2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題47 待定系數(shù)法——求曲線的方程

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題47 待定系數(shù)法——求曲線的方程 待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知,正確列出等式或方程.使用待定系數(shù)法,就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題,通過(guò)引入一些待定的系數(shù),轉(zhuǎn)化為方程組來(lái)解決,要判斷一個(gè)問題是否用待定系數(shù)法求解,主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式,如果具有,就可以用待定系數(shù)法求解.例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等,這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式,所以都可以用待定系數(shù)法求解.使用待定系數(shù)法,它解題的基本步驟是: 第一步,確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式; 第二步,根據(jù)

2、恒等的條件,列出一組含待定系數(shù)的方程; 第三步,解方程組或者消去待定系數(shù),從而使問題得到解決. 本文在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上,重點(diǎn)說(shuō)明利用待定系數(shù)法確定曲線方程. 待定系數(shù)法中方程的形式: ① 直線:, ② 圓:;. ③ 橢圓: 標(biāo)準(zhǔn)方程:(或,視焦點(diǎn)所在軸來(lái)決定) 橢圓方程通式: (1)方程與有相同的離心率. (2)與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓系方程為,恰當(dāng)運(yùn)用橢圓系方程,可使運(yùn)算簡(jiǎn)便. ④ 雙曲線: (1)標(biāo)準(zhǔn)方程:(或,視焦點(diǎn)所在軸決定) 雙曲線方程通式: (2) 相同漸進(jìn)線的雙曲線系方程:與雙曲線漸近線相同的雙曲線系方程為: ⑤拋物線: 標(biāo)準(zhǔn)

3、方程:等 拋物線方程通式:, 【經(jīng)典例題】 例1. 一條光線從點(diǎn)射出,經(jīng)軸反射后與圓相切,則反射光線所在直線的斜率為( ) (A)或 (B) 或 (C)或 (D)或 【答案】D 例2.設(shè)斜率為2的直線過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)F,且和y軸交于點(diǎn)A. 若為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為,則拋物線的方程為( ) A.y2=4x B.y2=8x C.y2=±4x D.y2=±8x 【答案】 【解析】的焦點(diǎn)是,直線的方程為,令得,所以由的面積為得,,故選. x/k//w 例3.中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為,且與直線相切的橢圓的方程為(

4、) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因?yàn)闄E圓的離心率,所以,所以,,則可設(shè)橢圓的方程為,與聯(lián)立,并化簡(jiǎn)得,因?yàn)橹本€與橢圓相切,所以,即,解得,則,所以橢圓的方程為 例4.【2018屆華大新高考聯(lián)盟高三1月】拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),開口向上,其準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線 的一個(gè)頂點(diǎn),則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 例5.【2017天津,文5】已知雙曲線的左焦點(diǎn)為,點(diǎn)在雙曲線的漸近線上,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為 (A)(B)(C)(D) 【答案】 【解析】由題意

5、結(jié)合雙曲線的漸近線方程可得:,解得:, 雙曲線方程為:,本題選擇D選項(xiàng). 例6.【2018屆天津市部分區(qū)高三上學(xué)期期末】以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切于點(diǎn),則該圓的方程為__________. 【答案】 答案: 例7.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程. 【答案】 【解析】設(shè)橢圓方程為 , ∵點(diǎn)在橢圓上, ∴,解得 故為所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程. 例8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn). (1)若的周長(zhǎng)為16,求直線的方程; (2)若,求橢圓的方程. 【答案】(1);(2). 【解析】 試題分析:(1)的周長(zhǎng)為可得的值,由離心率為得的

6、值,得坐標(biāo),代入直線的點(diǎn)斜式方程可得直線的方程;(2)由離心率及關(guān)系化簡(jiǎn)橢圓方程,聯(lián)立橢圓及直線方程,整理關(guān)于的一元二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系得的值,代入弦長(zhǎng)公式,建立等式,可得的值,從而得橢圓的方程. 則 且 ∴, 解得, 從而得所求橢圓C的方程為 . 例9.橢圓的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn),上頂點(diǎn)分別為,且 (1)求橢圓的離心率 x/k**w (2)若斜率為的直線過(guò)點(diǎn),且交橢圓于兩點(diǎn),,求直線的方程及橢圓的方程 【答案】(1);(2). 【解析】(1)由橢圓方程可得: 聯(lián)立方程:,消去可得:,即: ,解得:

7、經(jīng)檢驗(yàn):當(dāng),滿足直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),所以符合條件 橢圓方程為 例10.已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn),是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn),且是正三角形 (1)求橢圓的離心率 (2)直線與以為直徑的圓相切,并且被橢圓截得的弦長(zhǎng)的最大值為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【答案】(1);(2). (2)由(1)可得橢圓的方程為:, 設(shè)與橢圓的交點(diǎn)為 若斜率不存在,可得弦長(zhǎng) 若斜率存在,設(shè),聯(lián)立方程: ,整理可得: 橢圓方程為: 【精選精練】 1.【2018屆云南省昆明市第一中學(xué)高三第五次月考】直線過(guò)點(diǎn)且圓相切,則直線的的方程為( ) A. B. C.

8、 或 D. 或 【答案】C 【解析】當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,而圓心為,半徑為,所以,解得;當(dāng)直線的斜率不存在,即直線為時(shí),直線與圓相切,所以直線的方程為或, 故選:C. 2.已知圓,當(dāng)圓的面積最小時(shí),直線與圓相切,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由題意可知:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以當(dāng)時(shí)圓的面積最小,此時(shí)圓的圓心為,半徑為1,又因?yàn)橹本€與圓相切,所以. x.k..w 3.已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn),, ,且的最小值為,則等于( ) A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B

9、 4.如圖所示,已知橢圓方程為,為橢圓的左頂點(diǎn),在橢圓上,若四邊形為平行四邊形,且,則橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令橢圓的右端點(diǎn)為點(diǎn),根據(jù)對(duì)稱性可知,那么,又根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知,點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,,設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,代入橢圓方程,解得,即 ,,因?yàn)?,所?,即 ,可得 ,即 ,即,故選C. 5.【2018屆江西省南昌市高三第一次模擬】已知橢圓,為坐標(biāo)原點(diǎn),是橢圓上兩點(diǎn),的斜率存在并分別記為、,且,則的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】C 聯(lián)立方程:可得:, 則:

10、, 此時(shí). 本題選擇C選項(xiàng). 6.【2018屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三上學(xué)期期末】已知圓與圓相切于原點(diǎn),且過(guò)點(diǎn),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________. 【答案】 【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,其圓心為,半徑為 ∵可化簡(jiǎn)為 故答案為 7.【2018屆內(nèi)蒙古集寧第一中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考】已知雙曲線S與橢圓的焦點(diǎn)相同,如果是雙曲線S的一條漸近線,那么雙曲線S的方程為_______________. 【答案】 【解析】∵橢圓方程為,雙曲線S與橢圓的焦點(diǎn)相同 ∴雙曲線S的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)雙曲線方程為?,則c=5 ∵是雙曲線S的一條漸近線 ∴, ∵ ∴, ∴雙曲線S的方程為.

11、 故答案為 8.在直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與軸交于點(diǎn)F(2,0)。 (I)求直線的方程; (II)如果一個(gè)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且以點(diǎn)F為它的一個(gè)焦點(diǎn),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 【答案】(1).(2). 【解析】(I)由于直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和F(2,0),則根據(jù)兩點(diǎn)式得,所求直線的方程為 9.【2018屆全國(guó)名校大聯(lián)考高三第四次聯(lián)考】(1)求圓心在直線上,且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程; (2)求與圓外切于點(diǎn)且半徑為的圓的方程. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】試題分析: (1)由題意可得圓的一條直徑所在的直線方程為,據(jù)此可得圓心,半徑,則所求圓的方程為. (2)圓

12、的標(biāo)準(zhǔn)方程為,得該圓圓心為,半徑為,兩圓連心線斜率.設(shè)所求圓心為,結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得, .則圓的方程為. 試題解析: (1)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線為, ,∴, ,∴. ∴.x.k+*w 10.【2018屆廣東省汕頭市高三上學(xué)期期末】已知圓的圓心在直線上,且圓經(jīng)過(guò)曲線與軸的交點(diǎn). (1) 求圓的方程; (2) 已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與圓交兩點(diǎn),若,求直線的方程. 【答案】(1)(2)或. 【解析】試題分析: (1)先求出曲線與軸的交點(diǎn)為,再根據(jù)圓心在直線,由待定系數(shù)法可求得圓的方 解得或, 所以曲線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為. 設(shè)圓的方程為, 依題意得, 解得,

13、 所以圓的方程為. (2)解法一: 由題意知直線的斜率顯然存在,故設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為. 由消去整理得 , 因?yàn)橹本€與圓交兩點(diǎn), 所以. 設(shè), 則 因?yàn)椋? 所以, 所以 解得或, 經(jīng)檢驗(yàn)得或滿足, 所以直線的方程為或. 解法二: 解得 所以圓心到直線的距離等于2, 設(shè)直線的方程為,即 所以, 解得或, 所以直線的方程為或. 11.【2018屆山西省晉中市高三1月高考適應(yīng)性調(diào)研】已知拋物線: ()的焦點(diǎn)是橢圓: ()的右焦點(diǎn),且兩曲線有公共點(diǎn) (1)求橢圓的方程; (2)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為, ,若過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直

14、線與橢圓交于, 兩點(diǎn),已知直線與相較于點(diǎn),試判斷點(diǎn)是否在一定直線上?若在,請(qǐng)求出定直線的方程;若不在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1) (2) 點(diǎn)在定直線上 有兩個(gè)不等的實(shí)根,利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化條件即可. 試題解析: (1)將代入拋物線得 ∴拋物線的焦點(diǎn)為,則橢圓中, 又點(diǎn)在橢圓上, ∴, 解得, 橢圓的方程為 (2)方法一 當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),直線的方程為,此時(shí)點(diǎn), ,則直線和直線,聯(lián)立,解得, , 設(shè),則, 則直線與直線 聯(lián)立兩直線方程得(其中為點(diǎn)橫坐標(biāo)) 將代入上述方程中可得, 即, 即證 將代入上式可得 ,此式成立 ∴點(diǎn)在定直線上.

15、方法二 , 由, , 三點(diǎn)共線,有: 由, , 三點(diǎn)共線,有: 上兩式相比得 , 解得 ∴點(diǎn)在定直線上. 12.【2018屆廣東省深圳市高三第一次調(diào)研】已知橢圓的離心率為,直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn). (1)求橢圓的方程和點(diǎn)的坐標(biāo); (2) 為坐標(biāo)原點(diǎn),與平行的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn), ,求的面積最大時(shí)直線的方程. 【答案】(1)橢圓的方程為,點(diǎn)的坐標(biāo)為;(2)或. 【解析】試題分析:(1) 根據(jù)橢圓的離心率為,直線與橢圓有且 試題解析:(1)由,得,故. 則橢圓的方程為. 由,消去,得.① 由,得. 故橢圓的方程為. 由,得, . 設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為. 則. 所以. 所以當(dāng)時(shí),即時(shí), 的面積最大. 所以直線的方程為或. 點(diǎn)睛:本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式,屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟;①作判斷:根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上,還是在軸上,還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能;②設(shè)方程:根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ;③找關(guān)系:根據(jù)已知條件,建立關(guān)于、、的方程組;④得方程:解方程組,將解代入所設(shè)方程,即為所求.

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