醫(yī)用高等數(shù)學

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1、會計學1醫(yī)用高等數(shù)學醫(yī)用高等數(shù)學 2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第2頁第1頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第3頁在理想環(huán)境中, 某細菌的增殖速率與它的即時存在量成正比. 試建立該細菌在時刻 t 的存在量所應滿足的微分方程. 解設在任何時刻 t, 該細菌的即時存在量為N(t), 并從觀察中已測出正比例常數(shù)為 k, 則可得到微分方程 )(d)(dtkNttN 第2頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第4頁設設一一曲曲線線通通過過點點(1, 2),且且在在該該曲曲線線上上任任意意點點處處的的切切線線斜斜率率為為x2, 求求這這曲曲線線方方程程. 解),(xyy 設所

2、求曲線為設所求曲線為xdxdy2 xxyd2d, 2,1 yx時時其中其中,2Cxy 得得, 1 C求得求得.12 xy所求曲線方程為所求曲線方程為根據(jù)導數(shù)的幾何意義,xxyd2d 或或第3頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第5頁質(zhì)量為 m 的物體從空中自由下落, 在不考慮空氣的阻力的情況下, 試求下落的距離應滿足的微分方程.解設在時刻 t , 下落距離為s(t), 自由落體的加速度為常數(shù) g , 則這一自由落體運動可表達為gts 22dd第4頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第6頁凡含有自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程稱為微分方程(ordinary d

3、ifferential equation) .,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 實質(zhì): 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導數(shù)(或微分)之間的關系式.第5頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第7頁微分方程中所含未知數(shù)的導數(shù)或微分的最高階數(shù), 叫做微分方程的階(order).xxy2dd 為一階微分方程,xts2dd22 為二階微分方程.第6頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第8頁代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之為微分方程的解(solution). ,)(階導數(shù)階導數(shù)上有上有在區(qū)間在區(qū)間設設nIxy . 0)(,),(),

4、(,()( xxxxFn (general solution): 微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.微分方程的解的分類：第7頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第9頁 (particular solution): 確定了通解中任意常數(shù)以后的解., yy ;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通解通解解的圖象: 微分方程的積分曲線.通解的圖象: 積分曲線族.初始條件: 用來確定任意常數(shù)的條件.第8頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第10頁過定點的積分曲線; 00),(yyyxfyxx一階:二階: 0000,),(y

5、yyyyyxfyxxxx過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.求微分方程滿足初始條件的解的問題.第9頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第11頁.)()(d)(d00的解的解求求 NtNtkNttN解tkCetN )(,)(00NtN 因為因為00NCetk 即即00tkeNC 所以所以于是該微分方程的特解為)(00ttkeNN 第10頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第12頁 驗證驗證:函數(shù)函數(shù)ktcktcxsincos21 是微分是微分 方程方程 0222 xkdtxd 的解的解. 并求滿足初始條件并求滿足初始條件0,00 ttdtdxAx 的特解的特解.

6、解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表達式代入原方程的表達式代入原方程和和將將xdtxd第11頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第13頁. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解為.cosktAx 微分方程的初等解法: 初等積分法.求解微分方程求積分(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來)第12頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第14頁第13頁/共

7、64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第15頁 是含有自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的一階導數(shù)(或一階微分)的方程, ),(ddyxFxy 下面介紹兩種常見的一階微分方程及其解法.第14頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第16頁)()(ddygxfxy 可分離變量的微分方程.5422ddyxxy 例如例如,d2d254xxyy 設設函函數(shù)數(shù))(yg和和)(xf是是連連續(xù)續(xù)的的, xxfyygd)(d)(1設設函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(1yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù), CxFyG )()(為微分方程的解.分離變量法第15頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高

8、等數(shù)學第五章第17頁解例5-1關于細菌存在量的微分方程)(d)(dtkNttN 解將原方程改寫成變量分離形式tkNNdd 兩邊積分 tkNNddCktNlnln 于是得原方程的通解tkeCN 第16頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第18頁求微分方程0dd)1(2 yxyxy的通解.解分離變量, 可化原方程為xxyyyd1d2 兩邊積分 xxyyyd1d2得方程的通解為12ln)1(ln21Cxy 第17頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第19頁(續(xù)上頁)122ln2)1(lnCxy 即1222)1(Ceyx ,12CeC 記記故通解可表達為Cyx )1(2212l

9、n)1(ln21Cxy 第18頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第20頁求解微分方程.2dd的通解的通解xyxy 解分離變量,d2dxxyy 兩端積分,d2d xxyy12lnCxy .2為所求通解為所求通解xeCy 第19頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第21頁.0d)(d)(通解通解求方程求方程 yxxygxyxyf,xyu 令令,dddxyyxu 則則, 0dd)(d)( xxyuxugxyuf, 0d)(d)()( uugxxuuguf, 0d)()()(d uugufuugxx.d)()()(|lnCuugufuugx 通解為解第20頁/共64頁2022

10、-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第22頁 衰變問題衰變問題: :衰變速度與未衰變原子含衰變速度與未衰變原子含量量M成正比成正比, ,已知已知00MMt , ,求衰變過程求衰變過程中鈾含量中鈾含量)(tM隨時間隨時間 t變化的規(guī)律變化的規(guī)律. . 解,ddtM衰變速度衰變速度由題設條件)0(dd衰變系數(shù)衰變系數(shù) MtMtMMdd ,dd tMM 00MMt 代代入入,lnlnctM ,tceM 即即00ceM 得得,C teMM 0衰變規(guī)律第21頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第23頁.dd22的通解的通解求求gts 解,ddvts 令令gts 22dd則二階方程式則二階方程式便化為

11、一階微分方程便化為一階微分方程gtv dd其分離變量形式為 dv = gdt兩邊積分, 得 v(t) = gt + C1 ,即1ddCgtts 上式再經(jīng)過分離變量, 得 ds = ( gt +C1 )dt兩邊再積分, 得 21221)(CtCgtts 第22頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第24頁)()(ddxQyxPxy 一階線性微分方程 (linear first-order differential equation) 的標準形式:, 0)( xQ當當上方程稱為齊次(homogeneous)的.上方程稱為非齊次(inhomogeneous)的., 0)( xQ當當,dd2

12、xyxy ,sindd2ttxtx , 32 xyyy, 1cos yy線性的;非線性的.第23頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第25頁. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齊次方程的通解為.)( dxxPCey(使用分離變量法)第24頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第26頁).()(ddxQyxPxy 討論,d)()(dxxPyxQyy 兩邊積分,d)(d)(ln xxPxyxQy),(d)(xvxyxQ為為設設 ,d)()(ln xxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齊次方程通解形式與齊次

13、方程通解相比:)(xuC 第25頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第27頁 把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實質(zhì): 未知函數(shù)的變量代換.),()(xyxu原未知函數(shù)原未知函數(shù)新未知函數(shù)新未知函數(shù)作變換 xxPexuyd)()(,)()()(d)(d)( xxPxxPexPxuexuy第26頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第28頁代代入入原原方方程程得得和和將將yy ,d)()(d)(CxexQxuxxP ),()(d)(xQexuxxP 積分得 xxPxxPeCxexQyd)(d)(d)(xexQeCexxPxxPxxPd)(d)(d)(d)( 對應齊

14、次方程通解非齊次方程特解第27頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第29頁.cossin的通解的通解求微分方程求微分方程xexyy 解.)(,cos)(sin xexQxxp 這里這里直接應用非齊次方程通解公式, 有xeeeCeyxxxxxxxddcossindcosdcos 即.sinsinxxxeCey 第28頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第30頁.12的通解的通解求微分方程求微分方程xyxy 解.)(,1)(2xxQxxp 這里這里(1) 先求出對應的齊次方程的通解 xxpeCyd)( xxeCd1,ln xeC (2) 將 C 換成 x 的函數(shù)C (x),

15、 得到非齊次方程的通解形式即xCy xxCy)( (3) 將 y = C(x)x 及 y = C(x)x + C(x)代入原非齊次方程中, 得xxC )(4) 積分上式, 得CxxC 221)(從而獲得原非齊次方程的通解xCxy)21(2 第29頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第31頁nyxQyxPxy)()(dd )1 , 0( n方程為線性微分方程.方程為非線性微分方程.時，時，當當1, 0 n時，時，當當1, 0 n解法: 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.第30頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第32頁,1 nyz 令令，則則xyynxzndd)1(dd )

16、,()(dd1xQyxPxyynn ),()1()()1(ddxQnzxPnxz 求出通解后，將 代入即得nyz 1，得，得兩端除以兩端除以ny代入上式. )d)1)(d)()1(d)()1(1 CxenxQezyxxPnxxPnn第31頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第33頁.4dd2的通解的通解求方程求方程yxyxxy ,4dd12xyxxyy ,yz 令令,4dd22xzxxz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解，得，得兩端除以兩端除以ny第32頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第34頁第33頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第3

17、5頁方法：對 ( y ) = f (x) 積分兩次即可. xxfyd)(令令 )d)(dxxfxyy求微分方程 y = e2x cosx 的通解.解對所給方程接連積分二次, 得12sin21Cxeyx 212cos41CxCxeyx 這就是所求的通解.第34頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第36頁方法：設 y = p(x) , 則 y = p(x) , 原方程為 p = f (x, p) , 解該方程 得解 p(x) , 然后再積分,得通解 y(x) . .3|1|2)1(002的解的解求微分方程求微分方程 xxyyyxyx第35頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章

18、第37頁設 y = p(x) , 則 y = p(x) , 代入原方程中, ,122pxxp 即xxxppd12d2 兩邊積分, 得ln p = ln( 1 + x2 ) + lnC1 , 所以 ln p = y = C1( 1+x2 )由初始條件 y |x=0 = 3, 得 C1=3 , 所以y = 3( 1+x2 ) , 有 再積分, 得y = x3 + 3x + C2 , 又由條件 y |x=0 = 1, 得 C2=1 , y = x3 + 3x + 1 . 于是所求的特解為第36頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第38頁方法：于是, 方程成為xPydd ),(1CyPy

19、P( y) 是以 y 為中間變量的因 y = f ( y, y ) 中不顯含自變量, 故可令 y = P( y) , x 的復合函數(shù), 故有 xyyPdddd yPPdd ),(ddPyfyPP 解這個一階微分方程. 得通解, ),(dd1Cyxy xCyyd),(d1 積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy 第37頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第39頁.2的通解的通解求微分方程求微分方程yyy 解設 y = P( y), 則 ,ddyPPy 代入方程中, 得,dd2yPyPP 如果 P 0 , 可約去P , 即,ddyPyP 分離變量, 得,d1dyyPP 兩邊積分:

20、lnP = ln y + lnC1 所以P = C1 y , 也即 y = C1 y . 第38頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第40頁分離變量并積分, 有l(wèi)n y = C1x + lnC2 所以xCeCy12 如果 P = 0 , 那么立即可得 y = C綜合起來, 原方程的通解為xCeCy12 ( 令 C1= 0, 得 y = C2 , . )12中中xCeCy = C 被包含在解第39頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第41頁.02的通解的通解求方程求方程 yyy解,dydPpy 則則),(ypy 設設代入原方程得 , 0dd2 PyPPy, 0)dd( P

21、yPyP即即，由由0dd PyPy,1yCP 可可得得.12xceCy 原方程通解為,dd1yCxy 第40頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第42頁第41頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第43頁(second order linear differential equation)形式: A(x) y +B(x) y +C(x) y = f (x) (1)其中 A (x)0 , 若 f (x) = 0 , 式(1) 稱為齊次;若 f (x) 0 , 式(1) 稱為非齊次.當 A(x) = a, B(x) = b, C(x) = c 時,式(1)變?yōu)? a y +b

22、 y +c y = f (x) , 稱為:第42頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第44頁如果函數(shù)如果函數(shù))(1xy與與)(2xy是方程是方程( (5 5- -1 18 8) )的兩個的兩個解解, ,那末那末 )()()(2211xyCxyCxy 也是也是方程方程( (5 5- -1 18 8) )的解的解, , （21, CC是任意常數(shù)是任意常數(shù)） . . 問題:一定是通解嗎？一定是通解嗎？2211yCyCy 18)(5 0ycybya第43頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第45頁設設nyyy,21為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的n個函數(shù)如果存在個函數(shù)如果存在

23、n個不全為零的常數(shù)，使得個不全為零的常數(shù)，使得當當x在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立 02211 nnykykyk， 那么稱這那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間個函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)線性相關線性相關 否則稱否則稱線性無關線性無關 xx22sin,cos1，xxxeee2, ，線性無關,線性相關.時，時，當當),( x第44頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第46頁特別地:如果如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程( (5 5- -1 18 8) )的兩的兩個線性無關的特解個線性無關的特解, , 那么那么 2211yCyCy 就是就是方程方程( (5 5- -1 18 8) )的通解

24、的通解. . , 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xCxCy 第45頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第47頁通解 y = C1 y1(x) + C2 y2(x) 中的 y1(x) 與 y2(x) 必須線性無關. 否則, 若二者線性相關, 則 y1(x) = k y2(x) .有 y = C1ky2(x) + C2 y2(x) = ( kC1 + C2 ) y2(x) = C y2(x) , 其中 C = kC1 + C2該解中只有一個常數(shù), 則該解不是通解.第46頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第48頁.形

25、式的解形式的解假設方程有形如假設方程有形如xey xxeyey 2, 將將代入 a y +b y +c y = 0 , 得0)(2 xecba 19)(5 0, 02cbaex 故有故有而而,21 ，求出兩個根求出兩個根.,21的一個特解的一個特解都是都是則則18)(5 xxee 第47頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第49頁,2421aacbb ,2422aacbb ,11xey ,22xey 兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為.2121xxeCeCy 特征根為:第48頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第50頁求方程 y - 4 y - 5 y = 0 滿足初

26、始條件: x = 0 時, y = 1, y = 2 的特解.解因特征方程為0542 或0)5)(1( 它有兩個不相等的實根5, 121 所求方程的通解為xxeCeCy521 對上式求導, 得xxeCeCy5215 第49頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第51頁將初始條件: y(0) = 1, y(0) = 2 代入以上二式,得 2121521CCCC解此方程組, 得21,2121 CC因此所求的特解為xxeey52121 第50頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第52頁,11xey ,221ab 一特解為代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy ,0

27、)()2(1211 ucbaubaua ,)(12yxuy 設另一特解為設另一特解為特征根為0,021211 cbaba 而而0)(, 0.0 xuaua因此因此但但所以所以第51頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第53頁原方程的通解為.1121xxxeCeCy ,)(xxu 得得xxey12 故另一特解為故另一特解為將此方程積分兩次, 得,)(21CxCxu 為兩個任意常數(shù).21,CC,0121 CC，令令第52頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第54頁求方程 y - 6 y + 9 y = 0 滿足初始條件: x = 0 時, y = 0, y = 1 的特解.

28、解所給方程的特征方程為0962 或0)3(2 故321 所求方程的通解為xxxeCeCy3231 對上式求導, 得xxxxeCeCeCy32323133 第53頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第55頁將初始條件: y(0) = 0, y(0) = 1 代入以上二式,得 130211CCC解此方程組, 得1,021 CC于是所求的特解為xxey3 第54頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第56頁,1 i ,2 i ,)(1xiey ,)(2xiey 特征根為得兩個特解歐拉公式: sincosiei y1 , y2 是線性無關的, 原方程的通解為xixieCeCy)(

29、2)(1 第55頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第57頁令xex cos )2121(1212yyiy xex sin 故原方程的實數(shù)形式通解為).sincos(21xCxCeyx 2112121yyy 于是xiey)(1 xiey)(2 xixee )sin(cosxixex xixee )sin(cosxixex 第56頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第58頁求微分方程 y - 4 y + 5 y = 0 的通解.解特征方程為0542 它的兩個根ii 2221 、于是方程的通解為是一對共軛復根, )sincos(212xCxCeyx 第57頁/共64頁202

30、2-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第59頁(1) 寫出相應的特征方程;(2) 求出特征根;(3) 根據(jù)特征根的不同情況,得到相應的通解. ( 見下表 )若問題是要求出初始條件的特解, 則把初始條件代入通解中, 即可確定C1 和C2 , 從而獲得滿足初始條件的特解.第58頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第60頁02 cba 0 ycybya 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達達式式 實實根根 21 實實根根 21 復復根根 i 1、 i 2 xxeCeCy2121 xxxeCeCy1121 )sincos(21xCxCeyx 第59頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學

31、第五章第61頁01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為0111 nnnnPPP 特征方程的根通解中的對應項 重根重根若是若是 kxkkexCxCC )(1110 ik 復根復根重共軛重共軛若是若是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110 第60頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第62頁n次代數(shù)方程有n個根, 而特征方程的每一個根都對應著通解中的一項, 且每一項各一個任意常數(shù).nnyCyCyCy 2211第61頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第63頁特征根為, 154321ii 故所求通解為.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解, 01222345 特征方程為, 0)1)(1(22 .022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy第62頁/共64頁2022-6-13醫(yī)用高等數(shù)學第五章第64頁第63頁/共64頁