4、).
A.3 125 B.5 625 C.0 625 D.8 125
解析 ∵55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,510=9 765 625,…
∴5n(n∈Z,且n≥5)的末四位數(shù)字呈周期性變化,且最小正周期為4,記5n(n∈Z,且n≥5)的末四位數(shù)字為f(n),則f(2 011)=f(501×4+7)=f(7)
∴52 011與57的末四位數(shù)字相同,均為8 125.故選D.
答案 D
二、填空題(每小題5分,共10分)
5.(xx·山東省實驗中學(xué)一模)以下是對命題“若兩個正實數(shù)a1,a2滿
5、足a+a=1,則a1+a2≤”的證明過程:
證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因為對一切實數(shù)x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,從而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤.
根據(jù)上述證明方法,若n個正實數(shù)滿足a+a+…+a=1時,你能得到的結(jié)論為________________________________(不必證明).
解析 依題意,構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2,則有f(x)=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1,Δ=[-2(a1+a2+…+an)]2-4n=4(a1+a2+…+a
6、n)2-4n≤0,即有a1+a2+…+an≤.
答案 a1+a2+…+an≤
6.用黑白兩種顏色的正方形地磚依照下圖所示的規(guī)律拼成若干個圖形,則按此規(guī)律,第100個圖形中有白色地磚________塊;現(xiàn)將一粒豆子隨機撒在第100個圖中,則豆子落在白色地磚上的概率是________.
解析 按拼圖的規(guī)律,第1個圖有白色地磚3×3-1(塊),第2個圖有白色地磚3×5-2(塊),第3個圖有白色地磚3×7-3(塊),…,則第100個圖中有白色地磚3×201-100=503(塊).第100個圖中黑白地磚共有603塊,則將一粒豆子隨機撒在第100個圖中,豆子落在白色地磚上的概率是.
答案
7、503
三、解答題(共25分)
7.(12分)給出下面的數(shù)表序列:
…
其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n個數(shù)是1,3,5,…,2n-1,從第2行起,每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.
寫出表4,驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明).
解 表4為 1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32,它們構(gòu)成首項為4,公比為2的等比數(shù)列
8、.
將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n,公比為2的等比數(shù)列.
8.(13分)(xx·福建)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù):
①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;
②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;
③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)試從上述
9、五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù);
(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.
解 (1)選擇②式,計算如下:
sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=.
(2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=.
證明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α·(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=sin2α+cos2α+sin αcos
10、α+sin2α-sin αcos α-sin2α=sin2α+cos2α=.
B級 能力突破
(時間:30分鐘 滿分:45分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.(xx·九江質(zhì)檢)觀察下列事實:|x|+|y|=1的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為4,|x|+|y|=2的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為12,…,則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為 ( ).
A.76 B.80 C.86 D.92
解析 由|x|+|y|=1的不同整數(shù)解的個數(shù)為4,|x|+|y|=2的不同整數(shù)解的個數(shù)
11、為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12,歸納推理得|x|+|y|=n的不同整數(shù)解的個數(shù)為4n,故|x|+|y|=20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80.故選B.
答案 B
2.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).
比如:
他們研究過圖1中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似地,稱圖2中的1,4,9,16,…,這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 ( ).
A.289 B.1 024
C.1 225 D.1 378
解析 觀察三角形數(shù):1,3,6,10,…,記該數(shù)列為
12、{an},則a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,…,an=an-1+n.∴a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n)?an=1+2+3+…+n=,觀察正方形數(shù):1,4,9,16,…,記該數(shù)列為{bn},則bn=n2.把四個選項的數(shù)字,分別代入上述兩個通項公式,可知使得n都為正整數(shù)的只有1 225.
答案 C
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.(xx·福州模擬)對一個邊長為1的正方形進行如下操作;第一步,將它分割成3×3方格,接著用中心和四個角的5個小正方形,構(gòu)成如圖1所示的幾何圖形,其面積S1=;第二步,將圖1的5個小正方形中的每個小正方形都進
13、行與第一步相同的操作,得到圖2;依此類推,到第n步,所得圖形的面積Sn=n.若將以上操作類比推廣到棱長為1的正方體中,則到第n步,所得幾何體的體積Vn=________.
解析 對一個棱長為1的正方體進行如下操作:第一步,將它分割成3×3×3個小正方體,接著用中心和8個角的9個小正方體,構(gòu)成新1幾何體,其體積V1==;第二步,將新1幾何體的9個小正方體中的每個小正方體都進行與第一步相同的操作,得到新2幾何體,其體積V2=2;…,依此類推,到第n步,所得新n幾何體的體積Vn=n.
答案 n
4.(xx·湖南)設(shè)N=2n(n∈N*,n≥2),將N個數(shù)x1,x2,…,xN依次放入編號為1,
14、2,…,N的N個位置,得到排列P0=x1x2…xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出,并按原順序依次放入對應(yīng)的前和后個位置,得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,將此操作稱為C變換.將P1分成兩段,每段個數(shù),并對每段作C變換,得到P2;當(dāng)2≤i≤n-2時,將Pi分成2i段,每段個數(shù),并對每段作C變換,得到Pi+1.例如,當(dāng)N=8時,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此時x7位于P2中的第4個位置.
(1)當(dāng)N=16時,x7位于P2中的第________個位置;
(2)當(dāng)N=2n(n≥8)時,x173位于P4中的第________個位置.
解析 (1)當(dāng)N=16時,
15、P1=x1x3x5x7x9…x16,此時x7在第一段內(nèi),再把這段變換x7位于偶數(shù)位的第2個位置,故在P2中,x7位于后半段的第2個位置,即在P2中x7位于第6個位置.
(2)在P1中,x173位于兩段中第一段的第87個位置,位于奇數(shù)位置上,此時在P2中x173位于四段中第一段的第44個位置上,再作變換得P3時,x173位于八段中第二段的第22個位置上,再作變換時,x173位于十六段中的第四段的第11個位置上,也就是位于P4中的第(3×2n-4+11)個位置上.
答案 6 3×2n-4+11
三、解答題(共25分)
5.(12分)觀察下表:
1,
2,3
4,5,6,7,
8,9
16、,10,11,12,13,14,15,
…
問:(1)此表第n行的最后一個數(shù)是多少?
(2)此表第n行的各個數(shù)之和是多少?
(3)2 013是第幾行的第幾個數(shù)?
解 (1)∵第n+1行的第1個數(shù)是2n,
∴第n行的最后一個數(shù)是2n-1.
(2)2n-1+(2n-1+1)+(2n-1+2)+…+(2n-1)
==3·22n-3-2n-2.
(3)∵210=1 024,211=2 048,1 024<2 013<2 048,
∴2 013在第11行,該行第1個數(shù)是210=1 024,
由2 013-1 024+1=990,知2 013是第11行的第990個數(shù).
6.(13分
17、)(xx·南昌二模)將各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成數(shù)表,如圖所示.記表中各行的第一個數(shù)a1,a2,a4,a7,…,構(gòu)成數(shù)列{bn},各行的最后一個數(shù)a1,a3,a6,a10,…,構(gòu)成數(shù)列{cn},第n行所有數(shù)的和為Sn(n=1,2,3,4,…).已知數(shù)列{bn}是公差為d的等差數(shù)列,從第二行起,每一行中的數(shù)按照從左到右的順序每一個數(shù)與它前面一個數(shù)的比是常數(shù)q,且a1=a13=1,a31=.
(1)求數(shù)列{cn},{Sn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Tn的表達式.
解 (1)bn=dn-d+1,前n行共有1+2+3+…+n=個數(shù),因為13=+3,所以a13=b5×q2,
即(4d+1)q2=1,又因為31=+3,所以a31=b8×q2,
即(7d+1)q2=,解得d=2,q=,
所以bn=2n-1,cn=bnn-1=,
Sn==(2n-1)·.
(2)Tn=+++…+, ①
Tn=+++…+. ②
①②兩式相減,得
Tn=1+2-
=1+2×-=2-,
所以Tn=3-.
特別提醒:教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.