2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理(I)

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1、2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理(I) 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.） 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式(　　) A．1＋<2　　　　　 　B．1＋＋＜2 C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3 2. 由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想：“正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)面________．”(　　) A．各正三角形內(nèi)一點(diǎn) B．各正三角形的某高線上的點(diǎn) C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某點(diǎn) 3. 不

2、等式a＞b與＞同時(shí)成立的充要條件為(　　) A．a(chǎn)＞b＞0　　　 B．a(chǎn)＞0＞b C. ＜＜0 D.＞＞0 4. 下列推理是歸納推理的是( ) A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的軌跡為橢圓 B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 C．由圓x2+y2=r2的面積πr2,猜想出橢圓的面積S=πab D．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 5. 用反證法證明命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)”正確的假設(shè)為( ) A．都是奇數(shù)

3、B．都是偶數(shù) C．中至少有兩個(gè)偶數(shù) D．中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) 6. 4. 若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為3x－y＋1＝0，則(　　) A．f′(x0)＜0　　　　　 B．f′(x0)＞0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 7. 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)． A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C．(－3,6) D．(－∞

4、，－1)∪(2，＋∞) 8. 函數(shù)y＝xe－x，x∈[0,4]的最小值為(　　)． A．0 B. C. D. 9. 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)(　　)． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 10. 函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的函數(shù)圖象可能是( ) 11. 已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a

5、，b∈R)的圖像如圖所示，它與x軸相切于原點(diǎn)，且x軸與函數(shù)圖像所圍成區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 12. 已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m、n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是(　　) A．－13 B．－15 C．10 D．15 二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分） 13. 曲線y＝x3－x＋3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為________． 14. 一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:

6、○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是 。 15. 已知，，試通過計(jì)算，，，的值，推測(cè)出＝___________. 16. 已知函數(shù)f(x)＝mx3＋nx2的圖象在點(diǎn)(－1,2)處的切線恰好與直線3x＋y＝0平行，若f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________． 三、解答題：解答應(yīng)寫文字說明，證明過程或演算步驟（共70分） 17. （10分）（1）. 求函數(shù)的極值. （2）.求由直線和曲線所圍成的圖形的面積. 18. （12分）用分

7、析法證明：若a＞0，則－≥a＋－2.(12分) 19. （12分） 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)． 20. （12分） 已知函數(shù)f(x)＝ax2＋blnx在x＝1處有極值. (1)求a，b的值； (2)判斷函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間． 21. （12分）設(shè)函數(shù)f(x)＝x－－aln x(a∈R)． (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2，記過點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直線的斜率為k.問：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存

8、在，請(qǐng)說明理由． 22. （12分） 已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝(x－a)2＋(lnx－a)2. (1)求函數(shù)f(x)在A(1,0)處的切線方程； (2)若g′(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (3)證明：g(x)≥. 寧夏育才中學(xué)孔德學(xué)區(qū)xx-2高二年級(jí)月考 數(shù)學(xué) 試卷 (試卷滿分 150 分，考試時(shí)間為 120 分鐘) 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.） 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋

9、1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式(　　) A．1＋<2　　　　　 　B．1＋＋＜2 C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3 [答案]　B 2. 由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想：“正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)面________．”(　　) A．各正三角形內(nèi)一點(diǎn) B．各正三角形的某高線上的點(diǎn) C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某點(diǎn) [答案]　C [解析]　正三角形的邊對(duì)應(yīng)正四面體的面，即正三角形表示的側(cè)面，所以邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是正三角形的中心．故選C. 3. 不等式a＞b與＞同時(shí)成立的充要條件為(　　) A．a(chǎn)＞b＞0　　　

10、 B．a(chǎn)＞0＞b C. ＜＜0 D.＞＞0 [答案]　B [解析]　???a＞0＞b，故選B. 4. 下列推理是歸納推理的是( ) A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的軌跡為橢圓 B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 C．由圓x2+y2=r2的面積πr2,猜想出橢圓的面積S=πab D．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 【答案】B 5. 用反證法證明命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)”正確的假設(shè)為( ) A．都是奇數(shù) B．

11、都是偶數(shù) C．中至少有兩個(gè)偶數(shù) D．中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) 【答案】A 6. 4. 若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為3x－y＋1＝0，則(　　) A．f′(x0)＜0　　　　　 B．f′(x0)＞0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 答案　B 7. 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)． A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C．(－3,6)

12、 D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因?yàn)楹瘮?shù)有極大值和極小值， 所以f′(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0， 解得a＜－3或a＞6. 答案　B 8. 函數(shù)y＝xe－x，x∈[0,4]的最小值為(　　)． A．0 B. C. D. 解析　y′＝e－x－xe－x＝－e－x(x－1) y′與y隨x變化情況如下： x 0 (0,1) 1 (1,4) 4 y′ ＋ 0 － y 0

13、 當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)y＝xe－x取到最小值0. 答案　A 9. 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)(　　)． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 答案　A 10. 函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的函數(shù)圖象可能是( ) 【解析】選B.由圖可得-1＜f′(x)＜1，則切線斜率k∈(-1，1). 11. 已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖像如圖所示，它與x軸相切于原點(diǎn)，且

14、x軸與函數(shù)圖像所圍成區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 答案　A 解析　方法一：因?yàn)閒′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函數(shù)f(x)的圖像與x軸相切于原點(diǎn)，所以f′(0)＝0，即b＝0，所以f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像與x軸所圍成區(qū)域的面積為，所以(－x3＋ax2)dx＝－，所以(－x4＋ax3)＝－，所以a＝－1或a＝1(舍去)，故選A. 方法二：因?yàn)閒′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函數(shù)f(x)的圖像與x軸相切于原點(diǎn)，所以f′(0)＝0，即b＝0，所以f(x)＝－x

15、3＋ax2.若a＝0，則f(x)＝－x3，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)(0,0)，不符合所給的圖像，排除B；若a＝1，則f(x)＝－x3＋x2＝－x2(x－1)，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(0,0)，(1,0)，不符合所給的圖像，排除C；若a＝－2，則所圍成的面積為－ (－x3－2x2)dx＝(x4＋x3) ＝≠，排除D.故選A. 12. 已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m、n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是(　　) A．－13 B．－15 C．10

16、 D．15 解析：求導(dǎo)得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函數(shù)f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4， f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)m∈[－1，1]時(shí)，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的圖象開口向下，且對(duì)稱軸為x＝1，∴當(dāng)n∈[－1,1]時(shí)，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值為－13. 答案：A 二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分） 13. 曲線y＝x3－x＋

17、3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為________． 答案　2x－y＋1＝0 解析　∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2. ∴該切線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 14. 一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是 。 答案：____14____ 15. 已知，，試通過計(jì)算，，，的值，推測(cè)出＝___________. 答案： 16. 已知函數(shù)f(x)＝mx3＋nx2的圖象在點(diǎn)(－1,2)處的切線恰好與直線3

18、x＋y＝0平行，若f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________． 答案　[－2，－1] 解析　由題意知，點(diǎn)(－1,2)在函數(shù)f(x)的圖象上， 故－m＋n＝2. ① 又f′(x)＝3mx2＋2nx，則f′(－1)＝－3， 故3m－2n＝－3. ② 聯(lián)立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2， 令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0， 則[t，t＋1]?[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0， 所以t∈[－2，－1]． 三、解答題：解答應(yīng)寫文字說明，證明過程或演算步驟

19、（共70分） 17. （10分）（1）. 求函數(shù)的極值. （2）.求由直線和曲線所圍成的圖形的面積. （1）解：. 令，即，解得，. 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表： 　　 　 　　0 　 　　 　 　 　?。? 　　0 　　－ 　　0 　?。? 　 　　 　　/ 　　　 　極小值 　　 因此，當(dāng)時(shí)，有極小值，且. （2）解：聯(lián)立，得，. 所以，，故所求面積. 18. （12分） 用分析法證明：若a＞0，則－≥a＋－2.(12分) 證明：要證－≥a＋－2，只需證＋2≥a＋＋. ∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證（＋2）2≥（a＋＋）2，

20、只需證a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2（a＋）， 只需證≥（a＋），只需證a2＋≥（a2＋＋2）， 即證a2＋≥2，它顯然是成立，∴原不等式成立. 19. （12分） 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)． [證明]?、賜＝1時(shí)，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立． ②假設(shè)n＝k時(shí)，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－

21、(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由①②得，等式對(duì)任何n∈N*都成立． 20. （12分） 已知函數(shù)f(x)＝ax2＋blnx在x＝1處有極值. (1)求a，b的值； (2)判斷函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間． 答案　(1)a＝，b＝1　(2)單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞) 解析　(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax2＋blnx， 所以f′(x)＝2ax＋. 又函數(shù)f(x)在x＝1處有極值， 所以即解得 (2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定

22、義域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  極小值  所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)． 21. （12分）設(shè)函數(shù)f(x)＝x－－aln x(a∈R)． (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2，記過點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直線的斜率為k.問：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 思路分析　先求導(dǎo)，通分后發(fā)

23、現(xiàn)f′(x)的符號(hào)與a有關(guān)，應(yīng)對(duì)a進(jìn)行分類，依據(jù)方程的判別式來分類． 解析　(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． f′(x)＝1＋－＝. 令g(x)＝x2－ax＋1，其判別式Δ＝a2－4. ①當(dāng)|a|≤2時(shí)，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． ②當(dāng)a＜－2時(shí)，Δ＞0，g(x)＝0的兩根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)＞0.故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． ③當(dāng)a＞2時(shí)，Δ＞0，g(x)＝0的兩根為x1＝， x2＝. 當(dāng)0＜x＜x1時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f′(x)＜0； 當(dāng)x＞x2時(shí)，f′(x)＞0.故f(x)分別在(0，

24、x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減． (2)由(1)知，a＞2. 因?yàn)閒(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝＝1＋－a·. 又由(1)知，x1x2＝1，于是k＝2－a·. 若存在a，使得k＝2－a，則＝1. 即ln x1－ln x2＝x1－x2. 由x1x2＝1得x2－－2ln x2＝0(x2＞1)．(*) 再由(1)知，函數(shù)h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，而x2＞1，所以x2－－2ln x2＞1－－2 ln 1＝0.這與(*)式矛盾． 故不存在a，使得k＝2－a. 22. （12分）

25、已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝(x－a)2＋(lnx－a)2. (1)求函數(shù)f(x)在A(1,0)處的切線方程； (2)若g′(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (3)證明：g(x)≥. 答案　(1)y＝x－1　(2)a≥－2　(3)略 解析　(1)因?yàn)閒′(x)＝，所以f′(1)＝1. 故切線方程為y＝x－1. (2)g′(x)＝2(x－＋－a)， 令F(x)＝x－＋－a，則y＝F(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增． F′(x)＝，則當(dāng)x≥1時(shí)，x2－lnx＋a＋1≥0恒成立， 即當(dāng)x≥1時(shí)，a≥－x2＋lnx－1恒成立． 令G(x)＝－x2＋lnx－1，則當(dāng)x≥1時(shí)，G′(x)＝<0， 故G(x)＝－x2＋lnx－1在[1，＋∞)上單調(diào)遞減． 從而G(x)max＝G(1)＝－2. 故a≥G(x)max＝－2. (3)證明：g(x)＝(x－a)2＋(lnx－a)2 ＝2a2－2(x＋lnx)a＋x2＋ln2x， 令h(a)＝2a2－2(x＋lnx)a＋x2＋ln2x，則h(a)≥. 令Q(x)＝x－lnx，則Q′(x)＝1－＝，顯然Q(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， 則Q(x)min＝Q(1)＝1. 則g(x)＝h(a)≥.