，所以x<，所以定義域為. [答案]　 課后作業(yè)(十五) 復習鞏固 一、選擇題 1．若函數(shù)y＝f(x)的定義域M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(　　) [解析]　A中定義域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中圖象不表示函數(shù)關系，D中值域不是N＝{y

16、|0≤y≤2}． [答案]　B 2．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示從A到B的函數(shù)的是(　　) A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝ [解析]　對于選項C，當x＝4時，y＝>2不合題意．故選C. [答案]　C 3．下列對應關系或關系式中，是A到B的函數(shù)的是(　　) A．x2＋y2＝1，x∈A，y∈B B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，對應關系如圖 C．A＝R，B＝R，f：x→y＝ D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ [解析]　A錯誤，x2＋y2＝1可化為y＝±，顯然對任意x∈A，y值不一定

17、唯一．B正確，符合函數(shù)的定義．C錯誤，2∈A，在B中找不到與之相對應的數(shù)．D錯誤，－1∈A，在B中找不到與之相對應的數(shù)． [答案]　B 4．函數(shù)f(x)＝的定義域為M，g(x)＝的定義域為N，則M∩N＝(　　) A．{x|x≥－2} B．{x|－2≤x<2} C．{x|－2

18、義域為(　　) A．R B．{x|x>0} C．{x|00， ∴x<5，又兩邊之和大于第三邊， ∴2x>10－2x，x>， ∴此函數(shù)的定義域為. [答案]　D 二、填空題 6．下列說法正確的是________(填所有正確說法的序號)． ①函數(shù)的定義域可以是空集； ②函數(shù)的定義域和值域確定后，對應關系也就確定了； ③函數(shù)的定義域、值域都是非空的數(shù)集； ④函數(shù)值域中的每一個值在定義域中都有唯一確定的數(shù)與之對應． [解析]　由函數(shù)定義知，定義域和值域都是非空的數(shù)集，故①錯誤，③正確；函數(shù)的定義域

19、和值域確定后，可以有不同的對應關系，如y＝|x|，y＝x2，故②錯誤；函數(shù)值域中的每一個值在定義域中有一個或多個確定的數(shù)與之對應，故④錯誤． [答案]?、? 7．函數(shù)y＝的定義域是________． [解析]　由已知得7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7，故函數(shù)的定義域為[－1,7]． [答案]　[－1,7] 8．設集合A＝{x|x2－8x－20<0}，B＝[5,13)，則?R(A∩B)＝__________________(用區(qū)間表示)． [解析]　∵A＝{x|x2－8x－20<0}＝{x|－2

20、∞，5)∪[10，＋∞)． [答案]　(－∞，5)∪[10，＋∞) 三、解答題 9．求下列函數(shù)的定義域． (1)y＝； (2)y＝＋. [解]　(1)由題意得 化簡得即 故函數(shù)的定義域為{x|x<0且x≠－3}． (2)由題意可得 解得 故函數(shù)的定義域為{x|x≤7且x≠±}． 10．為了保護環(huán)境，某公交公司決定購買10臺全新的混合動力公交車，現(xiàn)有A、B兩種型號，其中每臺的價格，年省油量如下表： 型號 A B 價格(萬元/臺) a b 節(jié)省的油量(萬升/年) 2.4 2 經(jīng)調(diào)查，購買一臺A型車比購買一臺B型車多20萬元，購買兩臺A型車比購買三臺B型車

21、少60萬元． (1)請求出a和b； (2)若購買A型車x臺，每年節(jié)省汽油y升，試寫出y關于x的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域． [解]　(1)根據(jù)題意得：，解得. (2)設購買A型車x臺，則購買B型車(10－x)臺，根據(jù)題意得y＝2.4x＋2(10－x)＝0.4x＋20 其中0≤x≤10，x∈N. 答：每年節(jié)約汽油y升與購買A型車x臺的函數(shù)關系式為y＝0.4x＋20(0≤x≤10，且x∈N)． 綜合運用 11．函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝a的交點個數(shù)有(　　) A．必有一個 B．一個或兩個 C．至多一個 D．可能兩個以上 [解析]　當a在f(x)定義域內(nèi)時，有一個

22、交點，否則無交點． [答案]　C 12．給出四個結(jié)論：①函數(shù)就是定義域到值域的對應關系；②若函數(shù)的定義域只含有一個元素，則值域也只有一個元素；③因f(x)＝5(x∈R)，這個函數(shù)值不隨x的變化范圍而變化，所以f(0)＝5也成立；④定義域和對應關系確定后，函數(shù)值域也就確定了．其中正確的有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 [解析]　由函數(shù)的概念可知，①不正確，其余三個結(jié)論都正確． [答案]　C 13．在下列從集合A到集合B的對應關系中，不能確定y是x的函數(shù)的是(　　) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，對應法則f：x→y＝； ②A＝{x|x>0，x∈R

23、}，B＝{y|y∈R}，對應法則f：x→y2＝3x； ③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，對應法則f：x→x2＋y2＝25； ④A＝R，B＝R，對應法則f：x→y＝x2； ⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，對應法則f：(x，y)→s＝x＋y； ⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，對應法則f：x→y＝0. A．①⑤⑥ B．②④⑤ C．②③④ D．①②③⑤ [解析]　①在對應法則f下，A中不能被3整除的數(shù)在B中沒有元素與之對應，所以不能確定y是x的函數(shù)．②在對應法則f下，A中的數(shù)在B中有兩個數(shù)與之對應，所以不能確定y是x的函數(shù)．③在對應法則f下，A中

24、的數(shù)(除去5與－5外)在B中有兩個數(shù)或沒有數(shù)與之對應，所以不能確定y是x的函數(shù)．⑤A不是數(shù)集，所以不能確定y是x的函數(shù)．④⑥顯然滿足函數(shù)的特征，故能確定y是x的函數(shù)．故選D. [答案]　D 14．已知區(qū)間[－2a,3a＋5]，則a的取值范圍為________． [解析]　由題意可知3a＋5>－2a，解得a>－1.故a的取值范圍是(－1，＋∞)． [答案]　(－1，＋∞) 15．函數(shù)y＝＋的定義域為____________________(用區(qū)間表示)． [解析]　使根式有意義的實數(shù)x的集合是{x|3－2x－x2≥0}即{x|(3－x)(x＋1)≥0}＝{x|－1≤x≤3}，使分式有意義的實數(shù)x的集合是{x|x≠±2}，所以函數(shù)y＝＋的定義域是{x|－1≤x≤3}∩{x|x≠±2}＝{x|－1≤x≤3，且x≠2}． [答案]　[－1,2)∪(2,3] 16．已知函數(shù)y＝的定義域是R，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　①當m＝0時，y＝，其定義域是R. ②當m≠0時，由定義域為R可知，mx2－6mx＋m＋8≥0對一切實數(shù)x均成立，于是有 解得0