2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題51 曲線與方程——求軌跡方程

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題51 曲線與方程——求軌跡方程 縱觀近幾年的高考試題，高考對(duì)曲線與方程的考查，主要有以下兩個(gè)方面：一是確定的軌跡的形式或特點(diǎn)；二是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，同時(shí)考查到求軌跡方程的基本步驟和常用方法.一般地，命題作為解答題一問(wèn)，小題則常常利用待定系數(shù)法求方程或利用方程判斷曲線類別. 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)說(shuō)明求點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題的常見(jiàn)解法. 1、求點(diǎn)軌跡方程的步驟： （1）建立直角坐標(biāo)系 （2）設(shè)點(diǎn)：將所求點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為，同時(shí)將其他相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)化（未知的暫用參數(shù)表示） （3）列式：從已知條件中發(fā)掘的關(guān)系，列出方程 （

2、4）化簡(jiǎn)：將方程進(jìn)行變形化簡(jiǎn)，并求出的范圍 2、求點(diǎn)軌跡方程的方法 （1）直接法：從條件中直接尋找到的關(guān)系，列出方程后化簡(jiǎn)即可 （2）代入法：所求點(diǎn)與某已知曲線上一點(diǎn)存在某種關(guān)系，則可根據(jù)條件用表示出，然后代入到所在曲線方程中，即可得到關(guān)于的方程 （3）定義法：從條件中能夠判斷出點(diǎn)的軌跡為學(xué)過(guò)的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過(guò)確定相關(guān)曲線的要素，求出曲線方程.常見(jiàn)的曲線特征及要素有： ① 圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡 直角→圓：若，則點(diǎn)在以為直徑的圓上 確定方程的要素：圓心坐標(biāo)，半徑 ② 橢圓：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（常數(shù)大于定點(diǎn)距離）的點(diǎn)

3、的軌跡 確定方程的要素：距離和，定點(diǎn)距離 ③ 雙曲線：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于定點(diǎn)距離）的點(diǎn)的軌跡 注：若只是到兩定點(diǎn)的距離差為常數(shù)（小于定點(diǎn)距離），則為雙曲線的一支 確定方程的要素：距離差的絕對(duì)值，定點(diǎn)距離 ④ 拋物線：平面上到一定點(diǎn)的距離與到一定直線的距離（定點(diǎn)在定直線外）相等的點(diǎn)的軌跡 確定方程的要素：焦準(zhǔn)距：.若曲線位置位于標(biāo)準(zhǔn)位置（即標(biāo)準(zhǔn)方程的曲線），則通過(guò)準(zhǔn)線方程或焦點(diǎn)坐標(biāo)也可確定方程 （4）參數(shù)法：從條件中無(wú)法直接找到的聯(lián)系，但可通過(guò)一輔助變量，分別找到與的聯(lián)系，從而得到和的方程：，即曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)后即可得到軌跡方程. 【經(jīng)典例題】

4、 例1.【2018屆北京石景山區(qū)一?！咳鐖D，已知線段上有一動(dòng)點(diǎn)（異于）,線段,且滿足（是大于且不等于的常數(shù)），則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為（ ） A. 圓的一部分 B. 橢圓的一部分 C. 雙曲線的一部分 D. 拋物線的一部分 【答案】B 例2.設(shè)點(diǎn)A到圖形C上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)A到圖形C的距離．已知點(diǎn)A（1，0），圓C：x2+2x+y2=0，那么平面內(nèi)到圓C的距離與到點(diǎn)A的距離之差為1的點(diǎn)的軌跡是（　　） A. 雙曲線的一支 B. 橢圓 C. 拋物線 D. 射線 【答案】D 【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 如圖所示，設(shè)圓心坐標(biāo)為，滿足

5、題意的點(diǎn)為點(diǎn)，由題意有： ，則， 設(shè)，結(jié)合幾何關(guān)系可知滿足題意的軌跡為射線. 本題選擇D選項(xiàng). 例3.動(dòng)點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，點(diǎn)和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 例4.已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，若于，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】思路：先處理?xiàng)l件可得由為鄰邊的平行四邊形對(duì)角線相等，所以該四邊形為矩形.即，設(shè)，即，聯(lián)立直線與拋物線方程并利 聯(lián)立方程：，消去可得：

6、 ，由可得 ，即直線過(guò)定點(diǎn) 即 的軌跡為以為直徑的圓 則該圓的圓心為，半徑 軌跡方程為 答案：B 例5.點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程是___． 【答案】 【解析】由垂直平分線的性質(zhì)有，所以， 又，根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)Q的軌跡是C，F(xiàn)為焦點(diǎn)，以4為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線， ，， 所以點(diǎn)Q的軌跡方程是. 例6.【2018屆福建省漳州市高三上學(xué)期期末】已知直線過(guò)拋物線： 的焦點(diǎn)， 與交于， 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)， 分別作的切線，且交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_______. 【答案】 ，故原拋物線C相應(yīng)的點(diǎn)P的軌跡方程為，故答案為.

7、 例7.【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足. (1) 求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F. 【答案】(1) .(2)證明略. 【解析】 （2）由題意知.設(shè),則 ， . 由得，又由（1）知，故 . 所以，即.又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過(guò)C的左焦點(diǎn)F. 例8.已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn). （I）若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ； （II）若△

8、PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程. 【答案】（I）詳見(jiàn)解析；（II）． 【解析】由題設(shè).設(shè)，則，且 . 記過(guò)兩點(diǎn)的直線為，則的方程為. （I）由于在線段上，故. 記的斜率為，的斜率為，則 當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得.而，所以. 當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合.所以，所求軌跡方程為. 例9.【2018屆河北衡水金卷】已知焦點(diǎn)為的的拋物線：（）與圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的交于，兩點(diǎn)，且，，其中，，均為正實(shí)數(shù). （1）求拋物線及的方程； （2）設(shè)點(diǎn)為劣弧上任意一點(diǎn)，過(guò)作的切線交拋物線于，兩點(diǎn)，過(guò)，的直線，均于拋物線相切，且兩直線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程. 【答

9、案】(1)答案見(jiàn)解析；(2). 【解析】試題分析:(1)由題意可得到將點(diǎn)A坐標(biāo)代入方程可得到m=2,進(jìn)而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)點(diǎn)距得到半徑；（2）設(shè)，，，,由直線和曲線相切得到，：，同理： ，聯(lián)立兩直線得，根據(jù)點(diǎn)在圓上可消參得到軌跡. 解析： （1）由題意，，故。 所以拋物線的方程為. 將代入拋物線方程，解得， 因此， 令，解得， 故：， 同理： . 則由 解得 因直線 ，. 則由 得， 則 因此根據(jù)點(diǎn)在圓上滿足方程，消參得到. 例10：如圖所示，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，軸，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且 （1）求點(diǎn)的軌跡方恒，并求當(dāng)為何值時(shí)，的軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓

10、（2）當(dāng)時(shí)，在（1）中所得曲線記為，已知直線，是上的動(dòng)點(diǎn)，射線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交曲線于點(diǎn)，又點(diǎn)在上且滿足，求點(diǎn)的軌跡方程 設(shè) 軸 ① 由在上可知：，代入①可得： 設(shè)，進(jìn)而得到與的聯(lián)系：，再尋找的聯(lián)系，結(jié)合條件可知，從而用即可表示出與的聯(lián)系（而不用再設(shè)字母）：.所以可以用代入法分別將兩組關(guān)系代入至直線與橢圓方程，再消去即可得到的軌跡方程 解：由（1）可得曲線方程為： 設(shè) 設(shè) 由線段比例可得： 由同理可得： 分別在直線與橢圓上 ，代入可得： ，化簡(jiǎn)可得：的軌跡方程為： . 【精選精練】 1．到兩坐標(biāo)

11、軸的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2．【2018屆江西省新余市二?！啃甭蕿榈闹本€過(guò)拋物線焦點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，作，垂足為，則下列結(jié)論中不正確的是（ ） A. 為定值 B. 為定值 C. 點(diǎn)的軌跡為圓的一部分 D. 點(diǎn)的軌跡是圓的一部分 【答案】C 【解析】由題意知拋物線的焦點(diǎn)為，故直線的方程為， 由消去y整理得， 設(shè)， 則， ∴． 選項(xiàng)A中，，為定值．故A正確． 選項(xiàng)B中，，為定值，故B正確． 選項(xiàng)C中，由消去k得，故點(diǎn)的軌跡不是圓的一部分，所以C不正確．

12、選項(xiàng)D中，由于，直線過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)Q在以為直徑的圓上，故D正確． 綜上選C． 3．【2018屆江西省監(jiān)測(cè)】已知向量， 滿足， ， ，若為的中點(diǎn)，并且，則點(diǎn)的軌跡方程是（ ） A. B. C. D. 4．如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段， 為垂足. 當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足 的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，求這個(gè)橢圓離心率的取值范圍（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè)，則，代入圓的方程，即，∵，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，其中， ，則，故而可得，故，即，故選D. 5．點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2

13、＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是 (　 　) A. (x＋2)2＋(y－1)2＝1 B. (x－2)2＋(y＋1)2＝4 C. (x＋4)2＋(y－2)2＝4 D. (x－2)2＋(y＋1)2＝1 【答案】D 6．【2018屆廣西二模】設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 為橢圓上任意一點(diǎn),且A,B為焦點(diǎn)， ，又，，所以點(diǎn)的軌跡方程為. 7．△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的周長(zhǎng)為22,則頂點(diǎn)

14、C的軌跡方程是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 8．【2018屆浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高三上學(xué)期期末】橢圓M:長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為、，點(diǎn)P為橢圓M上除、外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若且，則動(dòng)點(diǎn)Q在下列哪種曲線上運(yùn)動(dòng)( ) A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線 D. 拋物線 【答案】B 【解析】設(shè)P（m，n），Q（x，y） ∵橢圓M的方程為， ∴作出橢圓如圖所示，可得長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為A（﹣a，0），B（a，0） ∴=（x+a，y），=（m+a，n） ∵=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=﹣ ① 此方程對(duì)應(yīng)的圖形是焦

15、點(diǎn)在y軸上的橢圓，可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)橢圓，B項(xiàng)是正確答案故選B. 9.已知橢圓為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)， 為橢圓的左焦點(diǎn)則線段的中點(diǎn)的軌跡是（ ） A. 橢圓 B. 圓 C. 雙曲線的一支 D. 線段 【答案】A 【解析】設(shè)線段的中點(diǎn) ∴點(diǎn)的軌跡方程為 ∴線段 的中點(diǎn) 的軌跡是橢圓． 故選A． 10.過(guò)圓 ： 上的點(diǎn) 作 軸的垂線，垂足為 ，點(diǎn) 滿足 .當(dāng) 在 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn) 的軌跡為 . （1）求 的方程； 【答案】（1） 【解析】試題分析： （1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可得點(diǎn)坐標(biāo)為滿足則點(diǎn)的軌跡的方程為． 11.已知坐標(biāo)平面上

16、兩個(gè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足：． （1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形； (2)記(1)中的軌跡為，過(guò)點(diǎn)的直線被所截得的線段的長(zhǎng)為，求直線的方程． 【答案】(1)見(jiàn)解析;(2). 【解析】分析：（1）直接利用，列出方程即可求出點(diǎn)M的軌跡方程，然后說(shuō)明軌跡的形狀； （2）設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離，半徑與半弦長(zhǎng)滿足的勾股定理，求出直線l的方程． 詳解：（1） 由得 化簡(jiǎn)得：，軌跡為圓 （2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線 符合題意； 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為： 由圓心到直線的距離等于得 此時(shí)直線的方程為：. 12.已知圓，直線， . （1）求證：對(duì)，直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)； （2）求弦的中點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明其軌跡是什么曲線. 【答案】(1)見(jiàn)解析(2) 的軌跡方程是，它是一個(gè)以為圓心，以為半徑的圓 試題解析： 證明：（1）圓的圓心為，半徑為， 所以圓心到直線的距離. 所以直線與圓相交，即直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)； （2）設(shè)中點(diǎn)為， 所以的軌跡方程是， 它是一個(gè)以為圓心，以為半徑的圓.