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1、2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 分類練習(xí) 綜合探究題
1.（1）問題背景
如圖①，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，AB=AC，P為BMC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），求證： PA=PB+PC．
小明同學(xué)觀察到圖中自點(diǎn)A出發(fā)有三條線段AB，AP，AC，且AB=AC，這就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊．于是，小明同學(xué)有如下思考過程：
第一步：將△PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB（如圖①）；
第二步：證明Q，B，P三點(diǎn)共線，進(jìn)而原題得證．
請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程．
（2）類比遷移
如圖②，⊙O的半徑為3，點(diǎn)A，B在⊙O上，C為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC，AB⊥AC，垂足為A，求OC的最
2、小值．
（3）拓展延伸
如圖③，⊙O的半徑為3，點(diǎn)A，B在⊙O上，C為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC，AB⊥AC，垂足為A，則OC的最小值為 ?。?
2.兩個(gè)等腰直角三角形如圖放置，∠B=∠CAD=90°，AB=BC=cm，AC=AD，垂直于CD的直線a從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒cm的速度沿CD方向勻速平移，與CD交于點(diǎn)E，與折線BAD交于點(diǎn)F；與此同時(shí)，點(diǎn)G從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1cm的速度沿著DA的方向運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)G落在直線a上，點(diǎn)G與直線a同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）.
（1） 填空：CD=_______cm;
（2） 連接EG、FG，設(shè)△EFG的面積為y，求y與
3、t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)t的取值范圍；
（3） 是否存在某一時(shí)刻t（0
4、a=1，△PMO的面積為S，試求S的最大值；
（3）如圖②，連結(jié)PM、AM，試探究：在點(diǎn)P、M運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得△PMB為直角三角形且△PMA是等腰三角形？若存在，求出此時(shí)a和t的取值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
4.如圖，在等邊中， 分別是邊上的點(diǎn)，且 , ，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，連接，交于.
（1）連接，則之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）若，求的大小; （用的式子表示）
（2）用等式表示線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.
5.對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如
5、下定義：若存在實(shí)數(shù)，對(duì)于函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)之差為1的任意兩點(diǎn)，，都成立，則稱這個(gè)函數(shù)是限減函數(shù)，在所有滿足條件的中，其最大值稱為這個(gè)函數(shù)的限減系數(shù)．例如，函數(shù)，當(dāng)取值和時(shí)，函數(shù)值分別為，，故，因此函數(shù)是限減函數(shù)，它的限減系數(shù)為．
（1）寫出函數(shù)的限減系數(shù)；
（2），已知（）是限減函數(shù)，且限減系數(shù)，求的取值范圍．
（3）已知函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂直于軸，將函數(shù)的圖象在點(diǎn)右側(cè)的部分關(guān)于直線翻折，其余部分保持不變，得到一個(gè)新函數(shù)的圖象，如果這個(gè)新函數(shù)是限減函數(shù)，且限減系數(shù)，直接寫出點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．
6.如圖，在中，，CD是中線，，一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)
6、的角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，DF與AC交于點(diǎn)M，DE與BC交于點(diǎn)N．
如圖1，若，求證：；
如圖2，在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中：
探究三條線段AB，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
若，，求DN的長(zhǎng)．
7.平面上，矩形與直徑為的半圓如圖①擺放，分別延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)，且.讓線段及矩形位置固定，將線段連帶著半圓一起繞著點(diǎn) 按逆時(shí)針方向開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為.
發(fā)現(xiàn)
(1)當(dāng)，即初始位置時(shí)，點(diǎn) 直線上(填“在”
或“不在”)，求當(dāng)是多少度時(shí)，經(jīng)過點(diǎn);
7、
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，簡(jiǎn)要說明是多少度時(shí)，點(diǎn)、間
的距離最小，并指出這個(gè)最小值;
(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，求及.
拓展 如圖③，當(dāng)線段與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)時(shí)，設(shè)，用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)，并求的取值范圍.
探究 當(dāng)半圓與矩形的邊相切時(shí)，求的值.
8.如圖1，已知B點(diǎn)坐標(biāo)是（6，6），BA⊥x軸于A，BC⊥y軸于C，D在線段OA上，E在y軸的正半軸上，DE⊥BD，M是DE中點(diǎn)，且M在OB上．
（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)是（ ， ?。?，DE= ??；
（2）小明在研究動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果有兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線上做勻速運(yùn)動(dòng)，連接這兩點(diǎn)所得線段的中點(diǎn)將在同一條直線上運(yùn)動(dòng)，利用這一事實(shí)解答下列問題，如圖2，如果一動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)有一點(diǎn)G從點(diǎn)D出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)H從點(diǎn)E開始沿y軸正方向自由滑動(dòng)，并始終保持GH=DE，P為FG的中點(diǎn)，Q為GH的中點(diǎn)，F(xiàn)與G兩個(gè)點(diǎn)分別運(yùn)動(dòng)到各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，分別求出在運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)．
（3）連接PQ，求當(dāng)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，PQ最小，最小值是多少？
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