（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理與古典概率 8 第8講 離散型隨機變量的均值與方差教學案

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1、第8講　離散型隨機變量的均值與方差 1．離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平． (2)D(X)＝ (xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機變量X的標準差． 2．均值與方差的性質(zhì) (a，b為常數(shù))． 3．兩點分布與二項分布的均值、方差 X X服從兩點

2、分布 X～B(n，p) E(X) p(p為成功概率) np D(X) p(1－p) np(1－p) [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機變量，它不確定．(　　) (2)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越?。?　　) (3)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× [教材衍化] 1．(選修2-3P68A組T1改編)已知X的分布列為 X －1 0 1 P 設Y＝2

3、X＋3，則E(Y)＝________． 解析：E(X)＝－＋＝－， E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝. 答案： 2．(選修2-3P68A組T5改編)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機變量X，Y，其分布列分別為： X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是________． 解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1. E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，

4、因為E(Y)

5、則Y的數(shù)學期望為________． 解析：由題意知Y的可能取值為0，1，2，3，且Y～B，則E(Y)＝3×＝2. 答案：2 　　　　　　離散型隨機變量的均值、方差的求解(高頻考點) 離散型隨機變量的均值、方差的求解，比較大小，求實際問題中的均值、方差是浙江新高考的熱點．主要命題角度有： (1)直接求均值、方差； (2)兩個隨機變量的均值、方差大小比較； (3)實際問題中的均值、方差的求解． 角度一　直接求均值、方差 (1)(2019·高考浙江卷)設0

6、．D(X)增大 B．D(X)減小 C．D(X)先增大后減小 D．D(X)先減小后增大 (2)隨機變量ξ的取值為0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝____________． 【解析】　(1)由題意可得，E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝，所以當a在(0，1)內(nèi)增大時，D(X)先減小后增大．故選D. (2)設P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b， 則解得 所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝. 【答案】　(1)D　(2) 角度二　兩個隨機變量的均值、方差大小比較 已知隨機變量ξi滿足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1

7、＜p2＜，則(　　) A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) 【解析】　根據(jù)題意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1，2，因為0

8、一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色之外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)． (1)求在1次游戲中，①摸出3個白球的概率，②獲獎的概率； (2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學期望E(X)．　 【解】　(1)①設“在一次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i＝0，1，2，3)，則P(A3)＝·＝. ②設“在1次游戲中獲獎”為事件B，則B＝A2∪A3. 又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥， 所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝. (2)由題

9、意可知X的所有可能取值為0，1，2， P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝C＝； P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 求方差和標準差的關鍵是求分布列，只要有了分布列，就可以依據(jù)定義求數(shù)學期望，進而求出方差、標準差，同時還要注意隨機變量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．　 　某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為________． 解析：記不發(fā)芽的種子數(shù)為Y，則Y～B(1 000，0.

10、1)， 所以E(Y)＝1 000×0.1＝100.又X＝2Y，所以E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200. 答案：200 　　　　　　均值、方差的應用(高頻考點) 本考點屬于均值、方差的簡單應用．主要命題角度有： (1)已知均值、方差求參數(shù)； (2)已知均值、方差求最值問題． 角度一　已知均值、方差求參數(shù) (1)(2020·杭州高三質(zhì)檢)體育課的排球發(fā)球項目的考試規(guī)則是：每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止，設學生一次發(fā)球成功的概率為m(m≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學期望E(X)＞1.75，則m的取值范圍是(　　) A.　　　 　

11、　　　 B. C. D. (2)(2020·臺州市書生中學高三期中)若X是離散型隨機變量，P(X＝a)＝，P(X＝b)＝，且a＜b，又已知E(X)＝，D(X)＝，則a＋b的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　(1)X的可能取值為1，2，3，因為P(X＝1)＝m，P(X＝2)＝(1－m)m，P(X＝3)＝(1－m)2，所以E(X)＝m＋2m(1－m)＋3(1－m)2＝m2－3m＋3，由E(X)＞1.75，即m2－3m＋3＞1.75，解得m＜或m＞(舍去)，所以0＜m＜. (2)由E(X)＝，D(X)＝得 ， 解方程組可得a＋b＝3. 【答案】　(

12、1)C　(2)C 角度二　已知均值、方差求最值問題 (1)一個射箭運動員在練習時只記射中9環(huán)和10環(huán)的成績，未射中9環(huán)或10環(huán)就以0環(huán)記，該運動員在練習時射中10環(huán)的概率為a，射中9環(huán)的概率為b，即未射中9環(huán)也未射中10環(huán)的概率為c(a，b，c∈[0，1))，如果已知該運動員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)，則當＋取最小值時，c的值為(　　) A. B. C. D．0 (2)A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2.根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為 X1 5% 10% P 0.8 0.2 　 　 X2 2% 8% 12% P 0.2

13、0.5 0.3 ①在A、B兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)； ②將x(0≤x≤100)萬元投資項目A，100－x萬元投資項目B，f(x)表示投資項目A所得利潤的方差與投資項目B所得利潤方差的和．求f(x)的最小值，并指出x為何值時，f(x)取到最小值． 【解】　(1)選A.由該運動員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)得10a＋9b＝9，所以＋＝＝＋10，當且僅當＝，即a＝9b時，＋取得最小值，解得此時c＝1－a－b＝1－－＝. (2)①由題設可知Y1和Y2的分布列分別為 Y1 5 10 P 0.8 0.2

14、 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4. E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. ②由題意，得f(x)＝D＋D＝ D(Y1)＋ D(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]＝(4x2－600x＋30 000)＝[4(x－75)2＋7 500]． 所以當x＝75時，f(x)取得最小值3. (1)已知均值、方差求參數(shù)的思路 依據(jù)均值、方差的計算公式列方程(方

15、程組)或不等式，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解． (2)已知均值(方差)求最值問題的一般思路 ①構(gòu)造函數(shù)求最值． ②構(gòu)造基本不等式求最值．　 1．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c∈(0，1))．已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為2(不計其他得分情況)，則ab的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析：選A.由題意知該運動員投籃一次得分的數(shù)學期望為E＝0×c＋2×b＋3×a＝3a＋2b＝2.由均值不等式知3a＋2b≥2，所以2≤2，即ab≤. 2．(2020·嘉興市高考模擬)已知隨機變量ξ的分布列如下： ξ 0

16、1 2 P b a2 － 則E(ξ)的最小值為________，此時b＝________． 解析：由題意可得：b＋a2＋－＝1，即b＋a2－＝，b∈[0，1]，a∈[－1，1]．E(ξ)＝0＋a2＋2(－)＝a2－a＋1＝(a－)2＋≥，當且僅當a＝時取等號，此時b＝. 答案：　 　　　　　　均值與方差的實際應用 (2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)學校設計了一個實驗學科的考查方案：考生從6道備選題中一次隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，并規(guī)定：在抽取的3道題中，至少正確完成其中2道題便可通過考查．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能

17、完成；考生乙每題正確完成的概率都為，且每題正確完成與否互不影響． (1)求考生甲正確完成題目個數(shù)X的分布列和數(shù)學期望； (2)用統(tǒng)計學知識分析比較甲、乙兩考生哪位實驗操作能力強及哪位通過考查的可能性大？ 【解】　(1)由題意知X的可能取值為1，2，3， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以，考生甲正確完成題目數(shù)的分布列為 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2. (2)設考生乙正確完成實驗操作的題目個數(shù)為Y， 因為Y～B，其分布列為：P(Y＝k)＝C·，k＝0，1，2，3，所以E(Y)＝3×＝2. 又因為D(X

18、)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D(Y)＝3××＝， 所以D(X)＜D(Y)． 又因為P(X≥2)＝＋＝0.8，P(Y≥2)＝＋≈0.74，所以P(X≥2)＞P(Y≥2)． ①從做對題數(shù)的數(shù)學期望來看，兩人水平相當；從做對題數(shù)的方差來看，甲較穩(wěn)定； ②從至少完成2道題的概率來看，甲獲得通過的可能性較大，因此，可以判斷甲的實驗操作能力強． 均值與方差的實際應用 (1)D(X)表示隨機變量X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，統(tǒng)計中常用來描述X的分散程度． (2)隨

19、機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量取值偏離于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．　 　甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，射擊次數(shù)相同，已知兩名運動員擊中的環(huán)數(shù)穩(wěn)定在7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)，他們比賽成績的統(tǒng)計結(jié)果如下： 環(huán)數(shù)擊中頻率選手 7 8 9 10 甲 0.2 0.15 0.3 乙 0.2 0.2 0.35 請你根據(jù)上述信息，解決下列問題： (1)估計甲、乙兩名射擊運動員擊中的環(huán)數(shù)都不少于9環(huán)的概率； (2)若從甲、乙運動員

20、中只能挑選一名參加某大型比賽，請你從隨機變量均值意義的角度，談談讓誰參加比較合適？ 解：(1)記甲運動員擊中n環(huán)為事件An(n＝7，8，9，10)；乙運動員擊中n環(huán)為事件Bn(n＝7，8，9，10)，甲運動員擊中的環(huán)數(shù)不少于9環(huán)為事件A9∪A10，乙運動員擊中的環(huán)數(shù)不少于9環(huán)為事件B9∪B10，根據(jù)已知事件A9與事件A10互斥，事件B9與事件B10互斥，事件A9∪A10與B9∪B10相互獨立，則P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝1－0.2－0.15＝0.65， P(B9∪B10)＝P(B9)＋P(B10)＝0.2＋0.35＝0.55. 所以甲、乙兩名射擊運動員擊中的環(huán)數(shù)都不少

21、于9環(huán)的概率等于0.65×0.55＝0.357 5. (2)設甲、乙兩名射擊運動員擊中的環(huán)數(shù)分別為隨機變量X、Y，根據(jù)已知得X、Y的可能取值為7，8，9，10. 甲運動員射擊環(huán)數(shù)X的分布列為 X 7 8 9 10 P 0.2 0.15 0.3 0.35 甲運動員射擊環(huán)數(shù)X的均值 E(X)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8. 乙運動員射擊環(huán)數(shù)Y的概率分布列為 Y 7 8 9 10 P 0.2 0.25 0.2 0.35 乙運動員射擊環(huán)數(shù)Y的均值 E(Y)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7

22、. 因為E(X)>E(Y)， 所以從隨機變量均值意義的角度看，選甲去比較合適． 核心素養(yǎng)系列22　數(shù)據(jù)分析——利用期望與方差進行決策 　某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買．則每個500元，現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時

23、購買的易損零件數(shù)． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值； (3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一．應選用哪個？ 【解】　(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得， 一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2. 可知X的所有可能取值為16，17，18，19，20，21，22， P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.

24、2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值為19. (3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)． 當n＝19時， E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200

25、＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040. 當n＝20時， E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 可知當n＝19時所需費用的期望值小于n＝20時所需費用的期望值，故應選n＝19. 利用期望與方差進行決策的方法 (1)若我們希望實際的平均水平較理想時，則先求隨機變量ξ1，ξ2的期望，當E(ξ1)＝E(ξ2)時，不應誤認為它們一樣好，需要用D(ξ1)，D(ξ2)來比較這兩個隨機變量的偏離程度，偏離程度小的更好． (2)若我們希望

26、比較穩(wěn)定時，應先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近． (3)若對平均水平或者穩(wěn)定性沒有明確要求時，一般先計算期望，若相等，則由方差來確定哪一個更好．若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近，且期望較大者的方差較小，顯然該變量更好；若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近且方差相差不大時，應根據(jù)不同選擇給出不同的結(jié)論，即是選擇較理想的平均水平還是選擇較穩(wěn)定．　 [基礎題組練] 1．若隨機變量X的分布列為 X C P 1 ，其中C為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．E(X)＝D(X)＝0 B．E(X)＝C，D(X)＝0 C．E(X)＝0，D(X)＝C D．E(X)＝D(X)＝C

27、 解析：選B.E(X)＝C×1＝C，D(X)＝(E(X)－C)2×1＝0，故選B. 2．(2020·稽陽市聯(lián)誼學校高三聯(lián)考)隨機變量ξ的分布列如下，且滿足E(ξ)＝2，則E(aξ＋b)的值為(　　) ξ 1 2 3 P a b c A.0　　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．無法確定，與a，b有關 解析：選B.因為E(ξ)＝2，則a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，聯(lián)立兩式可得a＝c，2a＋b＝1，E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1. 3．(2018·高考浙江卷)設0

28、p在(0，1)內(nèi)增大時，(　　) A．D(ξ)減小 B．D(ξ)增大 C．D(ξ)先減小后增大 D．D(ξ)先增大后減小 解析：選D.由題可得E(ξ)＝＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋＝－＋，所以當p在(0，1)內(nèi)增大時，D(ξ)先增大后減?。蔬xD. 4．設隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，則D(X)等于(　　) A．5 B．8 C．10 D．16 解析：選B.因為E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6， 所以D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8. 5．設擲1枚骰子的點數(shù)為ξ，則(　　) A．E(ξ)＝3

29、.5，D(ξ)＝3.52 B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5 D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ 解析：選B.隨機變量ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 5 6 P 從而E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5， D(ξ)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×＝. 6．如圖，將一個各面都凃了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝(

30、　　) A. B. C. D. 解析：選B.依題意得X的取值可能為0，1，2，3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 7．(2020·嘉興市一中高考適應性考試)隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝(　　) X 0 2 a P p A.2 B．3 C．4 D．5 解析：選C.由題意可得，＋p＋＝1，解得p＝，因為E(X)＝2，所以0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3.D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1.D(2X－3)＝4D

31、(X)＝4.故選C. 8．(2020·嘉興質(zhì)檢)簽盒中有編號為1，2，3，4，5，6的六支簽，從中任意取3支，設X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學期望為(　　) A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6 解析：選B.由題意可知，X可以取3，4，5，6， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 由數(shù)學期望的定義可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25. 9．罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設X為取得紅球的次數(shù)，則X的方差D(X)的值為(　　) A. B. C. D

32、. 解析：選B.因為是有放回地摸球，所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率均為，連續(xù)摸4次(做4次試驗)，X為取得紅球(成功)的次數(shù)，則X～B，所以D(X)＝4××＝. 10．已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機抽取i(i＝1，2)個球放入甲盒中． (1)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i＝1，2)； (2)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i＝1，2)，則(　　) A．p1>p2，E(ξ1)E(ξ2) C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．

33、p10，所以p1>p2. 11．某射擊運動員在一次射擊比賽中所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 3 4 5 6 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值E(ξ)＝4.3，則y的值為____________． 解析：由題意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又E(ξ)＝3x＋4×0.1

34、＋5×0.3＋6y＝4.3，兩式聯(lián)立解得y＝0.2. 答案：0.2 12．已知X的分布列為 X －1 0 1 P 且Y＝aX＋3，E(Y)＝，則a的值為__________． 解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝，所以a＝2. 答案：2 13．設口袋中有黑球、白球共9個．從中任取2個球，若取到白球個數(shù)的數(shù)學期望為，則口袋中白球的個數(shù)為________． 解析：設白球有m個，則取得白球的數(shù)學期望是×0＋×1＋×2＝，即＋×2＝， 解得m＝3. 答案：3 14．隨機變量ξ的分布列如下表： ξ －1

35、 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列．若E(ξ)＝，則D(ξ)的值是________． 解析：由題意可得 解得 所以D(ξ)＝×＋×＋×＝. 答案： 15．已知隨機變量ξ的分布列為 ξ －1 0 1 P 那么ξ的數(shù)學期望E(ξ)＝________，設η＝2ξ＋1，則η的數(shù)學期望E(η)＝________． 解析：由離散型隨機變量的期望公式及性質(zhì)可得， E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－， E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×＋1＝. 答案：－　 16．(2020·浙江新高考沖刺卷)某中學的十佳校園歌手有6名男同學，

36、4名女同學，其中3名來自1班，其余7名來自其他互不相同的7個班，現(xiàn)從10名同學中隨機選擇3名參加文藝晚會，則選出的3名同學來自不同班級的概率為________，設X為選出3名同學中女同學的人數(shù)，則該變量X的數(shù)學期望為________． 解析：設“選出的3名同學是來自互不相同班級”為事件A，則P(A)＝＝. 隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)． 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＝. 答案：　 17．從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同

37、取法有________種，記取出的4只鞋子中成雙的鞋子對數(shù)為X，則隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝________． 解析：①從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有CCCC＝48. ②X＝0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. X的分布列為 X 0 1 2 P E(X)＝0＋1×＋2×＝. 答案：48　 [綜合題組練] 1．袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4)，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標號． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y

38、)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值． 解：(1)X的取值為0，1，2，3，4，其分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5， D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)得2.75a2＝11，得a＝±2， 又E(Y)＝aE(X)＋b， 所以當a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 當a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4， 所以或 2．設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球

39、，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分． (1)當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和，求ξ的分布列； (2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量η為取出此球所得分數(shù)．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c. 解：(1)由題意得ξ＝2，3，4，5，6. 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由題意知η的分布列

40、為 η 1 2 3 P 所以Eη＝＋＋＝， Dη＝(1－)2·＋(2－)2·＋(3－)2·＝， 化簡得 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 3．C1：y＝ax＋b，a，b∈{1，2，3，4，5}，C2：x2＋y2＝2. (1)求C1，C2有交點的概率P(A)； (2)求交點個數(shù)的數(shù)學期望E(ξ)． 解：(1)設圓心(0，0)到直線ax－y＋b＝0的距離為d，若C1，C2有交點，則d＝≤?b2≤2(a2＋1)． 當b＝1時，a＝1，2，3，4，5；當b＝2時，a＝1，2，3，4，5；當b＝3時，a＝2，3，4，5；當b＝4時，a＝3，4，5

41、；當b＝5時，a＝4，5.共5＋5＋4＋3＋2＝19種情況， 所以P(A)＝＝. (2)當交點個數(shù)為0時，直線與圓相離，有6種情況； 當交點個數(shù)為1時，直線與圓相切，b2＝2(a2＋1)，只有a＝1，b＝2這1種情況； 當交點個數(shù)為2時，由(1)知直線與圓相交，有18種情況． 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 4．(2020·溫州八校聯(lián)考)某公司準備將1 000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設中，現(xiàn)有甲、乙兩個建設項目供選擇．若投資甲項目一年后可獲得的利潤ξ1(萬元)的概率分布列如下表所示： ξ1 110 120 170 P m 0.4 n 且ξ1的期望E(ξ1)＝

42、120；若投資乙項目一年后可獲得的利潤ξ2(萬元)與該項目建設材料的成本有關，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進行產(chǎn)品的價格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨立且調(diào)整的概率分別為p(0＜p＜1)和1－p .若乙項目產(chǎn)品價格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次)與ξ2的關系如下表所示： X 0 1 2 ξ2 41.2 117.6 204 (1)求m，n的值； (2)求ξ2的分布列； (3)若E(ξ1)＜E(ξ2)，則選擇投資乙項目，求此時p的取值范圍． 解：(1)由題意得 解得m＝0.5，n＝0.1. (2)ξ2的可能取值為41.2，117.6，204， P(ξ2＝41

43、.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)， P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(ξ2＝204)＝p(1－p)， 所以ξ2的分布列為 ξ2 41.2 117.6 204 P p(1－p) p2＋(1－p)2 p(1－p) (3)由(2)可得： E(ξ2)＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6， 由E(ξ1)＜E(ξ2)， 得120＜－10p2＋10p＋117.6， 解得0.4＜p＜0.6， 即當選擇投資乙項目時，p的取值范圍是(0.4，0.6)． 21