2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第5章 第03節(jié) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 Word版含答案

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1、2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第5章 第03節(jié) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 Word版含答案 考點(diǎn) 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 xx·全國卷Ⅰ·T13·5分 向量垂直的條件 數(shù)學(xué)運(yùn)算 xx·全國卷Ⅰ·T13·5分 向量垂直的條件 數(shù)學(xué)運(yùn)算 xx·全國卷Ⅱ·T4·5分　 向量的坐標(biāo)運(yùn)算 數(shù)學(xué)運(yùn)算 命題分析 高考對本節(jié)內(nèi)容的考查形式為選擇題或填空題，對向量的模、夾角及其應(yīng)用是考查的重點(diǎn)，難度適中，分值為5分. 2．向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)

2、·c＝a·c＋b·c. 3．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 提醒： 1．辨明三個(gè)易誤點(diǎn) (1)①0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：0·a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；②0的方向是任意的，并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系． (2)a·b＝0不能推出a＝0或b

3、＝0，因?yàn)閍·b＝0時(shí)，有可能a⊥b. (3)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立． 2．有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論 (1)兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有a·b>0，反之不成立(因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立)； (2)兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立(因?yàn)閵A角為π時(shí)不成立)． 1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量．(　　) (2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量．(　　) (3)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.(　　) (4)兩向量

4、a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(　　) (5)若a·b＞0，則a和b的夾角為銳角；若a·b＜0，則a和b的夾角為鈍角．(　　) (6)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) (7)a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×　(7)× 2．向量a＝(1，－ 1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　　) A．－1　　　 B．0 C．1　　　 D．2 解析：選C　方法一　∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴a2＝2，a·b＝－3，從而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝

5、1. 方法二　∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，從而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故選C． 3．設(shè)a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　) A．充分而不必要條件　　　 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件　　　 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　若a·b＝|a|·|b|，則cos〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0°， ∴a∥b，充分．若a∥b，則〈a·b〉＝0°或180°，∴a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|，不必要． 4．(教材習(xí)題改編)若|a|＝5，|b|＝4，且|

6、a＋b|2＝21，則a與b的夾角為________． 解析：因?yàn)閨a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝21， 即25＋2a·b＋16＝21，所以a·b＝－10， 設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－，∴θ＝. 答案： 5．(xx·北京卷)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，則a與b夾角的大小為________． 解析：設(shè)a與b夾角為θ， 則cos θ＝＝＝， 又θ∈[0，π]，故θ＝. 答案： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 [明技法] 向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法 (1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)當(dāng)已知向

7、量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. 運(yùn)用兩向量的數(shù)量積可解決長度、夾角、垂直等問題，解題時(shí)應(yīng)靈活選擇相應(yīng)公式求解． [提能力] 【典例】 (xx·天津模擬)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且＝，＝，則·的值為________． 解析：方法一　取，為一組基底， 則＝－＝－， ＝＋＋＝－＋＋＝－＋， 所以·＝· ＝||2－·＋||2＝×4－×2×1×＋＝. 方法二　以AB所在直線為x軸，A為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系． 由于AB＝2

8、，BC＝1，∠ABC＝60°，所以CD＝1，等腰梯形ABCD的高為，所以A(0,0)，B(2,0)，D(， )，C，所以＝，＝(1,0)，又因?yàn)椋?，＝，所以E，F(xiàn)，因此·＝·＝×＋×＝＋＝. 答案： [母題變式] 若本例條件變?yōu)椤埃溅?，＝”，其他條件不變，求·的最小值． 解：由本例法二知： 因?yàn)?＝λ＝，所以E. 因?yàn)?＝＝，所以F. 所以·＝·＝＋λ＝＋＋λ ≥＋2 ＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝λ，即λ＝時(shí)取等號，符合題意． 所以·的最小值為. [刷好題] 1．(金榜原創(chuàng))已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b與a共線，那么a·b的值為(　　) A．1　　　 B．2

9、C．3　　　 D．4 解析：選D　∵向量a＝(1，k)，b＝(2,2)， ∴a＋b＝(3，k＋2)，又a＋b與a共線． ∴(k＋2)－3k＝0，解得k＝1， ∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝1×2＋1×2＝4，故選D． 2．(xx·廣州模擬)已知向量a，b滿足|b|＝4，a在b方向上的投影是，則a·b＝________. 解析： a在b方向上的投影是，設(shè)θ為a與b的夾角， 則|a|·cos θ＝，a·b＝|a|·|b|·cos θ＝2. 答案：2 平面向量基本定理的應(yīng)用 [析考情] 利用平面向量數(shù)量積解決垂直、模及夾角問題是高考的常考內(nèi)容，常以選擇題或填空題形式出現(xiàn)

10、，難度中低檔，是高考的高頻考點(diǎn)． [提能力] 命題點(diǎn)1：利用數(shù)量積解決垂直問題 【典例1】 (xx·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝(　　) A．－8　　　 B．－6 C． 6　　　 D．8 解析：選D　方法一　因?yàn)閍＝(1，m)，b＝ (3，－2)， 所以a＋b＝(4，m－2)． 因?yàn)?a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0， 所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8. 方法二　因?yàn)?a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8. 命題點(diǎn)2：利用數(shù)量積求?；蛴赡Ｇ髤?/p>

11、數(shù)問題 【典例2】 (xx·全國卷Ⅰ)設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________. 解析：∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，∴a·b＝0. 又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2. 答案：－2 命題點(diǎn)3：利用數(shù)量積求夾角或根據(jù)夾角求參數(shù) 【典例3】 (1)(xx·全國卷Ⅲ)已知向量＝，＝，則∠ABC＝(　　) A．30°　　　 B．45° C．60°　　　 D．120° 解析：選A　||＝1，||＝1，cos∠ABC＝＝. (2)(xx·泰安模擬)已知向量a＝(1，)，

12、b＝(3，m)，若向量a，b的夾角為，則實(shí)數(shù)m＝(　　) A．2　　　 B． C．0　　　 D．－ 解析：選B　根據(jù)平面向量的夾角公式可得＝，即3＋m＝×，兩邊平方并化簡得6m＝18，解得m＝，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意． [悟技法] 平面向量數(shù)量積求解問題的策略 (1)求兩向量的夾角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]． (2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|. (3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有： ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. ②|a±b|＝＝. ③若a＝(x，y)，則|a|＝. [刷好題] 1

13、．(xx·大同檢測)已知向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為________． 解析：由(a＋2b)·(a－b)＝－6得a2－2b2＋a·b＝－6. ∵|a|＝1，|b|＝2，∴12－2×22＋1×2×cos〈a，b〉＝－6， ∴cos〈a，b〉＝. ∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝. 答案： 2．(xx·九江模擬)已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. 解析：∵a，b的夾角為45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|·cos45°＝|b|， ∴|2a－b|2＝4－

14、4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3. 答案：3 平面向量數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用 [明技法] 用向量解決平面幾何問題的方法 (1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題． (2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如平行，垂直和距離，夾角問題． (3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． [提能力] 【典例】 (1)(xx·萊蕪檢測)已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的(　　) A．內(nèi)心　　　 B．外心 C．重心　　　 D．垂

15、心 解析：選C　由原等式，得－＝λ(＋)即＝λ(＋)根據(jù)平行四邊形法則，知＋是△ABC的中線AD(D為BC的中點(diǎn))所對應(yīng)向量的2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過△ABC的重心． (2)(xx·全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·(＋)的最小值是(　　) A．－2　　　 B．－ C．－　　　 D．－1 解析：選B　方法一　(解析法) 建立坐標(biāo)系如圖①所示，則A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)． 圖① 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)， ∴·(＋)＝(－x，－y)·

16、(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，y＝時(shí)，·(＋)取得最小值，最小值為－.故選B． 方法二　(幾何法) 如圖②所示，＋＝2(D為BC的中點(diǎn))，則·(＋)＝2·. 圖② 要使·最小，則與方向相反，即點(diǎn)P在線段AD上，則(2·)min＝－2||||，問題轉(zhuǎn)化為求||||的最大值． 又||＋||＝||＝2×＝， ∴||||≤2＝2＝， ∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－.故選B． [刷好題] 　(xx·綿陽模擬)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則·的值為(　　) A．－　　　 B． C．　　　 D． 解析：選B　方法一　如圖，設(shè)＝m，＝n. 根據(jù)已知得，＝m，所以＝＋＝m＋n，＝m－n, ·＝·(m－n)＝m2－n2－m·n＝－－＝. 方法二　建立平面直角坐標(biāo)系，如圖． 則B，C，A，所以＝(1,0)．易知DE＝AC，∠FEC＝∠ACE＝60°，則EF＝AC＝，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為， 所以＝，所以·＝·(1,0)＝.故選B．