2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程學(xué)案 新人教A版必修2

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程學(xué)案 新人教A版必修2 直線的傾斜角 [提出問(wèn)題] 在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P. 問(wèn)題1：直線l的位置能夠確定嗎？ 提示：不能． 問(wèn)題2：過(guò)點(diǎn)P可以作與l相交的直線多少條？ 提示：無(wú)數(shù)條． 問(wèn)題3：上述問(wèn)題中的所有直線有什么區(qū)別？ 提示：傾斜程度不同． [導(dǎo)入新知] 1.傾斜角的定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．如圖所示，直線l的傾斜角是∠APx，直線l′的傾斜角是∠BPx. 2．傾斜角的范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°

2、，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°. 3．傾斜角與直線形狀的關(guān)系 傾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 直線 [化解疑難] 對(duì)直線的傾斜角的理解 (1)傾斜角定義中含有三個(gè)條件： ①x軸正向；②直線向上的方向；③小于180°的非負(fù)角． (2)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)看，直線的傾斜角是由x軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角． (3)傾斜角是一個(gè)幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對(duì)x軸的傾斜程度． (4)平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，

3、其傾斜角不相等. 直線的斜率 [提出問(wèn)題] 日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示傾斜程度，例如，“進(jìn)2升3”與“進(jìn)2升2”比較，前者更陡一些，因?yàn)槠露龋? 問(wèn)題1：對(duì)于直線可利用傾斜角描述傾斜程度，可否借助于坡度來(lái)描述直線的傾斜程度？ 提示：可以． 問(wèn)題2：由上圖中坡度為升高量與水平前進(jìn)量的比值，那么對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中直線的傾斜程度能否如此度量？ 提示：可以． 問(wèn)題3：通過(guò)坐標(biāo)比，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它與傾斜角有何關(guān)系？ 提示：與傾斜角的正切值相等． [導(dǎo)入新知] 1．斜率的定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tan_α. 2．

4、斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝.當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線P1P2沒(méi)有斜率． 3．斜率作用：用實(shí)數(shù)反映了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線的傾斜程度． [化解疑難] 1．傾斜角α與斜率k的關(guān)系 (1)直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率．當(dāng)傾斜角是90°時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)，直線垂直于x軸(平行于y軸或與y軸重合)． (2)直線的斜率也反映了直線相對(duì)于x軸的正方向的傾斜程度．當(dāng)0°≤α＜90°時(shí)，斜率越大，直線的傾斜程度越大；當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，斜率越大，直線的傾斜程度也越大． 2．斜率公式 (1)直線的斜率與兩點(diǎn)

5、的順序無(wú)關(guān)，即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)在公式中的次序可以同時(shí)調(diào)換，就是說(shuō)， 如果分子是y2－y1，分母必須是x2－x1；反過(guò)來(lái)，如果分子是y1－y2，分母必須是x1－x2，即k＝＝. (2)用斜率公式時(shí)要一看，二用，三求值．一看，就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進(jìn)行第二步；二用，就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式；三求值，就是計(jì)算斜率的值，尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式時(shí)要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論． 直線的傾斜角 [例1]　(1)若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角，則直線l的傾斜角為(　　) A．30°　　　　　　　 B．60°

6、 C．30°或150° D．60°或120° (2)下列說(shuō)法中，正確的是(　　) A．直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tan α B．直線的斜率為tan α，則此直線的傾斜角為α C．若直線的傾斜角為α，則sin α＞0 D．任意直線都有傾斜角α，且α≠90°時(shí)，斜率為tan α [解析]　(1)如圖，直線l有兩種情況，故l的傾斜角為60°或120°. (2)對(duì)于A，當(dāng)α＝90°時(shí)，直線的斜率不存在，故不正確；對(duì)于B，雖然直線的斜率為tan α，但只有0°≤α＜180°時(shí)，α才是此直線的傾斜角，故不正確；對(duì)于C，當(dāng)直線平行于x軸時(shí)，α＝0°，sin α＝0，故C不正確，故選

7、D. [答案]　(1)D　(2)D [類題通法] 求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意 (1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0°，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為90°. ②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°. [活學(xué)活用] 1．直線l經(jīng)過(guò)第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是(　　) A．[0°，90°)　　　　　　　　　　 B．[90°，180°) C．(90°，180°) D．(0°，180°) 解析：選C　直線傾斜角的取值范圍是[0°，180°)，又直線l經(jīng)過(guò)第二、四象限，所以直線l的傾

8、斜角范圍是(90°，180°)． 2．設(shè)直線l過(guò)原點(diǎn)，其傾斜角為α，將直線l繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，得到直線l1，則直線l1的傾斜角為(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．當(dāng)0°≤α＜135°時(shí)為α＋45°，當(dāng)135°≤α＜180°時(shí)為α－135° 解析：選D　當(dāng)0°≤α＜135°時(shí)，l1的傾斜角是α＋45°.當(dāng)135°≤α＜180°時(shí)，結(jié)合圖形和傾斜角的概念，即可得到l1的傾斜角為α－135°，故應(yīng)選D. 直線的斜率 [例2]　(1)已知過(guò)兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為135°，則y＝________；

9、 (2)過(guò)點(diǎn)P(－2，m)，Q(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為_(kāi)_______； (3)已知過(guò)A(3,1)，B(m，－2)的直線的斜率為1，則m的值為_(kāi)_______． [解析]　(1)直線AB的斜率k＝tan 135°＝－1， 又k＝，由＝－1，得y＝－5. (2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1. (3)當(dāng)m＝3時(shí)，直線AB平行于y軸，斜率不存在． 當(dāng)m≠3時(shí)，k＝＝－＝1，解得m＝0. [答案]　(1)－5　(2)1　(3)0 [類題通法] 利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng) (1)運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因?yàn)楫?dāng)直線與x軸垂直時(shí)，斜

10、率是不存在的； (2)斜率公式與兩點(diǎn)P1，P2的先后順序無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)公式中的x1與x2，y1與y2可以同時(shí)交換位置． [活學(xué)活用] 3．(xx·河南平頂山高一調(diào)研)若直線過(guò)點(diǎn) (1,2)，(4，2＋)，則此直線的傾斜角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：選A　設(shè)直線的傾斜角為α， 直線斜率k＝＝， ∴tan α＝. 又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°. 直線的斜率的應(yīng)用 [例3]　已知實(shí)數(shù)x，y滿足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值． [解]　如圖所示，由于點(diǎn)(x，y)滿足關(guān)系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知

11、點(diǎn)P(x，y)在線段AB上移動(dòng)，并且A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可分別求得為A(2,4)，B(3,2)． 由于的幾何意義是直線OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以可求得的最大值為2，最小值為. [類題通法] 根據(jù)題目中代數(shù)式的特征，看是否可以寫(xiě)成的形式，若能，則聯(lián)想其幾何意義(即直線的斜率)，再利用圖形的直觀性來(lái)分析解決問(wèn)題． [活學(xué)活用] 4．點(diǎn)M(x，y)在函數(shù)y＝－2x＋8的圖象上，當(dāng)x∈[2,5]時(shí)，求的取值范圍． 解：＝的幾何意義是過(guò)M(x，y)，N(－1，－1)兩點(diǎn)的直線的斜率． ∵點(diǎn)M在函數(shù)y＝－2x＋8的圖象上，且x∈[2,5]， ∴設(shè)該線段為AB且A(2,4)，B(5

12、，－2)． ∵kNA＝，kNB＝－， ∴－≤≤. ∴的取值范圍為[－，]． 　　　　 [典例]　已知兩點(diǎn)A(－3,4)，B(3,2)，過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則l的傾斜角的取值范圍________；直線l的斜率k的取值范圍________． [解析]　如圖，由題意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，則直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°， ∴直線l的傾斜角α的取值范圍是45°≤α≤135°；要使l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是k≤－1或k≥1. [答案]　45°≤α≤

13、135°　k≤－1或k≥1 [易錯(cuò)防范] 1．本題易錯(cuò)誤地認(rèn)為－1≤k≤1，結(jié)合圖形考慮，l的傾斜角應(yīng)介于直線PB與直線PA的傾斜角之間，要特別注意，當(dāng)l的傾斜角小于90°時(shí)，有k≥kPB；當(dāng)l的傾斜角大于90°時(shí)，則有k≤kPA. 2.如圖，過(guò)點(diǎn)P的直線l與直線段AB相交時(shí)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P且與x軸垂直的直線PC的斜率不存在，而PC所在的直線與線段AB不相交，所以滿足題意的斜率夾在中間，即kPA≤k≤kPB.解決這類問(wèn)題時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合思想直觀地判斷直線是夾在中間還是在兩邊． [成功破障] 已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,4)，且與以A(－1,0)，B(2,1)為端點(diǎn)的線段AB有公共點(diǎn)，求直線l

14、的斜率k的取值范圍． 解：∵直線PA的斜率kPA＝＝1，直線PB的斜率kPB＝＝3，∴要使直線l與線段AB有公共點(diǎn)，k的取值范圍為[1,3]． [隨堂即時(shí)演練] 1．關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列說(shuō)法正確的是(　　) A．任一直線都有傾斜角，都存在斜率 B．傾斜角為135°的直線的斜率為1 C．若一條直線的傾斜角為α，則它的斜率為k＝tan α D．直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞) 解析：選D　任一直線都有傾斜角，但當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在．所以A、C錯(cuò)誤；傾斜角為135°的直線的斜率為－1，所以B錯(cuò)誤；只有D正確． 2．已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(5，m)和(m,8)的

15、直線的斜率等于1，則m的值是(　　) A．5　　　　　　　　　　 B．8 C. D．7 解析：選C　由斜率公式可得＝1，解之得m＝. 3．直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和(－1,1)，則它的傾斜角為_(kāi)_______． 解析：kl＝＝－1， 因此傾斜角為135°. 答案：135° 4．已知三點(diǎn)A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一條直線上，實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 解析：∵A、B、C三點(diǎn)共線， ∴kAB＝kBC，即＝，∴a＝2或. 答案：2或 5．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍，求m的值． 解：由

16、題意直線AC的斜率存在，即m≠－1. ∴kAC＝，kBC＝. ∴＝3·. 整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)， 即(m＋1)(m－4)＝0， ∴m＝4或m＝－1(舍去)． ∴m＝4. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．給出下列說(shuō)法，正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等； ②一條直線的傾斜角為－30°； ③傾斜角為0°的直線只有一條； ④直線的傾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}與直線集合建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選A　若兩直線的傾斜角為90°，則它們的斜率不存在，①錯(cuò)；直線傾斜角的

17、取值范圍是[0°，180°)，②錯(cuò)；所有垂直于y軸的直線傾斜角均為0°，③錯(cuò)；不同的直線可以有相同的傾斜角，④錯(cuò)． 2．過(guò)兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為45°，則y＝(　　) A．－ B. C．－1 D．1 解析：選C　tan 45°＝kAB＝，即＝1，所以y＝－1. 3.如圖，設(shè)直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關(guān)系為(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k1＜k3＜k2 C．k2＜k1＜k3 D．k3＜k2＜k1 解析：選A　根據(jù)“斜率越大，直線的傾斜程度越大”可知選項(xiàng)A正確． 4．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(2,1)，

18、B(1，m2)的直線l的傾斜角為銳角，則m的取值范圍是(　　) A．m＜1 B．m＞－1 C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1 解析：選C　∵直線l的傾斜角為銳角， ∴斜率k＝＞0，∴－1＜m＜1. 5．(xx·廣州高一檢測(cè))如果直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)，且不通過(guò)第四象限，那么l的斜率的取值范圍是(　　) A．[0,1] B．[0,2] C. D．(0,3] 解析：選B　過(guò)點(diǎn)(1,2)的斜率為非負(fù)且最大斜率為此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線斜率時(shí)，圖象不過(guò)第四象限． 二、填空題 6．已知a＞0，若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a＝______

19、__. 解析：若平面內(nèi)三點(diǎn)共線，則kAB＝kBC，即＝，整理得a2－2a－1＝0，解得a＝1＋，或a＝1－(舍去)． 答案：1＋ 7．如果直線l1的傾斜角是150°，l2⊥l1，垂足為B.l1，l2與x軸分別相交于點(diǎn)C，A，l3平分∠BAC，則l3的傾斜角為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)橹本€l1的傾斜角為150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的傾斜角為×(90°－30°)＝30°. 答案：30° 8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x＋2y＝6，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：的幾何意義是過(guò)M(x，y)，N(2,1)兩點(diǎn)的直線的斜率，因?yàn)辄c(diǎn)M在函數(shù)x＋2y＝6的

20、圖象上，且1≤x≤3，所以可設(shè)該線段為AB，且A，B，由于kNA＝－，kNB＝，所以的取值范圍是∪. 答案：∪ 三、解答題 9．已知直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2)，B(m,3)，求直線l的斜率和傾斜角的取值范圍． 解：設(shè)l的斜率為k，傾斜角為α， 當(dāng)m＝1時(shí)，斜率k不存在，α＝90°， 當(dāng)m≠1時(shí)，k＝＝， 當(dāng)m＞1時(shí)，k＝＞0，此時(shí)α為銳角，0°＜α＜90°， 當(dāng)m＜1時(shí)，k＝＜0，此時(shí)α為鈍角， 90°＜α＜180°. 所以α∈(0°，180°)，k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． 10．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)， (1)求直線AB和AC的斜率．

21、 (2)若點(diǎn)D在線段BC(包括端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí)，求直線AD的斜率的變化范圍． 解：(1)由斜率公式可得直線AB的斜率kAB＝＝.直線AC的斜率kAC＝＝.故直線AB的斜率為，直線AC的斜率為. (2)如圖所示，當(dāng)D由B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的變化范圍是. 3．1.2　兩條直線平行與垂直的判定 兩條直線平行 [提出問(wèn)題] 平面幾何中，兩條直線平行同位角相等． 問(wèn)題1：在平面直角坐標(biāo)中，若l1∥l2，則它們的傾斜角α1與α2有什么關(guān)系？ 提示：相等． 問(wèn)題2：若l1∥l2，則l1，l2的斜率相等嗎？ 提示：不

22、一定，可能相等，也可能都不存在． 問(wèn)題3：若l1與l2的斜率相等，則l1與l2一定平行嗎？ 提示：不一定．可能平行也可能重合． [導(dǎo)入新知] 對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. [化解疑難] 對(duì)兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn) (1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②l1與l2不重合． (2)當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時(shí)，l1與l2的傾斜角都是90°，則l1∥l2. (3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是： l1∥l2?k1＝k2或l1，l2斜率都不存在. 兩條直線垂直

23、 [提出問(wèn)題] 已知兩條直線l1，l2，若l1的傾斜角為30°，l1⊥l2. 問(wèn)題1：上述問(wèn)題中，l1，l2的斜率是多少？ 提示：k1＝，k2＝－. 問(wèn)題2：上述問(wèn)題中兩直線l1、l2的斜率有何關(guān)系？ 提示：k1k2＝－1. 問(wèn)題3：若兩條直線垂直且都有斜率，它們的斜率之積一定為－1嗎？ 提示：一定． [導(dǎo)入新知] 如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果它們的斜率之積等于－1，那么它們互相垂直，即l1⊥l2?k1·k2＝－1. [化解疑難] 對(duì)兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn) (1)l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提條

24、件是：①兩條直線的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0. (2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直． (3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為： l1⊥l2?k1·k2＝－1或一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零． 兩條直線平行的判定 [例1]　根據(jù)下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2是否平行． (1)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，B(－3,5)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(0,1)，F(xiàn)(－2，－1)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)G(3,4)，H(2,3)； (3)l1的傾斜角為60°，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(

25、1，)，N(－2，－2)； (4)l1平行于y軸，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，－2)，Q(0,5)． [解]　(1)由題意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直線l1與直線l2平行或重合，又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2. (2)由題意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直線l1與直線l2平行或重合，kFG＝＝1，故直線l1與直線l2重合． (3)由題意知，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直線l1與直線l2平行或重合． (4)由題意知l1的斜率不存在，且不是y軸，l2的斜率也不存在，恰好是y軸，所以l1∥l2. [類題通法] 判斷兩條不重合直線是否平行的步驟 [活學(xué)活用]

26、 1．試確定m的值，使過(guò)點(diǎn)A(m＋1,0)，B(－5，m)的直線與過(guò)點(diǎn)C(－4,3)，D(0,5)的直線平行． 解：由題意直線CD的斜率存在，則與其平行的直線AB的斜率也存在．kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，即kAB＝kCD，所以＝，得m＝－2.經(jīng)驗(yàn)證m＝－2時(shí)直線AB的斜率存在，所以m＝－2. 兩條直線垂直的問(wèn)題 [例2]　已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，a)，B(a－2，－3)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值． [解]　設(shè)直線l1，l2的斜率分別為k1，k2. ∵直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，

27、 ∴l(xiāng)2的斜率存在． 當(dāng)k2＝0時(shí)，a－2＝3，則a＝5，此時(shí)k1不存在，符合題意．當(dāng)k2≠0時(shí)，即a≠5，此時(shí)k1≠0， 由k1·k2＝－1，得·＝－1，解得a＝－6. 綜上可知，a的值為5或－6. [類題通法] 使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟 (1)一看，就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進(jìn)行第一步． (2)二用：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式． (3)求值：計(jì)算斜率的值，進(jìn)行判斷．尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論． 總之，l1與l2一個(gè)斜率為0，另一個(gè)斜率不存在時(shí)，l1⊥l2；l1與l2斜率都存在時(shí)，滿足k1·

28、k2＝－1. [活學(xué)活用] 2．已知定點(diǎn)A(－1,3)，B(4,2)，以A、B為直徑作圓，與x軸有交點(diǎn)C，則交點(diǎn)C的坐標(biāo)是________． 解析：以線段AB為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)為C，則AC⊥BC.設(shè)C(x,0)，則kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，得x＝1或2，所以C(1,0)或(2,0)． 答案：(1,0)或(2,0) 平行與垂直的綜合應(yīng)用 [例3]　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四點(diǎn)，若順次連接A，B，C，D四點(diǎn)，試判定圖形ABCD的形狀． [解]　由題意知A，B，C，D四點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置，如圖所示，由斜率公式可得kAB＝＝

29、， kCD＝＝，kAD＝＝－3， kBC＝＝－. 所以kAB＝kCD，由圖可知AB與CD不重合， 所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD與BC不平行． 又因?yàn)閗AB·kAD＝×(－3)＝－1， 所以AB⊥AD， 故四邊形ABCD為直角梯形． [類題通法] 1．在頂點(diǎn)確定的情況下，確定多邊形形狀時(shí)，要先畫(huà)出圖形，由圖形猜測(cè)其形狀，為下面證明提供明確目標(biāo)． 2．證明兩直線平行時(shí)，僅有k1＝k2是不夠的，注意排除兩直線重合的情況． [活學(xué)活用] 3．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，點(diǎn)D滿足AB⊥CD，且AD∥BC，試求點(diǎn)D的坐標(biāo)． 解：設(shè)D(x，y)，則k

30、AB＝＝1，kBC＝＝－，kCD＝，kDA＝.因?yàn)锳B⊥CD，AD∥BC， 所以，kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC，所以 解得即D(10，－6)． 　　　　 [典例]　已知直線l1經(jīng)過(guò)A(3，m)，B(m－1,2)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1,2)，D(－2，m＋2)． (1)若l1∥l2，求m的值； (2)若l1⊥l2，求m的值． [解題流程] 先求l2的斜率―→由l1∥l2得k1＝k2列關(guān)系式檢驗(yàn)―→由l1⊥l2討論k2＝0或k2≠0，再由k1·k2＝－1得出結(jié)論 當(dāng)k2≠0②時(shí)，直線l2的斜率存在且不為0，則直線l1的斜率也存在，且k1

31、·k2＝－1，即－·＝－1，解得m＝3或m＝－4，(10分) 所以m＝3或m＝－4時(shí)，l1⊥l.(12分) [名師批注] ①處易漏掉而直接利用兩直線平行或垂直所具備的條件來(lái)求m值，解答過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn) ②處討論k2＝0和k2≠0兩種情況 ③此處易漏掉檢驗(yàn)做解答題要注意解題的規(guī)范 [活學(xué)活用] 已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直線AB⊥CD，求m的值． 解：因?yàn)锳，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)不等，所以AB與x軸不平行．因?yàn)锳B⊥CD，所以CD與x軸不垂直，故m≠－3. 當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，而m＝－1時(shí)，C，D縱

32、坐標(biāo)均為－1，所以CD∥x軸，此時(shí)AB⊥CD，滿足題意． 當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由斜率公式得kAB＝＝，kCD＝＝. 因?yàn)锳B⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，解得m＝1. 綜上，m的值為1或－1. [隨堂即時(shí)演練] 1．下列說(shuō)法正確的有(　　) ①若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行； ②若l1∥l2，則k1＝k2； ③若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直； ④若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行． A．1個(gè)　　　　　　　　　 B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：選A　若k1＝k2，則這兩條直

33、線平行或重合，所以①錯(cuò)；當(dāng)兩條直線垂直于x軸時(shí)，兩條直線平行，但斜率不存在，所以②錯(cuò)；若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，才有這兩條直線垂直，所以③錯(cuò)；④正確． 2．直線l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的兩根，則l1與l2的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 解析：選D　設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1·k2＝－1. 3．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，則直線EF的斜率為_(kāi)_______． 解析：∵E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)， ∴EF∥AB. ∴kEF＝

34、kAB＝＝－2. 答案：－2 4．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(m,3)和(2，m)的直線l與斜率為－4的直線互相垂直，則m的值是________． 解析：由題意可知kl＝，又因?yàn)閗l＝，所以＝，解得m＝. 答案： 5．判斷下列各小題中的直線l1與l2的位置關(guān)系． (1)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(10,2)，B(20,3)； (2)l1過(guò)點(diǎn)A(3,4)，B(3,100)，l2過(guò)點(diǎn)M(－10,40)，N(10,40)； (3)l1過(guò)點(diǎn)A(0,1)，B(1,0)，l2過(guò)點(diǎn)M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1過(guò)點(diǎn)A(－3,2)，B(－3,10)，l2過(guò)點(diǎn)M(5，－2)，N(5,5)． 解

35、：(1)k1＝－10，k2＝＝. ∵k1k2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2. (2)l1的傾斜角為90°，則l1⊥x軸．k2＝＝0， 則l2∥x軸，∴l(xiāng)1⊥l2. (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，∴k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠k1，∴l(xiāng)1∥l2. (4)∵l1與l2都與x軸垂直，∴l(xiāng)1∥l2. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．已知過(guò)點(diǎn)P(3,2m)和點(diǎn)Q(m,2)的直線與過(guò)點(diǎn)M(2，－1)和點(diǎn)N(－3,4)的直線平行，則m的值是(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：選B　因?yàn)镸N∥PQ，所以kMN＝kPQ，即＝ ，解得m＝－1. 2．以A(－1,1

36、)，B(2，－1)，C(1,4)為頂點(diǎn)的三角形是(　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形 D．以B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形 解析：選C　如右圖所示，易知kAB＝＝－，kAC＝＝，由kAB·kAC＝－1知三角形是以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形． 3．已知點(diǎn)A(－2，－5)，B(6,6)，點(diǎn)P在y軸上，且∠APB＝90°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A．(0，－6) B．(0,7) C．(0，－6)或(0,7) D．(－6,0)或(7,0) 解析：選C　由題意可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，y)．因?yàn)椤螦PB＝90°，所以AP⊥BP，且直線AP與直線BP

37、的斜率都存在．又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1， 即·(－)＝－1，解得y＝－6或y＝7.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，－6)或(0,7)． 4．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，則下面四個(gè)結(jié)論：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　由題意得kAB＝＝－，kCD＝＝－，kAD＝＝，kAC＝＝，kBD＝＝－4，所以AB∥CD，AB⊥AD，AC⊥BD. 5．已知點(diǎn)A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，則以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是(　　

38、) A．梯形 B．平行四邊形 C．菱形 D．矩形 解析：選B　如圖所示，易知kAB＝－，kBC＝0，kCD＝－，kAD＝0，kBD＝－，kAC＝，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－， 故AD∥BC，AB∥CD，AB與AD不垂直，BD與AC不垂直． 所以四邊形ABCD為平行四邊形． 二、填空題 6．l1過(guò)點(diǎn)A(m,1)，B(－3,4)，l2過(guò)點(diǎn)C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，則m＝________. 解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，∴m＝0. 答案：0 7．已知直線l1的傾斜角為45°，直線l2∥l

39、1，且l2過(guò)點(diǎn)A(－2，－1)和B(3，a)，則a的值為_(kāi)_______． 解析：∵l2∥l1，且l1的傾斜角為45°，∴kl2＝kl1＝tan 45°＝1，即＝1，所以a＝4. 答案：4 8．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，點(diǎn)D在x軸上，則當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為_(kāi)_______時(shí)，AB⊥CD. 解析：設(shè)點(diǎn)D(x,0)，因?yàn)閗AB＝＝4≠0，所以直線CD的斜率存在． 則由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，所以4·＝－1，解得x＝－9. 答案：(－9,0) 三、解答題 9．當(dāng)m為何值時(shí)，過(guò)兩點(diǎn)A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直線： (1)傾斜角為135°；

40、 (2)與過(guò)兩點(diǎn)(3,2)，(0，－7)的直線垂直； (3)與過(guò)兩點(diǎn)(2，－3)，(－4,9)的直線平行？ 解：(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1，解得m＝－，或m＝1. (2)由kAB＝，且＝3. 則＝－，解得m＝，或m＝－3. (3)令＝＝－2， 解得m＝，或m＝－1. 10．直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m,1)，B(－3,4)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1，m)，D(－1，m＋1)，當(dāng)l1∥l2或l1⊥l2時(shí)，分別求實(shí)數(shù)m的值． 解：當(dāng)l1∥l2時(shí)， 由于直線l2的斜率存在，則直線l1的斜率也存在，則kAB＝kCD，即＝，解得m＝3； 當(dāng)l1⊥l2時(shí)， 由于直線l2的斜率存在且

41、不為0，則直線l1的斜率也存在，則kABkCD＝－1， 即·＝－1，解得m＝－. 綜上，當(dāng)l1∥l2時(shí)，m的值為3； 當(dāng)l1⊥l2時(shí)，m的值為－. 3．2直線的方程 3．2.1　直線的點(diǎn)斜式方程 [提出問(wèn)題] 斜拉橋又稱斜張橋，橋身簡(jiǎn)約剛毅，力感十足．若以橋面所在直線為x軸，橋塔所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么斜拉索可看成過(guò)橋塔上同一點(diǎn)的直線． 問(wèn)題1：已知某一斜拉索過(guò)橋塔上一點(diǎn)B，那么該斜拉索位置確定嗎？ 提示：不確定．從一點(diǎn)可引出多條斜拉索． 問(wèn)題2：若某條斜拉索過(guò)點(diǎn)B(0，b)，斜率為k，則該斜拉索所在直線上的點(diǎn)P(x，y)滿足什

42、么條件？ 提示：滿足＝k. 問(wèn)題3：可以寫(xiě)出問(wèn)題2中的直線方程嗎？ 提示：可以．方程為y－b＝kx. [導(dǎo)入新知] 1．直線的點(diǎn)斜式方程 (1)定義：如圖所示，直線l過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)，斜率為k，則把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直線l的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式． (2)說(shuō)明：如圖所示，過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角是90°的直線沒(méi)有點(diǎn)斜式，其方程為x－x0＝0，或x＝x0. 2．直線的斜截式方程 (1)定義：如圖所示，直線l的斜率為k，且與y軸的交點(diǎn)為(0，b)，則方程y＝kx＋b叫做直線l的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式． (2)說(shuō)明：一條直線與y軸的交點(diǎn)(0，b)

43、的縱坐標(biāo)b叫做直線在y軸上的截距．傾斜角是直角的直線沒(méi)有斜截式方程． [化解疑難] 1．關(guān)于點(diǎn)斜式的幾點(diǎn)說(shuō)明： (1)直線的點(diǎn)斜式方程的前提條件是：①已知一點(diǎn)P(x0，y0)和斜率k；②斜率必須存在．只有這兩個(gè)條件都具備，才可以寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程． (2)方程y－y0＝k(x－x0)與方程k＝不是等價(jià)的，前者是整條直線，后者表示去掉點(diǎn)P(x0，y0)的一條直線． (3)當(dāng)k取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)的無(wú)數(shù)條直線． 2．斜截式與一次函數(shù)的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有區(qū)別，當(dāng)k≠0時(shí)，y＝kx＋b即為一次函數(shù)；當(dāng)k＝0時(shí)，y＝b，不是一

44、次函數(shù)，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)必是一條直線的斜截式方程．截距不是距離，可正、可負(fù)也可為零． 直線的點(diǎn)斜式方程 [例1]　(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－5,2)且平行于y軸的直線方程為_(kāi)_______． (2)直線y＝x＋1繞著其上一點(diǎn)P(3,4)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得直線l，則直線l的點(diǎn)斜式方程為_(kāi)_______． (3)求過(guò)點(diǎn)P(1,2)且與直線y＝2x＋1平行的直線方程為_(kāi)_______． [解析]　(1)∵直線平行于y軸，∴直線不存在斜率，∴方程為x＝－5. (2)直線y＝x＋1的斜率k＝1，所以傾斜角為45°.由題意知，直線l的傾斜角為135°，所以直線l的斜率k′

45、＝tan 135°＝－1，又點(diǎn)P(3,4)在直線l上，由點(diǎn)斜式方程知，直線l的方程為y－4＝－(x－3)． (3)由題意知，所求直線的斜率為2，且過(guò)點(diǎn)P(1,2)，∴直線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. [答案]　(1)x＝－5　(2)y－4＝－(x－3)　(3)2x－y＝0 [類題通法] 已知直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線斜率或已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，均可用直線方程的點(diǎn)斜式表示，直線方程的點(diǎn)斜式，應(yīng)在直線斜率存在的條件下使用．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝x0. [活學(xué)活用] 1．寫(xiě)出下列直線的點(diǎn)斜式方程： (1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5)，斜率是4； (2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,

46、3)，傾斜角是45°； (3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(－1，－1)，與x軸平行． 解：(1)由點(diǎn)斜式方程可知，所求直線的點(diǎn)斜式方程為y－5＝4(x－2)． (2)∵直線的傾斜角為45°， ∴此直線的斜率k＝tan45°＝1. ∴直線的點(diǎn)斜式方程為y－3＝x－2. (3)∵直線與x軸平行，∴傾斜角為0°，斜率k＝0. ∴直線的點(diǎn)斜式方程為y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1. 直線的斜截式方程 [例2]　(1)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－3的直線的斜截式方程為_(kāi)_______． (2)已知直線l1的方程為y＝－2x＋3，l2的方程為y＝4x－2，直線l與l1平行且與l2在

47、y軸上的截距相同，求直線l的方程． [解析]　(1)∵傾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得所求的直線方程為y＝－x－3. (2)由斜截式方程知直線l1的斜率k1＝－2， 又∵l∥l1， ∴l(xiāng)的斜率k＝k1＝－2.由題意知l2在y軸上的截距為－2，∴l(xiāng)在y軸上的截距b＝－2，由斜截式可得直線l的方程為y＝－2x－2. [答案]　(1)y＝－x－3 [類題通法] 1．斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在．當(dāng)b＝0時(shí)，y＝kx表示過(guò)原點(diǎn)的直線；當(dāng)k＝0時(shí)，y＝b表示與x軸平行(或重合)的直線． 2．截距不同于日常生活中的距離，截距是一個(gè)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，是

48、一個(gè)實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或零，而距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)． [活學(xué)活用] 2．求傾斜角是直線y＝－x＋1的傾斜角的，且在y軸上的截距是－5的直線方程． 解：∵直線y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其傾斜角α＝120°，由題意，得所求直線的傾斜角α1＝α＝30°，故所求直線的斜率k1＝tan 30°＝. ∵所求直線的斜率是，在y軸上的截距為－5， ∴所求直線的方程為y＝x－5. 兩直線平行與垂直的應(yīng)用 [例3]　當(dāng)a為何值時(shí)， (1)兩直線y＝ax－2與y＝(a＋2)x＋1互相垂直？ (2)兩直線y＝－x＋4a與y＝(a2－2)x＋4互相平行？ [解]　(1)設(shè)兩直線

49、的斜率分別為k1，k2，則k1＝a，k2＝a＋2. ∵兩直線互相垂直， ∴k1k2＝a(a＋2)＝－1， 解得a＝－1. 故當(dāng)a＝－1時(shí)，兩條直線互相垂直． (2)設(shè)兩直線的斜率分別為k3，k4， 則k3＝－1，k4＝a2－2. ∵兩條直線互相平行， ∴解得a＝－1. 故當(dāng)a＝－1時(shí)，兩條直線互相平行． [類題通法] 判斷兩條直線位置關(guān)系的方法 直線l1：y＝k1x＋b1，直線l2：y＝k2x＋b2. (1)若k1≠k2，則兩直線相交． (2)若k1＝k2，則兩直線平行或重合， 當(dāng)b1≠b2時(shí)，兩直線平行； 當(dāng)b1＝b2時(shí)，兩直線重合． (3)特別地，當(dāng)k1·

50、k2＝－1時(shí)，兩直線垂直． (4)對(duì)于斜率不存在的情況，應(yīng)單獨(dú)考慮． [活學(xué)活用] 3．(1)若直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直，則a＝________. (2)若直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行，則a＝________. 解析：(1)由題意可知kl1＝2a－1，kl2＝4. ∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝. (2)因?yàn)閘1∥l2，所以a2－2＝－1，且2a≠2，解得a＝－1，所以a＝－1時(shí)兩直線平行． 答案：(1)　(2)－1 　　　　 [典例]　已知直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(

51、m－2)x＋3y＋2m＝0，當(dāng)l1∥l2時(shí)，求m的值． [解]　由題設(shè)l2的方程可化為y＝－x－m， 則其斜率k2＝－，在y軸上的截距b2＝－m. ∵l1∥l2，∴l(xiāng)1的斜率一定存在，即m≠0. ∴l(xiāng)1的方程為y＝－x－. 由l1∥l2，得 解得m＝－1.∴m的值為－1. [易錯(cuò)防范] 1．兩條直線平行時(shí)，斜率存在且相等，截距不相等．當(dāng)兩條直線的斜率相等時(shí)，也可能平行，也可能重合． 2．解決此類問(wèn)題要明確兩直線平行的條件，尤其是在求參數(shù)時(shí)要考慮兩直線是否重合． [成功破障] 當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：y＝－2ax＋2a與直線l2：y＝(a2－3)x＋2平行？ 解：∵l1∥

52、l2，∴a2－3＝－2a且2a≠2， 解得a＝－3. [隨堂即時(shí)演練] 1．直線y＝2x－3的斜率和在y軸上的截距分別等于(　　) A．2,3　　　　　　　　　　 B．－3，－3 C．－3,2 D．2，－3 答案：D 2．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－3)，且傾斜角α＝45°，則直線的點(diǎn)斜式方程是(　　) A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2 C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3 解析：選A　∵直線l的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直線l的方程為y＋3＝x－2. 3．過(guò)點(diǎn)(－2，－4)，傾斜角為60°的直線的點(diǎn)斜式方程是________． 解析：α＝

53、60°，k＝tan 60°＝， 由點(diǎn)斜式方程，得y＋4＝(x＋2)． 答案：y＋4＝(x＋2) 4．在y軸上的截距為2，且與直線y＝－3x－4平行的直線的斜截式方程為_(kāi)_______． 解析：∵直線y＝－3x－4的斜率為－3， 所求直線與此直線平行， ∴斜率為－3，又截距為2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2. 答案：y＝－3x＋2 5．(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且與直線y＝2x＋7平行的直線的方程； (2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，－2)，且與直線y＝3x－5垂直的直線的方程． 解：(1)由y＝2x＋7得其斜率為2，由兩直線平行知所求直線的斜率是2. ∴所求直線方程為y－1＝2(

54、x－1)， 即2x－y－1＝0. (2)由y＝3x－5得其斜率為3，由兩直線垂直知，所求直線的斜率是－. ∴所求直線方程為y＋2＝－(x＋2)，即x＋3y＋8＝0. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．已知直線的方程是y＋2＝－x－1，則(　　) A．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,2)，斜率為－1 B．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－1)，斜率為－1 C．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，－2)，斜率為－1 D．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，－1)，斜率為1 解析：選C　直線的方程可化為y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，－2)，斜率為－1. 2．直線y＝ax－的圖象可能是(　　) 解析：選B　由y＝

55、ax－可知，斜率和截距必須異號(hào)，故B正確． 3．與直線y＝2x＋1垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是(　　) A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4 C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4 解析：選D　因?yàn)樗笾本€與y＝2x＋1垂直，所以設(shè)直線方程為y＝－x＋b.又因?yàn)橹本€在y軸上的截距為4，所以直線的方程為y＝－x＋4. 4．過(guò)點(diǎn)(－1,3)且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程為(　　) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0 解析：選A　在斜率存在的條件下，兩條直線垂直的充要條件是斜率互為負(fù)倒數(shù)，則所求直

56、線的斜率為－2，∴所求直線的方程為y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0. 5．過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線y＝x－1平行的直線方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：選A　與直線y＝x－1平行的直線方程可設(shè)為：y＝x＋c，將點(diǎn)(1,0)代入得0＝＋c，解得c＝－，故直線方程為y＝x－即x－2y－1＝0. 二、填空題 6．過(guò)點(diǎn)(－3,2)且與直線y－1＝(x＋5)平行的直線的點(diǎn)斜式方程是________________． 解析：與直線y－1＝(x＋5)平行，故斜率為，所以其點(diǎn)斜式方程是y－2＝(x＋3)．

57、 答案：y－2＝(x＋3) 7．直線y＝ax－3a＋2(a∈R)必過(guò)定點(diǎn)____________． 解析：將直線方程變形為y－2＝a(x－3)，由直線方程的點(diǎn)斜式可知，直線過(guò)定點(diǎn)(3,2)． 答案：(3,2) 8．過(guò)點(diǎn)(4，－3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為_(kāi)_______． 解析：依題意設(shè)l的方程為y＋3＝k(x－4)． 令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝. 因此－4k－3＝. 解得k＝－1或k＝－. 故所求方程為y＝－x＋1或y＝－x. 答案：y＝－x＋1或y＝－x 三、解答題 9．已知三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0

58、,2)，試求這個(gè)三角形的三條邊所在直線的方程． 解：直線AB的斜率kAB＝＝－，過(guò)點(diǎn)A(－5,0)，由點(diǎn)斜式得直線AB的方程為y＝－(x＋5)，即3x＋8y＋15＝0；同理，kBC＝＝－，kAC＝＝，直線BC，AC的方程分別為5x＋3y－6＝0,2x－5y＋10＝0. 10．已知直線l的斜率與直線3x－2y＝6的斜率相等，且直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，求直線l的方程． 解：由題意知，直線l的斜率為，故設(shè)直線l的方程為y＝x＋b，l在x軸上的截距為－b，在y軸上的截距為b，所以－b－b＝1，b＝－，直線l的方程為y＝x－，即15x－10y－6＝0. 3．2.2 & 3.

59、2.3　直線的兩點(diǎn)式方程、直線的一般式方程 兩點(diǎn)式、截距式 [提出問(wèn)題] 某區(qū)商業(yè)中心O有通往東、西、南、北的四條大街，某公園位于東大街北側(cè)、北大街東P處，如圖所示．公園到東大街、北大街的垂直距離分別為1 km和4 km.現(xiàn)在要在公園前修建一條直線大道分別與東大街、北大街交匯于A、B兩處，并使區(qū)商業(yè)中心O到A、B兩處的距離之和最短． 問(wèn)題1：在上述問(wèn)題中，實(shí)際上解題關(guān)鍵是確定直線AB，那么直線AB的方程確定后，點(diǎn)A、B能否確定？ 提示：可以確定． 問(wèn)題2：根據(jù)上圖知建立平面坐標(biāo)系后，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)值相當(dāng)于在x軸、y軸上的什么量？ 提示：在x軸、y軸上的截距．

60、 問(wèn)題3：那么若已知直線在坐標(biāo)軸的截距可以確定直線方程嗎？ 提示：可以． [導(dǎo)入新知] 直線的兩點(diǎn)式與截距式方程 兩點(diǎn)式 截距式 條件 P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2 在x軸上截距a，在y軸上截距b 圖形 方程 ＝ ＋＝1 適用范圍 不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線 不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線及過(guò)原點(diǎn)的直線 [化解疑難] 1．要注意方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，適用范圍也不同．前者為分式形式方程，形式對(duì)稱，但不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線．后者為整式形式方程，適用于過(guò)任何兩點(diǎn)

61、的直線方程． 2．直線方程的截距式為＋＝1，x項(xiàng)對(duì)應(yīng)的分母是直線在x軸上的截距，y項(xiàng)對(duì)應(yīng)的分母是直線在y軸上的截距，中間以“＋”相連，等式的另一端是1，由方程可以直接讀出直線在兩軸上的截距，如：－＝1，＋＝－1就不是直線的截距式方程. 直線方程的一般式 [提出問(wèn)題] 觀察下列直線方程 直線l1：y－2＝3(x－1) 直線l2：y＝3x＋2 直線l3：＝ 直線l4：＋＝1 問(wèn)題1：上述直線方程的形式分別是什么？ 提示：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式． 問(wèn)題2：上述形式的直線方程能化成二元一次方程Ax＋By＋C＝0的形式嗎？ 提示：能． 問(wèn)題3：二元一次方程A

62、x＋By＋C＝0都能表示直線嗎？ 提示：能． [導(dǎo)入新知] 1．直線與二元一次方程的關(guān)系 (1)在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線，都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示． (2)每個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線． 2．直線的一般式方程的定義 我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式． [化解疑難] 1．求直線的一般式方程的策略 (1)當(dāng)A≠0時(shí)，方程可化為x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，則方程化為x＋y＋＝0，只需確定，的值．因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程． (2)在求直線方

63、程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡(jiǎn)單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式． 2．直線的一般式轉(zhuǎn)化為其他形式的步驟 (1)一般式化為斜截式的步驟 ①移項(xiàng)得By＝－Ax－C； ②當(dāng)B≠0時(shí)，得斜截式：y＝－x－. (2)一般式化為截距式的步驟 ①把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，得Ax＋By＝－C； ②當(dāng)C≠0時(shí)，方程兩邊同除以－C，得＋＝1； ③化為截距式：＋＝1. 由于直線方程的斜截式和截距式是唯一的，而兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式不唯一，因此，通常情況下，一般式不化為兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式． 利用兩點(diǎn)式求直線方程 [例1]　三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A(－1,0

64、)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三邊所在直線的方程． [解]　由兩點(diǎn)式，直線AB所在直線方程為：＝，即x＋4y＋1＝0. 同理，直線BC所在直線方程為： ＝，即2x＋y－5＝0. 直線AC所在直線方程為： ＝，即3x－2y＋3＝0. [類題通法] 求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn) (1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程． (2)由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會(huì)將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤．在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系． [活

65、學(xué)活用] 1．(1)若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－1)，B(2,7)，則直線l的方程為_(kāi)_______． (2)若點(diǎn)P(3，m)在過(guò)點(diǎn)A(2，－1)，B(－3,4)的直線上，則m＝________. 解析：(1)由于點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，所以直線l沒(méi)有兩點(diǎn)式方程，所求的直線方程為x＝2. (2)由兩點(diǎn)式方程得，過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線方程為＝，即x＋y－1＝0.又點(diǎn)P(3，m)在直線AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2. 答案：(1)x＝2　(2)－2 直線的截距式方程及應(yīng)用 [例2]　直線l過(guò)點(diǎn)P(，2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)當(dāng)

66、△AOB的周長(zhǎng)為12時(shí)，求直線l的方程． (2)當(dāng)△AOB的面積為6時(shí)，求直線l的方程． [解]　(1)設(shè)直線l的方程為 ＋＝1(a＞0，b＞0)， 由題意知，a＋b＋＝12. 又因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)P(，2)， 所以＋＝1，即5a2－32a＋48＝0， 解得 所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0 或15x＋8y－36＝0. (2)設(shè)直線l的方程為＋＝1(a＞0，b＞0)， 由題意知，ab＝12，＋＝1， 消去b，得a2－6a＋8＝0， 解得 所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. [類題通法] 用截距式方程解決問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)及注意事項(xiàng) (1)由截距式方程可直接確定直線與x軸和y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，因此用截距式畫(huà)直線比較方便． (2)在解決與截距有關(guān)或直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、周長(zhǎng)等問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常使用截距式． (3)但當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時(shí)，有一個(gè)截距不存在；當(dāng)直線通過(guò)原點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)截距均為零．在這兩種情況下都不能用截距式，故解決問(wèn)題過(guò)程中要注意分類討論． [活學(xué)活用] 2．求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2,2)，并且和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是1的