2022年高考數(shù)學大一輪復(fù)習 熱點聚焦與擴展 專題62 幾何概型

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1、2022年高考數(shù)學大一輪復(fù)習 熱點聚焦與擴展 專題62 幾何概型 縱觀近幾年的高考試題，概率是高考熱點之一，以實際問題為背景，考查幾何概型的計算以及分析、推理能力.難度控制在中等以下． 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，舉例說明. 1．幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型． 2．幾何概型的兩個基本特點 (1)無限性：在一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個； (2)等可能性：每個試驗結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． 3．幾何概型的概率公式 P(A)＝. 4.幾何概型常見的類型，

2、可分為三個層次： （1）以幾何圖形為基礎(chǔ)的題目：可直接尋找事件所表示的幾何區(qū)域和總體的區(qū)域，從而求出比例即可得到概率. （2）以數(shù)軸，坐標系為基礎(chǔ)的題目：可將所求事件轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的線段（或坐標平面的可行域），從而可通過計算長度（或面積）的比例求的概率（將問題轉(zhuǎn)化為第（1）類問題） （3）在題目敘述中，判斷是否運用幾何概型處理，并確定題目中所用變量個數(shù).從而可依據(jù)變量個數(shù)確定幾何模型：通常變量的個數(shù)與幾何模型的維度相等：一個變量→數(shù)軸，兩個變量→平面直角坐標系，三個變量→空間直角坐標系.從而將問題轉(zhuǎn)化成為第（2）類問題求解 5.與長度有關(guān)的幾何概型 如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可

3、用長度表示，可直接用概率的計算公式求解． 6．與角度有關(guān)的幾何概型 當涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段． 7. 求解與面積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點 求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解． 8. 求解與體積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點 對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求． 【經(jīng)典例題】 例1.【

4、2018年全國卷I理】下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個圖形中隨機取一點，此點取自I，II，III的概率分別記為p1，p2，p3，則 A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3 【答案】A 黑色部分的面積為 ， 其余部分的面積為，所以有， 根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到，故選A. 點睛：該題考查的是面積型幾何概型的有關(guān)問題，題中需要解決的是概

5、率的大小，根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，將比較概率的大小問題轉(zhuǎn)化為比較區(qū)域的面積的大小，利用相關(guān)圖形的面積公式求得結(jié)果. 例2.【2017課標1，理】如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【考點】幾何概型 【名師點睛】對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計算. 例3.【20

6、18屆江西省臨川一中模擬】已知三地在同一水平面內(nèi)，地在正東方向處，地在地正北方向處，某測繪隊員在之間的直線公路上任選一點作為測繪點，用測繪儀進行測繪，地為一磁場，距離其不超過的范圍內(nèi)會對測繪儀等電子儀等電子儀器形成干擾，使測量結(jié)果不準確，則該測繪隊員能夠得到準確數(shù)據(jù)的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 例4.【2018屆山東省實驗中學二模】《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”問題：“今有池方一丈， 葭生其中央，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.”其意思是：有一水池一丈見方，池中心生有一顆類似

7、蘆葦?shù)闹参铮冻鏊鎯沙?，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊（如圖所示），問水有多深，該植物有多長？其中一丈為十尺.若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】試題分析：設(shè)水深為x尺，利用勾股定理求出水深，結(jié)合葭長13尺，代入幾何概型概率計算公式，可得答案． 詳解： 設(shè)水深為x尺， 則（x+2）2=x2+52， 解得x=， 即水深尺． 又葭長尺， 則所求概率為. 故選：A． 例5.【2018屆河南省最后一次模擬】如圖,在正六邊形內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率是（ ） A.

8、 B. C. D. 【答案】D 所以,所求的概率為. 本題選擇D選項. 例6.【2018屆河北省武邑中學四?！吭谄矫鎱^(qū)域內(nèi)隨機取一點，則點在圓內(nèi)部的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 其中滿足的點為陰影部分對應(yīng)的點，其面積為，不等組對應(yīng)的平面區(qū)域的面積為，故所求概率為，故選B． 例7.【2018屆安徽省淮南市二?！恳阎沁呴L為2的正三角形，在內(nèi)任取一點，則該點落在內(nèi)切圓內(nèi)的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)題意求出△ABC內(nèi)切圓

9、的面積與三角形的面積比即可． 詳解：如圖所示，△ABC是邊長為2的正三角形， 則AD=，OD=， ∴△ABC內(nèi)切圓的半徑為r=， 所求的概率是P=． 故答案為：D 例8.【2018屆安徽省安慶市第一中學熱身】在上任取一個個實數(shù)，則事件“直線與圓”相交的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】C 故選C． 例9.【2018屆四川省梓潼中學校高考模擬（二）】已知圓柱的底面半徑為，高為，若區(qū)域表示圓柱及其內(nèi)部，區(qū)域表示圓柱內(nèi)到下底面的距離大于的點組成的集合，若向區(qū)域中隨機投一點，則所投的點落入?yún)^(qū)域中的概率為（ ） A.

10、B. C. D. 【答案】C 根據(jù)幾何概型，得所投入的點落在區(qū)域N中的概率為，故選C. 例10.【2018屆江西師范大學附屬中學三?！吭趨^(qū)間上任取一個數(shù)，則函數(shù)在上的最大值是的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：設(shè)函數(shù)y=x2﹣4x+3，求出x∈[0，4]時y的取值范圍，再根據(jù)a∈[﹣2，2]討論a的取值范圍，判斷f（x）是否能取得最大值3，從而求出對應(yīng)的概率值． 詳解：在區(qū)間[﹣2，2]上任取一個數(shù)a，基本事件空間對應(yīng)區(qū)間的長度是4， 由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈

11、[﹣1，3]， ∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a， ∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|， 即最大值是|3﹣a|或|1+a|； 令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1； 又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1； 故答案為：A 點睛：（1）本題主要考查幾何概型和函數(shù)的最值的計算，意在考查學生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本題的關(guān)鍵是通過函數(shù)在上的最大值是分析得到a∈[﹣2，1]. 【精選精練】 1．【2018屆廣東省東莞市考前演練】如圖1，風車起源于周，是一種用紙折成的玩具.它用高粱稈，膠泥瓣兒和彩紙

12、扎成，是老北京的象征，百姓稱它吉祥輪.風車現(xiàn)已成為北京春節(jié)廟會和節(jié)俗活動的文化標志物之一.圖2是用8個等腰直角三角形組成的風車平面示意圖，若在示意圖內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由幾何概型及概率的計算可知，用黑色部分的面積比總面積，即可求解概率. 詳解：設(shè)白色部分的等腰直角三角形的斜邊長為，則直角邊的長為， 所以所有白色部分的面積為， 則黑色部分的等腰直角三角形的腰長為1，所有黑色部分的面積為， 由幾何概型可得其概率為，故選B. 2．【2018屆安徽省江南十校沖刺聯(lián)考（二模）

13、】已知實數(shù)，則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C ∴所求概率為． 故選． 點睛：本題考查幾何概型，考查導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是由不等式在恒成立求得參數(shù)的取值范圍，求取值范圍的方法是分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這可由導數(shù)求得也可由基本不等式求得． 3．【2018屆河南省鄭州外國語學校第十五次調(diào)研】已知在矩形中，，現(xiàn)在矩形內(nèi)任意取一點，則的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：以為圓心，為半徑作弧交于，以為圓心，為半徑作弧交于， 則在兩弧區(qū)間，

14、求出兩弧之間曲邊形面積，利用幾何概型概率公式可得結(jié)果. 扇形面積為， 兩弧之間曲邊形面積為 ， 的概率為，故選B. 4．【2018屆山東省濰坊市三?！咳龂鴷r期吳國的數(shù)學家趙爽曾創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細證明.如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，其中一個直角三角形中較小的銳角滿足，現(xiàn)向大正方形內(nèi)隨機投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 所以打正方形的面積為，小正方形的面積為， 所以滿足條件的概率為，故選D

15、. 5．【2018屆四川省成都市模擬（一）】把一根長為6米的細繩任意做成兩段，則稍短的一根細繩的長度大于2米的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)題意確定為幾何概型中的長度類型，將長度為6米的繩子分成相等的三段，在中間一段任意位置剪斷符合要求，從而找出中間2米處的兩個界點，再求出其比值． 詳解：記“稍短的一根細繩的長度大于2米”為事件， 則只能在距離兩段超過2米的繩子上剪斷， 即在中間的2米的繩子上剪斷，才使得稍短的一根細繩的長度大于2米， 所以由幾何概型的公式得到事件 發(fā)生的概率 故選D. 6．【2018屆安

16、徽省江南十校沖刺聯(lián)考（二模）】不等式所表示的區(qū)域為，函數(shù)的圖象與軸所圍成的區(qū)域為.向內(nèi)隨機投一個點，則該點落到內(nèi)概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 概率為． 7．【2018屆山東省名校聯(lián)盟一?！科咔砂迨俏覀冏嫦鹊囊豁梽?chuàng)造，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形，一塊中三角形和兩塊全等的大三角形），一塊正方形和一塊平行四邊形組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若向正方形內(nèi)隨機拋擲2000顆米粒（大小忽略不計），則落在圖中陰影部分內(nèi)米粒數(shù)大約為（ ） A. 750 B. 500 C. 3

17、75 D. 250 【答案】C 6．【2018屆山西省運城市康杰中學高考模擬（一）】在圓的一條直徑上，任取一點作與該直徑垂直的弦，則其弦長超過該圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先利用直線和圓的位置關(guān)系得到弦長等于該圓內(nèi)接三角形的邊長的直線的位置，再利用幾何概型的概率公式進行求解. 詳解：設(shè)圓的半徑為，則， 則其弦長超過該圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率為.故選C. 點睛：本題考查幾何概型的概率問題，幾何概型的幾何模型主要是長度、面積與體積，其關(guān)鍵是選擇合適的模型，如本題中雖然涉及直線和圓的

18、位置關(guān)系，但要注意點在圓的直徑上運動，即該概率為線段的長度之比. 7．【2018屆河南省鞏義市市直高中下學期模擬】已知點，在：上隨機取一點，則的概率為__________． 【答案】 8．【2018屆寧夏回族自治區(qū)銀川一中高考前訓練】如圖，一銅錢的直徑為32毫米，穿徑（即銅錢內(nèi)的正方形小孔邊長）為8毫米，現(xiàn)向該銅錢內(nèi)隨機地投入一粒米（米的大小忽略不計），則該粒米落在銅錢的正方形小孔內(nèi)的概率為________． 【答案】. 【解析】分析：先分別計算圓與正方形面積，再根據(jù)幾何概型概率公式求結(jié)果. 詳解：因為圓與正方形面積分別為，所以該粒米落在銅錢的正方形小孔內(nèi)的概率為.

19、9．【2018屆山東省濰坊市青州市三?！恳阎矫嫦蛄浚瑒t事件“”的概率為__________． 【答案】 10．【2018屆湖北省華中師范大學第一附屬中學5月押題】已知平面區(qū)域，現(xiàn)向該區(qū)域內(nèi)任意擲點，則點落在曲線下方的概率為__________． 【答案】 點睛：（1）本題考查定積分和幾何概型的計算，意在考查學生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和數(shù)形結(jié)合的思想方法. (2)解答本題的關(guān)鍵是求點落在曲線下方的面積. 11．【2018屆江西省南昌市三模】中國數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”.意思是“圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增多的時候，它的周長的極限是圓的周長，它的面積的極限是圓的面積”.如圖，若在圓內(nèi)任取一點，則此點取自其內(nèi)接正六邊形的概率____． 【答案】 【解析】分析：根據(jù)幾何概型的概率公式分別求出正六邊形的面積和圓的面積即可 詳解：設(shè)圓心為O，圓的半徑為1，則正六邊形的面積S=則對應(yīng)的概率P=，故答案為. 12．【2018屆山東省威海市二模】在中，在邊上任取一點，滿足的概率為_______. 【答案】.