四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用綜合檢測 新人教A版必修1

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1、四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用綜合檢測 新人教A版必修1 1.函數(shù)f(x)=x-的零點是(　　). A.1 B.-1 C.1和-1 D.不存在 【解析】∵x-==0,∴x=±1. 【答案】C 2.函數(shù)f(x)=2x+3x的零點所在的一個區(qū)間是(　　). A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 【解析】∵f(x)為增函數(shù),f(-1)=-<0,f(0)=1>0, ∴f(x)的零點位于區(qū)間(-1,0)內(nèi). 【答案】B 3.已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)f(x)的零點為(　　). A.,0 B.-2,0 C. D.0 【解析】當(dāng)x≤1時

2、,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0.當(dāng)x>1時,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=,不合題意,所以函數(shù)的零點為0,選D. 【答案】D 4.已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函數(shù)f(x)的兩個零點,則實數(shù)a,b,α,β的大小關(guān)系可能是(　　). A.a<α

3、之間,只有選項C滿足. 【答案】C 5.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以判斷方程ex-x-2=0的一個根所在的區(qū)間是　　　　.? x -1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+2 1 2 3 4 5 　　【解析】令f(x)=ex-x-2,則f(1)·f(2)<0,故方程ex-x-2=0的一個根所在的區(qū)間為(1,2). 【答案】(1,2) 6.方程ln x=8-2x的實數(shù)根x∈(k,k+1),k∈Z,則k=　　　　.? 【解析】令f(x)=ln x+2x-8,則f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增. ∵f(3)=ln

4、 3-2<0,f(4)=ln 4>0, ∴函數(shù)f(x)的零點在(3,4)內(nèi),∴k=3. 【答案】3 7.已知方程ax2-2x+1=0的一個根在區(qū)間(0,1)上,另一個根在區(qū)間(1,2)上,求實數(shù)a的取值范圍. 【解析】當(dāng)a=0時,方程為-2x+1=0,只有一個根,不符合題意. 當(dāng)a>0時,設(shè)f(x)=ax2-2x+1, ∵方程的根分別在區(qū)間(0,1),(1,2)上, ∴即解得

5、,且在(0,+∞)內(nèi)的零點有1008個,則f(x)的零點的個數(shù)為(　　). A.1008 B.1009 C.2016 D.2017 【解析】因為f(x)為奇函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)有1008個零點,所以在(-∞,0)上也有1008個零點,又因為f(0)=0,所以共有2016+1=2017個零點. 【答案】D 9.方程0.9x-x=0的實數(shù)解的個數(shù)是(　　). A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】設(shè)f(x)=0.9x-x,則f(x)為R上的減函數(shù),且f(0)>0,f(21)<0,故方程0.9x-x=0的實數(shù)解的個數(shù)是1. 【答案】B 10.若函數(shù)f(x)唯一的零點在區(qū)間

6、(1,3)或(1,4)或(1,5)內(nèi),則 ①函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(1,2)或(2,3)內(nèi); ②函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,5)內(nèi)無零點; ③函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,5)內(nèi)有零點; ④函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,4)內(nèi)不一定有零點; ⑤函數(shù)f(x)的零點必在區(qū)間(1,5)內(nèi). 以上說法錯誤的是　　　　.(將序號填在橫線上)? 【解析】由于三個區(qū)間是包含關(guān)系,而(1,5)范圍最大,故零點可能在區(qū)間(1,5)的任何一個子區(qū)間內(nèi),故①②③錯誤. 【答案】①②③ 11.設(shè)函數(shù)g(x)=ax2+bx+c(a>0),且g(1)=-. (1)求證:函數(shù)g(x)有兩個零點. (2)討論函數(shù)g

7、(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)的零點個數(shù). 【解析】(1)∵g(1)=a+b+c=-, ∴3a+2b+2c=0,∴c=-a-b. ∴g(x)=ax2+bx-a-b,∴Δ=b2+4a=(2a+b)2+2a2, ∵a>0,∴Δ>0恒成立, 故函數(shù)f(x)有兩個零點. (2)根據(jù)g(0)=c,g(2)=4a+2b+c,由(1)知3a+2b+2c=0,∴g(2)=a-c. ①當(dāng)c>0時,有g(shù)(0)>0,又∵a>0,∴g(1)=-<0, 故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個零點,故在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點. ②當(dāng)c≤0時,g(1)<0,g(0)=c≤0,g(2)=a-c>0, ∴

8、函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點, 綜合①②,可知函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點. 第2課時　 函數(shù)零點的應(yīng)用 基礎(chǔ)達標(水平一) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.函數(shù)f(x)=的零點有(　　). A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 【解析】由f(x)==0得x=1或x=-2(舍去),∴函數(shù)f(x)只有1個零點. 【答案】B 2.已知函數(shù)f(x)=若方程f(x)=k無實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍為(　　). A.k

9、圖所示,方程f(x)=k無實數(shù)根,即兩個函數(shù)圖象無交點,故k0,f(2)<0,則f(x)在區(qū)間(1,2)上(　　)零點. A.至多有一個 B.有一個或兩個 C.有且僅

10、有一個 D.沒有 【解析】若a=0,則b≠0,此時f(x)=bx+c為單調(diào)函數(shù). ∵f(1)>0,f(2)<0,∴f(x)在區(qū)間(1,2)上有且僅有一個零點. 若a≠0,則f(x)為開口向上或向下的拋物線.若f(x)在區(qū)間(1,2)上有兩個零點或無零點,則必有f(1)·f(2)>0. ∵f(1)>0,f(2)<0,∴f(x)在區(qū)間(1,2)上有且僅有一個零點,故選C. 【答案】C 5.若函數(shù)y=2-|x-1|-m有零點,則實數(shù)m的取值范圍是　　　　.? 【解析】由函數(shù)y=2-|x-1|=的圖象(圖略)可知0

11、≤1. 【答案】00且a≠1)有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 【解析】函數(shù)f(x)的零點的個數(shù)就是函數(shù)y=ax與函數(shù)y=x+a圖象交點的個數(shù),由函數(shù)的圖象可知當(dāng)a>1時,兩函數(shù)圖象有兩個交點;當(dāng)01. 【答案】(1,+∞) 7.若關(guān)于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的一個根在區(qū)間(0,1)上,另一個根在區(qū)間(1,2)上,求實數(shù)k的取值范圍. 【解析】 令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1, 由圖象可得只需f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0即可滿足題意,

12、 即 解得 因此實數(shù)k的取值范圍為. 拓展提升(水平二) 8.定義在R上的奇函數(shù)y=f(x),當(dāng)x>0時,y=f(x)是增函數(shù),且f(1)·f(2)<0,則函數(shù)y=f(x)的零點個數(shù)是(　　). A.1 B.2 C.3 D.條件不足,無法判斷 【解析】由y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(1)·f(2)<0,得函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上有且僅有一個零點.由奇函數(shù)關(guān)于原點對稱的性質(zhì)知函數(shù)y=f(x)在(-∞,0)上也只有一個零點.又當(dāng)x=0時,f(0)=0,所以函數(shù)y=f(x)在R上共有三個零點.故選C. 【答案】C 9.若函數(shù)f(x)滿足在區(qū)間(1,2)上有唯

13、一的零點,則(　　). A.f(1)·f(2)>0 B.f(1)·f(2)=0 C.f(1)·f(2)<0 D.無法確定f(1)·f(2)與0的大小關(guān)系 【解析】如圖, A、B、C三個選項都有可能,故選D. 【答案】D 10.已知函數(shù)f(x)=|ln x|,g(x)=則方程|f(x)+g(x)|=1的實根個數(shù)為　　　　.? 【解析】當(dāng)01時,f(x)+g(x)=ln x+x2-6單調(diào)遞減,值域為(-5,+∞),方程f(x)+g(x)=1有1個解,方程f(x)+g(x)=-1有1個解. 綜上所述,原方程有3個實

14、根. 【答案】3 11.已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4]. (1)畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,并寫出其值域; (2)當(dāng)m為何值時,函數(shù)g(x)=f(x)+m在區(qū)間[-1,4]內(nèi)有兩個零點? 【解析】(1)依題意,f(x)=(x-1)2-4,x∈[-1,4], 其圖象如圖所示. 由圖可知,函數(shù)f(x)的值域為[-4,5]. (2)∵函數(shù)g(x)=f(x)+m在區(qū)間[-1,4]上有兩個零點, ∴方程f(x)=-m在x∈[-1,4]上有兩個相異的實數(shù)根, 即函數(shù)y=f(x)與直線y=-m的圖象有兩個交點. 由(1)所作的圖象可知,-4<-m≤0,∴0≤m<

15、4. ∴當(dāng)0≤m<4時,函數(shù)g(x)=f(x)+m在區(qū)間[-1,4]內(nèi)有兩個零點. 第3課時　用二分法求方程的近似解 基礎(chǔ)達標(水平一) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.若函數(shù)f(x)在[3,5]上連續(xù),且滿足f(3)·f(5)<0,取區(qū)間(3,5)內(nèi)的中點值4之后,發(fā)現(xiàn)有f(3)·f(4)>0,則f(x)(　　). A.在[3,4]上有零點 B.在[4,5]上有零點 C.在[3,4]上無零點 D.在[4,5]上無零點 【解析】根據(jù)f(3)·f(4)>0無法判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,4]上是否有零點,故排除A、C,但可推出f(4)·f(5)<0,所以

16、可確定函數(shù)f(x)在區(qū)間[4,5]上有零點. 【答案】B 2.設(shè)函數(shù)f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,則方程的根所在的區(qū)間為(　　)(區(qū)間長度0.25). A.(1,1.25) B.(1,1.5) C.(1.5,2) D.(1.25,1.5) 【解析】∵f(1)<0,f(1.25)<0,f(1.5)>0,∴方程的根落在(1.25,1.5)上. 【答案】D 3.用二分法求函數(shù)f(x)的一個正實數(shù)零點時,經(jīng)計算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,則函數(shù)

17、的一個精確度為0.1的正實數(shù)零點的近似值為(　　). A.0.9 B.0.7 C.0.5 D.0.4 【解析】因為f(0.72)>0,f(0.68)<0,所以零點在區(qū)間(0.68,0.72)內(nèi),又|0.72-0.68|=0.04<0.1,所以零點在區(qū)間[0.68,0.72]內(nèi),故只有B選項符合要求. 【答案】B 4.在用二分法求函數(shù)f(x)在(a,b)上的唯一零點x0的過程中,取(a,b)上的中點c=,若f(c)=0,則函數(shù)f(x)在(a,b)上的唯一零點x0(　　). A.在(a,c)上 B.在(c,b)上 C.在(a,c)或(c,d)上 D.等于 【解析】∵c=,且f(c)=

18、0,∴x0=.故選D. 【答案】D 5.已知函數(shù)f(x)=-log2x,若實數(shù)x0是方程-log2x=0的解,且01,并且當(dāng)00. 【答案】正 6.用二分法求連續(xù)函數(shù)f(x)=0在(1,5)上的近似解(精確度為0.1)的部分過程如下:f(1)·f(5)<0,取(1,5)的中點x1==3,計算得f(1)·f(x1)<0,f(x1)·f(5)>0,則此時能判斷函數(shù)f(x)一定有零點的最小區(qū)間為

19、　　　　.? 【解析】因為函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù),且f(1)·f(3)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上一定有零點.　 【答案】(1,3) 7.某娛樂節(jié)目有一個給選手在限定時間內(nèi)猜一物品售價的環(huán)節(jié),某次猜一品牌手機的價格,手機價格在500~1000元,選手開始報價1000元,主持人回答高了;緊接著報900元,高了;700元,低了;800元,低了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你猜中了.表面上看猜價格具有很大的碰運氣的成分,實際上體現(xiàn)了“逼近”的思想,試設(shè)計出可行的猜價方案. 【解析】取價格區(qū)間[500,1000]的中點750,低了;就再取[750,1000]的中點

20、875,高了;就取[750,875]的中點,遇到小數(shù),則取整數(shù),照此猜下去可以猜價:750,875,812,843,859,851,經(jīng)過6次即能猜中價格. 拓展提升(水平二) 8.用二分法求函數(shù)f(x)=ln x+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點近似值,至少經(jīng)過(　　)次二分后精確度達到0.01. A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】區(qū)間(2,3)的長度等于1,每經(jīng)過一次操作,區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?經(jīng)過n次操作后,區(qū)間長度變?yōu)?故有≤0.01,∴n≥7,∴至少需要操作7次.故選C. 【答案】C 9.已知曲線y=與y=x的交點的橫坐標是x0,則x0的取值范圍是(　　).

21、A. B. C. D.(1,2) 【解析】設(shè)f(x)=-x,則函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù),f(0)=1>0,f=-<0,顯然f(0)·f<0.所以x0的取值范圍為.故選A. 【答案】A 10.某方程有一個無理根在區(qū)間D=(1,3)內(nèi),若用二分法求此根的近似值,將區(qū)間D等分　　　　次后,所得近似值的精確度為0.1.? 【解析】由≤0.1(n∈N*),得2n≥20,∴n>4,故需將區(qū)間D等分5次. 【答案】5 11.如圖,有一塊邊長為15 cm的正方形鐵皮,將其四角各截去一個邊長為x cm的小正方形,然后折成一個無蓋的盒子. (1)求盒子的容積y(以x為自變量)的函數(shù)解析式,并

22、寫出這個函數(shù)的定義域. (2)如果要做一個容積為150 cm3的無蓋盒子,那么截去的小正方形的邊長x是多少(結(jié)果精確到0.1 cm)? 【解析】(1)盒子的容積y是以x為自變量的函數(shù),解析式為y=x(15-2x)2,x∈(0,7.5). (2)如果要做成一個容積是150 cm3的盒子, 則(15-2x)2·x=150. 令f(x)=(15-2x)2·x-150,由f(0)·f(1)<0,f(4)·f(5)<0,可以確定f(x)在(0,1)和(4,5)內(nèi)各有一個零點,即方程(15-2x)2·x=150在區(qū)間(0,1)和(4,5)內(nèi)各有一個解. 取區(qū)間(0,1)的中點x1=0.5,∵f

23、(0.5)=-52, ∴零點x0∈(0.5,1). 再取中點x2=0.75,∵f(0.75)≈-13.31,∴零點x0∈(0.75,1). 繼續(xù)有x0∈(0.75,0.875);x0∈(0.8125,0.875). 此時|0.875-0.8125|=0.0625<0.1, ∴方程在區(qū)間(0,1)內(nèi)結(jié)果精確到0.1 cm的近似解為0.8. 同理,可得方程在區(qū)間(4,5)內(nèi)精確度為0.1的近似解為4.7,所以要做成一個容積為150 cm3的無蓋盒子,截去小正方形的邊長大約是0.8 cm或4.7 cm. 第4課時　幾類不同增長的函數(shù)模型 基礎(chǔ)達標(水平一) 　　　　　　　　

24、　　　　　　　　　　　　 1.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,當(dāng)2y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1 【解析】在同一平面直角坐標系內(nèi)畫出這三個函數(shù)的圖象(圖略),在區(qū)間(2,4)內(nèi),從上到下圖象依次對應(yīng)的函數(shù)為y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.也可取特殊值,如3,代入即可. 【答案】B 2.在某種金屬材料的耐高溫實驗中,溫度隨著時間變化的情況由微機記錄后顯示的圖象如圖所示.現(xiàn)給出下列說法: ①前5 min溫度增加的速度越來越快;②前5 min溫度增加的速度越來越

25、慢; ③5 min以后溫度保持勻速增加; ④5 min以后溫度保持不變. 其中正確的說法是(　　). A.①③　　　B.②④　　　C.①④　　　D.②③ 【解析】因為溫度y關(guān)于時間t的圖象是先凸后平,即5 min前每當(dāng)t增加一個單位,y相應(yīng)的增量越來越小,而5 min后y關(guān)于t的增量保持為0,故②④正確. 【答案】B 3.某商品降價20%,由于原材料上漲,欲恢復(fù)原價,則需提價(　　). A.10% B.15% C.20% D.25% 【解析】設(shè)該商品原價為a,需提價x,依題意得 a(1-0.2)(1+x)=a, 即0.8+0.8x=1, 得x=0.25=25%,故選D.

26、 【答案】D 4.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,需經(jīng)過y年,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致為(　　). 【解析】設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a,由題意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),函數(shù)為對數(shù)函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)的圖象大致為D中圖象,故選D. 【答案】D 5.某種動物的繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關(guān)系式為y=alog2(x+1),已知該動物第一年繁殖100只,則第15年會繁殖　　　　只.? 【解析】由題意100=alog2(1+1),解得a=100,將x=15代入,得y=400. 【答案】40

27、0 6.下圖表示一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80 km的甲、乙兩城間從甲城行駛到乙城的路程與時間之間的函數(shù)關(guān)系,有人根據(jù)函數(shù)圖象,提出了關(guān)于這兩個旅行者的如下信息: ①騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3 h,晚到1 h; ②騎自行車者是變速運動,騎摩托車者是勻速運動; ③騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后追上了騎自行車者; ④騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后與騎自行車者速度一樣. 其中,正確信息的序號是　　　　.? 【解析】看時間軸易知①正確;騎摩托車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是直線,所以是勻速運動,而騎自行車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是折線,所以是變速運動,因此②正確;兩

28、條曲線的交點的橫坐標對應(yīng)著4.5,故③正確;④錯誤. 【答案】①②③ 7.某人對東北一種松樹的生長情況進行了研究,收集了其高度h(米)與生長時間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù),選擇h=mt+b與h=loga(t+1)兩種函數(shù)模型來刻畫h與t的關(guān)系,你認為哪種函數(shù)模型更符合該松樹的生長情況?并預(yù)測第8年的松樹高度. t(年) 1 2 3 4 5 6 h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 　　【解析】據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點圖如圖: 由圖可以看出用一次函數(shù)模型不吻合,選用對數(shù)函數(shù)模型比較合理. 不妨將(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=log

29、a3,解得a=3. 故可用函數(shù)h=log3(t+1)來擬合這個實際問題. 當(dāng)t=8時,求得h=log3(8+1)=2, 故可預(yù)測第8年松樹的高度為2米. 拓展提升(水平二) 8.某公司為開發(fā)新產(chǎn)品,計劃逐年加大研發(fā)資金的投入.若該公司2015年全年投入的研發(fā)資金為130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(　　). (參考數(shù)據(jù):lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 【解析】設(shè)第n年開始超過200萬元, 則13

30、0×(1+12%)n-2015>200, 整理得(n-2015)lg 1.12>lg 2-lg 1.3, n-2015>=3.8,故n=2019. 因此開始超過200萬元的年份是2019年.故選B. 【答案】B 9.如圖,點P在邊長為1的正方形邊上運動,設(shè)M為CD的中點,則當(dāng)P沿ABCM運動時,點P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y之間的函數(shù)y=f(x)的圖象大致是(　　). 【解析】依題意,當(dāng)0

31、PM=××1=-x+; 綜上可知,選項A符合題意. 【答案】A 10.為了鼓勵居民節(jié)約用水,我市某地水費按以下規(guī)定收取: ①當(dāng)每戶每月用水量不超過10噸(含10噸)時,水費單價3.20元/噸; ②當(dāng)每戶每月用水量超過10噸時,超過10噸的部分水費單價5.00元/噸. (1)某用戶某月用水量為x噸,需付水費為y元,則水費y (元)與用水量x (噸)之間的函數(shù)關(guān)系式為　　　　;? (2)若小華家四月份付水費42元,問他家四月份用水　　　　噸.? 【解析】(1)當(dāng)010時,y=32+5(x-10). 即函數(shù)關(guān)系式為y= (2)設(shè)小華家四月份用

32、水量為x噸. ∵42>3.20×10, ∴小華家四月份用水量超過10噸, 由題意得3.20×10+(x-10)×5=42, ∴x=12(噸).即小華家四月份的用水量為12噸. 【答案】(1)y=　(2)12 11.函數(shù)y=2x-2和y=x2的圖象如圖所示,其中有且只有x=x1,x2,x3時,兩函數(shù)數(shù)值相等,且x1<0

33、1)C1為y=x2,C2為y=2x-2. (2)結(jié)論①成立,理由如下: ∵函數(shù)y=2x-2在(-∞,-1]上是增函數(shù), ∴x∈(-∞,-1)時,2x-2<2-1-2=. 又∵函數(shù)y=x2在(-∞,-1]上是減函數(shù), ∴x∈(-∞,-1)時,x2>×(-1)2=. 而<,∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時,2x-20,f(2)=-<0, ∴f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點, ∴x2∈(1,2),同理f(x)在區(qū)間(5,6)內(nèi)有零點, ∴x3∈(5,6). 結(jié)論③成立,理由同②. 第5課時　函

34、數(shù)模型的應(yīng)用實例 基礎(chǔ)達標(水平一) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.“彎弓射雕”描述了游牧民族的豪邁氣概.當(dāng)弓箭手以每秒a米的速度從地面垂直向上射箭時,t秒后的高度x米可由x=at-5t2確定.已知射出2秒后箭離地面高100米,則弓箭能達到的最大高度為(　　). A.160米 B.170米 C.180米 D.190米 【解析】由x=at-5t2且t=2時,x=100,解得a=60.所以x=60t-5t2. 由x=-5t2+60t=-5(t-6)2+180, 知當(dāng)t=6時,x取得最大值為180, 即弓箭能達到的最大高度為180米. 【答案】C 2.某學(xué)校要

35、召開學(xué)生代表大會,規(guī)定各班每10人推選一名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表.那么各班可推選的代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為(　　). A.y= B.y= C.y= D.y= 【解析】當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表,可以看作先用該班人數(shù)除以10再用這個余數(shù)與3相加,若和大于等于10就增選一名代表,將二者合并便得到推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系,用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為y=.故選B. 【答案】B 3.馬先生兩年前購買了一部手機,現(xiàn)在這款手

36、機的價格已降為1000元,設(shè)這款手機每年降價20%,那么兩年前這部手機的價格為(　　 ). A.1535.5元 B.1440元 C.1620元 D.1562.5元 【解析】設(shè)這部手機兩年前的價格為a元,則有a(1-0.2)2=1000,解得a=1562.5. 【答案】D 4.加工爆米花時,爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率p與加工時間t(單位:分鐘)滿足的函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù)),右圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù),根據(jù)函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時間為(　　). A.3.50分鐘 B.3.75分鐘 C.4.00

37、分鐘 D.4.25分鐘 【解析】由圖形可知,三點(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函數(shù)p=at2+bt+c的圖象上,所以解得a=-0.2,b=1.5,c=-2, 所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2+,因為t>0,所以當(dāng)t==3.75時,p取最大值,故此時的t=3.75分鐘為最佳加工時間. 【答案】B 5.某商家將彩電價格先按原價提高40%,然后在廣告上寫上“大酬賓,八折優(yōu)惠”,結(jié)果每臺彩電比原價多賺270元,那么每臺彩電的原價為　　　　元.? 【解析】設(shè)原價為x元,則x(1+40%)·80%-x=270,解得x=2250. 【答案】2250 6.為了在“

38、十一”黃金周期間降價促銷,某超市對顧客實行購物優(yōu)惠活動,規(guī)定一次購物付款總額:①如果不超過200元,則不予優(yōu)惠;②如果超過200元,但不超過500元,則按標價給予9折優(yōu)惠;③如果超過500元,其中500元按第②條給予優(yōu)惠,超過500元的部分給予7折優(yōu)惠.小云和她的母親兩次去購物,分別付款168元和423元,假設(shè)她們一次性購買上述同樣的商品,則應(yīng)付款額為　　　　元.? 【解析】依題意,一次性購買x元商品和實際付款數(shù)f(x)之間的函數(shù)關(guān)系式為 f(x)= 當(dāng)f(x)=168時,由168÷0.9≈187<200,故此時x=168;當(dāng)f(x)=423時,由423÷0.9=470∈(200,500

39、],故此時x=470.∴兩次共購得價值為470+168=638元的商品,∴500×0.9+(638-500)×0.7=546.6元,故若一次性購買上述商品,應(yīng)付款額為546.6元. 【答案】546.6 7.根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬元時,兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元(如圖所示). (1)分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資額之間的函數(shù)關(guān)系式. (2)若該家庭現(xiàn)有資金20萬元,全部用于理財投資,問:怎樣分配資金能使投資獲得最大的收益?其最大收益為多少? 【解析】(1)

40、設(shè)投資額為x萬元,穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益為y1=f(x),風(fēng)險型產(chǎn)品的收益為y2=g(x), 由題設(shè)知,f(x)=k1x,g(x)=k2, 由圖①知,f(1)=,故k1=. 由圖②知,g(1)=,故k2=. 所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0). (2)設(shè)該家庭債券類投資為x萬元,股票類投資為(20-x)萬元, 則y=f(x)+g(20-x)=+(0≤x≤20), 令t=(0≤t≤2), 則x=20-t2,y=+t=-(t2-4t-20)=-(t-2)2+3. 所以當(dāng)t=2,即x=16時,ymax=3. 故當(dāng)債券類投資為16萬元,股票類投資為4萬元時收益最大,最大收益

41、為3萬元. 拓展提升(水平二) 8.已知世界人口在過去40年內(nèi)翻了一番,則每年人口的平均增長率約是(　　).(參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.301,100.0075≈1.017) A.1.5% B.1.6% C.1.7% D.1.8% 【解析】設(shè)每年人口的平均增長率是x, 由題意得,(1+x)40=2,則40lg(1+x)=lg 2, 即lg(1+x)=≈0.0075,所以x≈1.7%. 【答案】C 9.若某輛汽車每次加油都把油箱加滿,下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況. 加油時間 加油量/升 加油時的累計里程/千米 2018年5月1日 12 35000 2018年

42、5月15日 48 35600 注:“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程. 在這段時間內(nèi),該車每100千米平均耗油量為(　　 ). A.6升 B.8升 C.10升 D.12升 【解析】由表格信息可知,汽車行駛35600-35000=600千米耗油48升,所以每100千米的平均耗油量為8升,故選B. 【答案】B 10.某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震.地震專家對發(fā)生的余震進行了監(jiān)測,記錄的部分數(shù)據(jù)如下表: 強度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震級(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4 注:地震強度是

43、指地震時釋放的能量. 地震強度x和震級y的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y=alg x+b(a,b為常數(shù)).利用散點圖可知a的值等于　　　　.(取lg 2=0.3進行計算)? 【解析】由記錄的部分數(shù)據(jù)可知, 當(dāng)x=1.6×1019時,y=5, 　　當(dāng)x=3.2×1019時,y=5.2, 所以5=alg(1.6×1019)+b,　① 5.2=alg(3.2×1019)+b,?、? 由②-①得0.2=alg, 所以a===. 【答案】 11.某種特色水果每年的上市時間是從4月1日開始持續(xù)5個月的時間.上市初期價格呈現(xiàn)上漲趨勢,中期價格開始下跌,后期價格在原有價格基礎(chǔ)之上繼續(xù)下跌.現(xiàn)

44、有三種價格變化的模擬函數(shù):①f(x)=p·qx;②f(x)=px2+qx+7;③f(x)=logq(x+p),其中p,q均為常數(shù)且q>1.(注:x表示上市時間,f(x)表示價格,記x=0表示4月1日,x=1表示5月1日,…,以此類推,x∈[0,5]) (1)在上述三個價格模擬函數(shù)中,哪一個更能體現(xiàn)該種水果的價格變化趨勢?并簡要說明理由. (2)對(1)中所選的函數(shù)f(x),若f(2)=11,f(3)=10,記g(x)=,經(jīng)過多年的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),當(dāng)函數(shù)g(x)取得最大值時,拓展外銷市場的效果最為明顯,請預(yù)測明年拓展外銷市場的時間是幾月1日? 【解析】(1)根據(jù)題意,該種水果的價格變化趨勢是先增

45、加后減少,基本符合開口向下的二次函數(shù)圖象的變化趨勢,故應(yīng)該選擇②. (2)由f(2)=11,f(3)=10, 得解得 故f(x)=-x2+4x+7. 所以g(x)===-=-,此函數(shù)在[0,2]上單調(diào)遞增,在[2,5]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=2時,g(x)最大. 所以明年拓展外銷市場的時間應(yīng)為6月1日. 第三章章末小結(jié) 一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又有零點的增函數(shù)的是(　　). A.y= B.y= C.y=log3x D.y=x3 【解析】A,C錯,y=與y=log3x是非奇非偶函數(shù);B是奇函數(shù),但無零點,只有D正確

46、. 【答案】D 2.下列關(guān)于函數(shù)f(x),x∈[a,b]的命題中,正確的是(　　). A.若x0∈[a,b]且滿足f(x0)=0,則x0是f(x)的一個零點 B.若x0是f(x)在[a,b]上的零點,則可以用二分法求x0的近似值 C.函數(shù)f(x)的零點是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函數(shù)f(x)的零點 D.用二分法求方程的根時,得到的都是近似解 【解析】選項A正確.使用“二分法”必須滿足“二分法”的使用條件,選項B錯誤.f(x)=0的根也一定是函數(shù)f(x)的零點,選項C錯誤.用二分法求方程的根時,得到的也可能是精確解,選項D錯誤.故選A. 【答案】A 3.若

47、函數(shù)f(x)=x2lg a-2x+1有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是(　　). A.00,解得00, ∴x0∈(1,2). 【答案】B 5.

48、如圖,在直角梯形OABC中,AB∥OC,AB=1,OC=BC=2,直線l:x=t截此梯形所得位于l左方的圖形面積為S,則函數(shù)S=f(t)的圖象大致為(　　). 【解析】由題意可得S=f(t)=? ∴函數(shù)S=f(t)的圖象在[0,1]上為拋物線的一段,在(1,2]上為一條線段. 【答案】C 6.用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)的唯一實數(shù)解x0時,經(jīng)計算得f(1)=,f(2)=-5,f=9,則下列結(jié)論正確的是(　　). A.x0∈ B.x0= C.x0∈ D.x0∈或x0∈ 【解析】∵f(2)·f<0,∴x0∈. 【答案】C 7.已知函數(shù)f(x)=x2+2

49、(m-1)x-5m-2,若函數(shù)f(x)的兩個零點x1,x2滿足x1<1,x2>1,則實數(shù)m的取值范圍是(　　). A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1) 【解析】函數(shù)f(x)=x2+2(m-1)x-5m-2開口向上,函數(shù)f(x)的兩個零點x1,x2滿足x1<1,x2>1,可得1+2(m-1)-5m-2<0, 解得m>-1. 【答案】C 8.函數(shù)f(x)=lg x-的零點所在的區(qū)間是(　　). A.(0,1) B.(1,10) C.(10,100) D.(100,+∞) 【解析】∵f(1)=-1<0,f(10)=1-=>0, ∴f(1)·f

50、(10)<0,由函數(shù)零點存在性定理知,函數(shù)f(x)=lg x-的零點所在的區(qū)間是(1,10),故選B. 【答案】B 9.已知a是函數(shù)f(x)的一個零點,且x10 B.f(x1)·f(x2)<0 C.f(x1)·f(x2)≥0 D.以上都不對 【解析】定理的逆定理不成立,故f(x1)·f(x2)的值不確定. 【答案】D 10. 二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的部分對應(yīng)值如下表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x) 6 m -4 -6 -6 -4 n 6 不求a,b,c

51、的值,判斷方程ax2+bx+c=0的兩個根所在的區(qū)間是(　　). A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1) C.(-1,1)和(1,2) D.(-∞,-3)和(4,+∞) 【解析】因為f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以方程在區(qū)間(-3,-1)內(nèi)必有根.又f(2)=-4<0,f(4)=6>0,所以方程在區(qū)間(2,4)內(nèi)必有根. 【答案】A 11.函數(shù)f(x)=|x|+k有兩個零點,則(　　). A.k=0 B.k>0 C.0≤k<1 D.k<0 【解析】在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y1=|x|和y2=-k的圖象,如圖所示.若函數(shù)f(x)有兩

52、個零點,則必有-k>0,即k<0. 【答案】D 12.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上有意義,對于給定的正數(shù)k,定義函數(shù)fk(x)=取k=,f(x)=,則fk(x)=的零點有(　　). A.0個 B.1個 C.2個 D.不確定,隨k的變化而變化 【解析】取k=,f(x)=,則fk(x)=的圖象如圖所示. 則fk(x)=的零點就是fk(x)與y==的交點,故交點有兩個,即零點有兩個. 【答案】C 二、填空題 13.對于函數(shù)y=f(x),如果f(x0)=x0,我們就稱實數(shù)x0是函數(shù)f(x)的不動點.設(shè)函數(shù)f(x)=3+log2x,則函數(shù)f(x)的不動點一共有　　　　個.?

53、 【解析】由題意得3+log2x=x,即log2x=x-3, 畫出函數(shù)y=log2x和y=x-3的圖象,如圖所示. 結(jié)合圖象,函數(shù)有2個交點,即函數(shù)f(x)的不動點一共有2個. 【答案】2 14.若函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個零點,則實數(shù)b的取值范圍是　　　　.? 【解析】由f(x)=|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b. 在同一平面直角坐標系中畫出y=|2x-2|與y=b的圖象(如圖), 則當(dāng)0

54、點A的橫坐標為2,則k的值為　　　　.? 【解析】當(dāng)x=2時,y=lo2=-, ∵點在直線y=kx上,∴k=-. 【答案】- 16.函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=kx-k至少有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍為　　　　.? 【解析】由函數(shù)圖象(圖略)可知,當(dāng)直線y=kx-k過點時,直線的斜率最小,即k=-;當(dāng)直線y=kx-k與函數(shù)y=x2-x(x>0)相切時有一個交點,k=y'=1,故當(dāng)函數(shù)f(x)與直線y=kx-k有兩個不同的交點,即關(guān)于x的方程f(x)=kx-k至少有兩個不相等的實數(shù)根時,則實數(shù)k的取值范圍是∪(1,+∞). 【答案】∪(1,+∞) 三、解答題

55、 17.若二次函數(shù)f(x)=-x2+2ax+4a+1的一個零點小于-1,另一個零點大于3,求實數(shù)a的取值范圍. 【解析】因為二次函數(shù)f(x)=-x2+2ax+4a+1的圖象開口向下,且在區(qū)間(-∞,-1)內(nèi)與區(qū)間(3,+∞)內(nèi)各有一個零點,所以 即 即解得a>. 故實數(shù)a的取值范圍是. 18.已知函數(shù)f(x)=lg (a>0)為奇函數(shù),函數(shù)g(x)=+b(b∈R). (1)求a的值; (2)若b>1,討論方程g(x)=ln |x|實數(shù)根的個數(shù). 【解析】(1)由f(x)=lg(a>0)為奇函數(shù),得f(-x)+f(x)=0, 即lg +lg =lg =0, 所以=1,解得a=

56、1(a=-1舍去). (2)當(dāng)b>1時,設(shè)h(x)=g(x)-ln |x|=+b-ln |x|, 則h(x)是偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞減, 又h(1)=2+b>0,h(e2b)=-b<-1<0, 所以h(x)在(0,+∞)上有唯一的零點,方程g(x)=ln |x|有2個實數(shù)根. 19.某廠生產(chǎn)某種零件,每個零件的成本為40元,出廠單價定為60元.該廠為鼓勵銷售商訂購,決定當(dāng)一次訂購量超過100個時,每多訂購一個,訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元,但實際出廠單價不能低于51元. (1)當(dāng)一次訂購量為多少個時,零件的實際出廠單價恰好降為51元? (2)設(shè)一次訂購量為x個

57、,零件的實際出廠單價為P元,寫出P關(guān)于x的函數(shù)表達式. (3)當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時,該廠獲得的利潤是多少元?如果訂購1000個,利潤又是多少元?(工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價-成本) 【解析】(1)設(shè)每個零件的實際出廠單價恰好降為51元時,一次訂購量為x0個,則x0=100+=550. 因此,當(dāng)一次訂購量為550個時,每個零件的實際出廠單價恰好降為51元. (2)當(dāng)0

58、廠獲得的利潤為L元, 則L=(P-40)x=. 當(dāng)x=500時,L=6000; 當(dāng)x=1000時,L=11000. 因此,當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時,該廠獲得的利潤是6000元; 如果訂購1000個,該廠獲得的利潤是11000元. 20.某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案:當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時,按銷售利潤的15%進行獎勵;當(dāng)銷售利潤超過10萬元時,若超出A萬元,則超出部分按2log5(A+1)進行獎勵.記獎金為y(單位:萬元),銷售利潤為x(單位:萬元). (1)寫出獎金y關(guān)于銷售利潤x的關(guān)系式. (2)如果業(yè)務(wù)員老江獲得5.5萬元的獎金,那么他的銷售利潤是多少萬

59、元? 【解析】(1)由題意知,y= (2)由題意知,1.5+2log5(x-9)=5.5, 2log5(x-9)=4, log5(x-9)=2, 得x-9=52, 解得x=34. 故業(yè)務(wù)員老江的銷售利潤是34萬元. 21.某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥,據(jù)監(jiān)測,如果成人按規(guī)定的劑量服用,服用藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與服藥的時間t(小時)之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線,其中OA是線段,曲線AB是函數(shù)y=kat(t≥1,a>0,且k,a是常數(shù))的圖象. (1)寫出服藥后y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式. (2)據(jù)監(jiān)測,每毫升血液中的含藥量不少于2微克時治療疾病有效.假設(shè)某人第一次

60、服藥為早上6:00,為保持療效,第二次服藥最遲應(yīng)當(dāng)在當(dāng)天幾點鐘? (3)若按(2)中的最遲時間服用第二次藥,則第二次服藥3小時后,該病人每毫升血液中的含藥量為多少微克?(精確到0.1) 【解析】(1)當(dāng)0≤t<1時,y=8t; 當(dāng)t≥1時,由解得 　　∴y= (2)由8×≥2,解得t≤5.∴第一次服藥5小時后,即第二次服藥最遲應(yīng)當(dāng)在當(dāng)天上午11點鐘服藥. (3)第二次服藥3小時后,每毫升血液中含第一次所服藥的藥量為y1=8×=(微克),含第二次服藥的藥量為y2=8×=4(微克),∴y1+y2=+4≈4.7(微克). 故第二次服藥3小時后,該病人每毫升血液中的含藥量約為4.7

61、微克. 22.已知函數(shù)f(x)= (1)計算f的值; (2)寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間; (3)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+c,若函數(shù)g(x)有三個零點,求實數(shù)c的取值范圍. 【解析】(1)由已知得f=f(-2)=-2×(-2)2-4×(-2)+1=1. 所以f=f(1)=1+1=2. (2)當(dāng)x≤0時,函數(shù)f(x)=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3. 由函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)在區(qū)間(-∞,-1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間[-1,0]內(nèi)單調(diào)遞減; 當(dāng)x>0時,函數(shù)f(x)=x+1,顯然f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增. 綜上,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1)和(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是[-1,0]. (3)作出f(x)的圖象,如圖. 函數(shù)g(x)有三個零點,即方程f(x)+c=0有三個不同實根, 又方程f(x)+c=0等價于方程f(x)=-c, 所以當(dāng)f(x)的圖象與直線y=-c有三個交點時, 函數(shù)g(x)有三個零點. 數(shù)形結(jié)合得1<-c<3,即-3