（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)（三十六）直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 文

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1、（全國(guó)通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)（三十六）直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 文 1．(2018·廣東廣州模擬)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n 解析：選B　若α⊥β，m?α，n?β，則m與n相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正確；若m⊥n，m?α，n?β，則α與β的位置關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤；若α∥β，

2、m?α，n?β，則m∥n或m，n異面，故D錯(cuò)誤．故選B. 2．(2018·湖南一中月考)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) A．兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi) B．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直 C．如果共點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，那么它們中每?jī)蓷l直線確定的平面也兩兩垂直 D．如果兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線一定平行 解析：選D　如果兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，這兩條直線可以平行、相交、異面． 3.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A．直線AB上 B．直線BC上

3、C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部 解析：選A　連接AC1(圖略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上． 4．(2018·河北唐山模擬)如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有(　　) A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF 解析：選B　根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF

4、不變，∴AH⊥平面EFH，B正確；∵過(guò)A只有一條直線與平面EFH垂直，∴A不正確；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF?平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，過(guò)點(diǎn)H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，∴C不正確；由條件證不出HG⊥平面AEF，∴D不正確．故選B. 5.如圖，直三棱柱ABC -A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長(zhǎng)為(　　) A. B．1 C. D．2 解析：選A　設(shè)B1F＝x，因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF

5、?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝h. 又2×＝h，所以h＝，DE＝. 在Rt△DB1E中，B1E＝ ＝. 由面積相等得× ＝x，得x＝. 6.如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線是____________；與AP垂直的直線是________． 解析：∵PC⊥平面ABC， ∴PC垂直于直線AB，BC，AC. ∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C， ∴AB⊥平面PAC， 又∵AP?平面PAC， ∴AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB. 答

6、案：AB，BC，AC　AB 7.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可) 解析：如圖，連接AC，BD，則AC⊥BD， ∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥BD. 又PA∩AC＝A， ∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC， ∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)， 即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD， ∴平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等) 8.(2018·福建泉州模擬)如圖，一張A4紙的長(zhǎng)、寬分別為2a，2a，A，

7、B，C，D分別是其四條邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得P1，P2，P3，P4四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P，從而得到一個(gè)多面體．下列關(guān)于該多面體的命題，正確的是________．(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)) ①該多面體是三棱錐； ②平面BAD⊥平面BCD； ③平面BAC⊥平面ACD； ④該多面體外接球的表面積為5πa2. 解析：由題意得該多面體是一個(gè)三棱錐，故①正確；∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，∴AP⊥平面BCD，又∵AP?平面ABD，∴平面BAD⊥平面BCD，故②正確；同理可證平面BAC⊥平面ACD，故③正確；該多面體的外接球半徑R＝a，所以該多面體外接球的表面積為5πa2，故④

8、正確．綜上，正確命題的序號(hào)為①②③④. 答案：①②③④ [大題常考題點(diǎn)——穩(wěn)解全解] 1.如圖，四棱錐P-ABCD 中， AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC 的中點(diǎn)．求證： (1)AP∥平面BEF； (2)BE⊥平面PAC. 證明：(1)設(shè)AC∩BE＝O，連接OF，EC，如圖所示． 由于E為AD的中點(diǎn)，AB＝BC＝AD，AD∥BC， 所以AE∥BC，AE＝AB＝BC， 因此四邊形ABCE為菱形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)． 又F為PC 的中點(diǎn)，因此在△PAC中，可得AP∥OF. 又OF?平面BEF，AP?平面BEF.所以AP∥平面BE

9、F. (2)由題意知ED∥BC，ED＝BC. 所以四邊形BCDE為平行四邊形，因此BE∥CD. 又AP⊥平面PCD， 所以AP⊥CD，因此AP⊥BE. 因?yàn)樗倪呅蜛BCE為菱形，所以BE⊥AC. 又AP∩AC＝A，AP，AC?平面PAC， 所以BE⊥平面PAC. 2.(2018·廣州模擬)在三棱錐P -ABC中，△PAB是等邊三角形，∠APC＝∠BPC＝60°. (1)求證：AB⊥PC； (2)若PB＝4，BE⊥PC，求三棱錐B -PAE的體積． 解：(1)證明：因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，∠APC＝∠BPC＝60°，所以△PBC≌△PAC，所以AC＝BC. 如圖，

10、取AB的中點(diǎn)D，連接PD，CD，則PD⊥AB，CD⊥AB， 因?yàn)镻D∩CD＝D， 所以AB⊥平面PDC， 因?yàn)镻C?平面PDC， 所以AB⊥PC. (2)由(1)知，AB⊥PC，又BE⊥PC，AB∩BE＝B，所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AE. 因?yàn)镻B＝4，所以在Rt△PEB中，BE＝4sin 60°＝2，PE＝4cos 60°＝2，在Rt△PEA中，AE＝PEtan 60°＝2， 所以AE＝BE＝2， 所以S△ABE＝·AB·＝4. 所以三棱錐B -PAE的體積VB -PAE＝VP -ABE＝S△AEB·PE＝×4×2＝. 3．(2018·合肥質(zhì)檢)如圖，平面五邊形A

11、BCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝.將△CDE沿CE折起，使點(diǎn)D到P的位置，且AP＝，得到四棱錐P -ABCE. (1)求證：AP⊥平面ABCE； (2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l，求證：AB∥l. 證明：(1)在△CDE中，∵CD＝ED＝，cos∠EDC＝，由余弦定理得CE＝2.連接AC(圖略)，∵AE＝2，∠AEC＝60°，∴AC＝2.又AP＝，∴在△PAE中，PA2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE.同理，AP⊥AC.而AC?平面ABCE，AE?平面ABCE，AC∩AE＝A，故AP⊥平面ABCE. (2)∵AB∥CE，且

12、CE?平面PCE，AB?平面PCE，∴AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE＝l，∴AB∥l. 4.(2018·山西省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖，在四棱錐P -ABCD中，底面ABCD是矩形，且AB＝BC，E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，G，H在線段PC上，EF⊥PA，且＝＝＝＝.求證： (1)EH∥平面PAD； (2)平面EFG⊥平面PAC. 證明：(1)如圖，在PD上取點(diǎn)M，使得＝，連接AM，MH，則＝＝，所以MH＝DC，MH∥CD， 又AE＝AB，四邊形ABCD是矩形， 所以MH＝AE，MH∥AE，所以四邊形AEHM為平行四邊形，所以EH∥AM， 又AM?平面PAD，EH?平面P

13、AD，所以EH∥平面PAD. (2)取AB的中點(diǎn)N，連接DN，則NE＝DF，NE∥DF， 則四邊形NEFD為平行四邊形，則DN∥EF， 在△DAN和△CDA中，∠DAN＝∠CDA，＝＝， 則△DAN∽△CDA， 則∠ADN＝∠DCA，則DN⊥AC，則EF⊥AC， 又EF⊥PA，AC∩PA＝A，所以EF⊥平面PAC， 又EF?平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAC. 5.(2018·福州五校聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABC -A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1是矩形，∠BAC＝90°，AA1⊥BC，AA1＝AC＝2AB＝4，且BC1⊥A1C. (1)求證：平面ABC1⊥平面A1ACC1

14、； (2)設(shè)D是A1C1的中點(diǎn)，判斷并證明在線段BB1上是否存在點(diǎn)E，使得DE∥平面ABC1.若存在，求三棱錐E -ABC1的體積． 解：(1)在三棱柱ABC -A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1是矩形， ∴AA1⊥AB，又AA1⊥BC，AB∩BC＝B，∴A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AC，又A1A＝AC，∴A1C⊥AC1. 又BC1⊥A1C，BC1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面ABC1， 又A1C?平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1. (2)當(dāng)E為B1B的中點(diǎn)時(shí)，連接AE，EC1，DE，如圖，取A1A的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)D， ∵EF∥AB，DF∥AC1， 又EF∩DF＝F，AB∩AC1＝A，∴平面EFD∥平面ABC1， 又DE?平面EFD，∴DE∥平面ABC1.此時(shí)VE -ABC1＝VC1 -ABE＝××2×2×4＝.