（浙江專用）2022高考數學二輪復習 課時跟蹤檢測（二十三）“函數與導數、不等式”專題提能課

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1、（浙江專用）2022高考數學二輪復習 課時跟蹤檢測（二十三）“函數與導數、不等式”專題提能課 1．已知函數f(x)＝ln是奇函數，則實數a的值為(　　) A．1　　　　　　　　　 　B．－1 C．1或－1 D．4 解析：選B　由題意知f(－x)＝－f(x)恒成立，則ln＝－ln，即＋a＝，解得a＝－1.故選B. 2．已知f(x)是奇函數，且f(2－x)＝f(x)，當x∈(2,3)時，f(x)＝log2(x－1)，則當x∈(1,2)時，f(x)＝(　　) A．－log2(4－x) B．log2(4－x) C．－log2(3－x) D．log2(3－x) 解析：選C　依

2、題意得f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．當x∈(1,2)時，x－4∈(－3，－2)，－(x－4)∈(2,3)，故f(x)＝f(x－4)＝－f(4－x)＝－log2(4－x－1)＝ －log2(3－x)，選C. 3．已知函數f(x)為R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)＝－ex＋e－x－mcos x，記a＝ －2f(－2)，b＝－f(－1)，c＝3f(3)，則a，b，c的大小關系是(　　) A．b

3、 設g(x)＝xf(x)，則g(x)為R上的偶函數． 當x≥0時，f(x)＝－ex＋e－x，g(x)＝x(－ex＋e－x)， 則g′(x)＝－x(ex＋e－x)－(ex－e－x)≤0， 所以g(x)在[0，＋∞)上單調遞減． 又a＝g(－2)＝g(2)，b＝g(－1)＝g(1)，c＝g(3)， 所以c

4、遞增；當x>0時，f(x)≥0，f(x)在(0,1]上單調遞減，在[1，＋∞)上單調遞增．作出函數f(x)的圖象如圖所示．設t＝f(x)，則關于t的方程t2－(a＋2)t＋3＝0有兩個不同的實數根，且t∈(1,2]．令g(t)＝t2－(a＋2)t＋3， 則解得2－2

5、增函數，所以f(x)在(2,4)上是減函數，且f(1)＝f(3)，由于>3>，所以f x0，則f(x1)的值(　　) A．等于0 B．不大于0 C．恒為正值 D．恒為負值 解析：選D　由題意得f(x)＝e－x＋log3＝x－log3x，方程f(x)＝0，即f(x)＝x－log3x＝0.則x0為y1＝x與y2＝log3x圖象的交點的橫坐標，畫出函數y1＝x與y2＝log3x的圖象(圖略)，可知當x1>x0

6、時，y2>y1，f(x1)＝y(tǒng)1－y2<0，故選D. 2．已知定義在R上的函數f(x)是奇函數，且f(x)在(－∞，0)上是減函數，f(2)＝0，g(x)＝f(x＋2)，則不等式xg(x)≤0的解集是(　　) A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．[－4，－2]∪[0，＋∞) C．(－∞，－4]∪[－2，＋∞) D．(－∞，－4]∪[0，＋∞) 解析：選C　依題意，畫出函數的大致圖象如圖所示， 實線部分為g(x)的草圖， 則xg(x)≤0? 或 由圖可得xg(x)≤0的解集為(－∞，－4]∪[－2，＋∞)． 3．已知函數f(x)＝ex(x－b)(b∈R)．若存在x∈，

7、使得f(x)＋xf′(x)＞0，則實數b的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由f(x)＋xf′(x)＞0，得[xf(x)]′＞0， 設g(x)＝xf(x)＝ex(x2－bx)， 若存在x∈，使得f(x)＋xf′(x)＞0， 則函數g(x)在區(qū)間上存在子區(qū)間使得g′(x)＞0成立． g′(x)＝ex(x2－bx)＋ex(2x－b)＝ex[x2＋(2－b)x－b]， 設h(x)＝x2＋(2－b)x－b， 則h(2)＞0或h＞0， 即8－3b＞0或－b＞0，得b＜. 4．已知函數f(x)＝x2＋aln x. (1)當a＝－2e時，求函數f(x)的

8、單調區(qū)間和極值； (2)若函數g(x)＝f(x)＋在[1,4]上是減函數，求實數a的取值范圍． 解：(1)當a＝－2e時，f′(x)＝2x－＝. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下： x (0，) (，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  極小值  由上表可知，函數f(x)的單調遞減區(qū)間是(0，)，單調遞增區(qū)間是(，＋∞)， 極小值是f()＝0，無極大值． (2)由g(x)＝x2＋aln x＋，得g′(x)＝2x＋－. 又函數g(x)＝x2＋aln x＋為[1,4]上是減函數， 則g′(x)≤0在[1,4]上恒成立， 所以不

9、等式2x－＋≤0在[1,4]上恒成立， 即a≤－2x2在[1,4]上恒成立． 又φ(x)＝－2x2在[1,4]為減函數， 所以φ(x)的最小值為φ(4)＝－，所以a≤－. 即實數a的取值范圍為. 5．設函數f(x)＝x3－x2＋2x，g(x)＝ax2－(a－2)x. (1)對于任意實數x∈[－1,2]，f′(x)≤m恒成立，求m的最小值； (2)若方程f(x)＝g(x)在區(qū)間(－1，＋∞)有三個不同的實根，求a的取值范圍． 解：(1)∵f′(x)＝x2－x＋2，對稱軸x＝∈[－1,2]， ∴f′(x)max＝f′(－1)＝4≤m，即m的最小值為4. (2)令h(x)＝f(x

10、)－g(x)＝x3－(a＋1)x2＋ax， 則h′(x)＝x2－(a＋1)x＋a. 由h′(x)＝0，得x＝1或x＝a. ①當a>1時，h′(x)，h(x)隨x的變化如下表： x (－1,1) 1 (1，a) a (a，＋∞) h′(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x)  極大值  極小值  若方程f(x)＝g(x)在區(qū)間(－1，＋∞)有三個不同的實根， 則解得a>3. ②當－1

11、x)  極大值  極小值  若方程f(x)＝g(x)在區(qū)間(－1，＋∞)有三個不同的實根， 則 解得－

12、區(qū)間(，＋∞)上單調遞增，而1≤a≤6，∴1≤≤.要使函數y＝在區(qū)間[2，＋∞)上單調遞增，則≤2，得1≤a≤4，∴P(1≤a≤4)＝＝，故選C. 2．某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數除以10的余數大于6時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數y與該班人數x之間的函數關系可用取整函數y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數)表示為(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：選B　法一：取特殊值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，故選B. 法二：設x＝10m＋n(0≤n≤9)，當0≤n≤6時，＝＝m＝，

13、當60，b>0，∴＋≥2，當且僅當b＝2a時取等號，∴－－≤－－2＝－，∴－－的上確界為－，故選A. 4．數學上稱函數y＝kx＋b(k，b∈R，k≠0)為線性函數．對于非線性可導函數f(x)， 在點x0附近一點x的函數值f(x)，可以用如下方法求其近似代替值：f(x)≈f(x0)＋f′(x0) (x－x0)．利用這

14、一方法，m＝的近似代替值(　　) A．大于m B．小于m C．等于m D．與m的大小關系無法確定 解析：選A　依題意，取f(x)＝，則f′(x)＝，則有≈＋(x－x0)． 令x＝4.001，x0＝4，則有≈2＋×0.001，注意到2＝4＋0.001＋2>4.001，即m＝的近似代替值大于m，故選A. 5．對于函數f(x)和g(x)，設α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，則稱f(x)與g(x)互為“零點相鄰函數”．若函數f(x)＝ex－1＋x－2與g(x)＝x2－ax－a＋3互為“零點相鄰函數”，則實數a的取值范圍是(　　)

15、A．[2,4] B． C． D．[2,3] 解析：選D　∵f′(x)＝ex－1＋1>0，∴f(x)＝ex－1＋x－2是增函數，又f(1)＝0，∴函數f(x)的零點為x＝1，∴α＝1，∴|1－β|≤1，∴0≤β≤2，∴函數g(x)＝x2－ax－a＋3在區(qū)間[0,2]上有零點，由g(x)＝0得a＝(0≤x≤2)，即a＝＝(x＋1)＋－2(0≤x≤2)，設x＋1＝t(1≤t≤3)，則a＝t＋－2(1≤t≤3)，令h(t)＝t＋－2(1≤t≤3)，易知h(t)在區(qū)間[1,2)上是減函數，在區(qū)間(2,3]上是增函數，∴2≤h(t)≤3，即2≤a≤3，故選D. 6．函數y＝f(x)圖象上

16、不同兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)處的切線的斜率分別為kA，kB，規(guī)定K(A，B)＝(|AB|為線段AB的長度)叫做曲線y＝f(x)在點A與點B之間的“近似曲率”．設曲線y＝上兩點A，B(a>0且a≠1)，若m·K(A，B)>1恒成立，則實數m的取值范圍是________． 解析：因為y′＝－ ，所以kA＝－，kB＝－a2， 又|AB|＝ ＝， 所以K(A，B)＝＝>，<，所以由m>得，m≥. 答案： 7．設函數f(x)＝ex－1－x－ax2. (1)若a＝0，求f(x)的單調區(qū)間； (2)若當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍． 解：(1)a＝0時，f(x)＝ex

17、－1－x，f′(x)＝ex－1. 當x∈(－∞，0)時，f′(x)<0； 當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0. 故f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，0)，單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)． (2)當x＝0時，f(x)＝0，對任意實數a，均有f(x)≥0； 當x>0時，f(x)≥0等價于a≤. 令g(x)＝(x>0)， 則g′(x)＝， 令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)， 則h′(x)＝xex－ex＋1，h″(x)＝xex>0， ∴h′(x)在(0，＋∞)上為增函數，h′(x)>h′(0)＝0， ∴h(x)在(0，＋∞)上為增函數，h(x)>h(0)＝0， ∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上為增函數． 由洛必達法則知， ＝＝＝，故a≤. 綜上，a的取值范圍為.