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1、2022高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元檢測(cè) 新人教B版選修2-2
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.若,則f′(x0)等于( ).
A. B. C.1 D.-1
2.等于( ).
A.-2ln 2 B.2ln 2 C.-ln 2 D.ln 2
3.若對(duì)于任意x,有f′(x)=4x3,f(1)=3,則此函數(shù)的解析式為( ).
A.f(x)=x4-1
B.f(x)=x4-2
C.f(x)=x4+1
D.f(x)=x4+2
4
2、.拋物線在點(diǎn)Q(2,1)處的切線方程為( ).
A.-x+y+1=0
B.x+y-3=0
C.x-y+1=0
D.x+y-1=0
5.函數(shù)f(x)=x3-2x+3的圖象在x=1處的切線與圓x2+y2=8的位置關(guān)系是( ).
A.相切
B.相交且過圓心
C.相交但不過圓心
D.相離
6.若(2x-3x2)dx=0,則k等于( ).
A.0 B.1 C.0或1 D.以上都不對(duì)
7.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則a的取值范圍為( ).
A.-1<a<2
B.-3<a<6
C.a(chǎn)<-1或a>2
D.
3、a<-3或a>6
8.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,下列數(shù)值排序正確的是( ).
A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2)
B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2)
C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2)
D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3)
9.已知點(diǎn)P在曲線上,α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角,則α的取值范圍是( ).
A. B.
C. D.
10.若曲線在點(diǎn)(a,)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18,則a等于( ).
A.64 B.32
C.16 D.8
4、二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上)
11.經(jīng)過點(diǎn)(2,0)且與曲線相切的直線方程為____________.
12.三次函數(shù)f(x),當(dāng)x=1時(shí)有極大值4,當(dāng)x=3時(shí)有極小值0,且函數(shù)圖象過原點(diǎn),則f(x)=__________.
13.在區(qū)間上,函數(shù)f(x)=x2+px+q與在同一點(diǎn)處取得相同的極小值,那么函數(shù)f(x)在上的最大值為__________.
14.函數(shù)y=x2(x>0)的圖象在點(diǎn)(ak,)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,其中k∈N+,若a1=16,則a1+a3+a5的值是________.
15.下列四個(gè)命題中正確的命題的
5、個(gè)數(shù)為________.
①若,則f′(0)=0;②若函數(shù)f(x)=2x2+1圖象上與點(diǎn)(1,3)鄰近的一點(diǎn)為(1+Δx,3+Δy),則;③加速度是動(dòng)點(diǎn)位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù);④曲線y=x3在(0,0)處沒有切線.
三、解答題(本大題共2小題,共25分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
16.(10分)求由曲線y=2x-x2,y=2x2-4x所圍成的封閉圖形的面積.
17.(15分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在與x=1時(shí)都取得極值.
(1)求a,b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍.
6、
參考答案
1. 答案:D 原等式可化為=-f′(x0)=1,因此f′(x0)=-1.
2. 答案:D?。絣n 4-ln 2=ln 2.
3. 答案:D f′(x)=4x3,∴f(x)=x4+k.又f(1)=3,∴k=2,∴f(x)=x4+2.
4. 答案:A ,∴,又切線過點(diǎn)Q(2,1),∴切線方程為y-1=x-2,即-x+y-1=0.
5. 答案:C 切線方程為x-y+1=0,圓心到直線的距離為,所以直線與圓相交但不過圓心.
6. 答案:C 因?yàn)?x2-x3)′=2x-3x2,
所以(2x-3x2)dx=(x2-x3)=k2-k3=0.
所以k=0或k=1.
7.
7、答案:D f′(x)=3x2+2ax+a+6,
因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值,
所以Δ=4a2-4×3×(a+6)>0,
即a2-3a-18>0.解得a>6或a<-3.
8. 答案:B f′(2),f′(3)是x分別為2,3時(shí)對(duì)應(yīng)圖象上點(diǎn)的切線的斜率,f(3)-f(2)=,∴f(3)-f(2)是圖象上x為2和3對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)連線的斜率,故選B.
9. 答案:D ∵,∴-1≤y′<0,即曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率-1≤k<0,∴-1≤tan α<0,又α[0,π),∴π≤α<π.
10. 答案:A ,∴切線斜率,切線方程是(x-a),令x=0,得,令y=0,x=3a,∴三角形的面積是S=
8、=18,解得a=64.故選A.
11. 答案:x+y-2=0 設(shè)切點(diǎn)為(x0,),則,∴x0=1,即切點(diǎn)為(1,1),斜率為-1,∴直線方程為x+y-2=0.
12. 答案:x3-6x2+9x 設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d,由題意,知
解得故f(x)=x3-6x2+9x.
13. 答案:4 由g′(x)=0得x=1.
此時(shí)g(x)=3,故函數(shù)f(x)在x=1處取極小值3,從而可求得p=-2,q=4.
故f(x)=x2-2x+4,在上的最大值為4.
14. 答案:21 y′=(x2)′=2x,∴函數(shù)y=x2(x>0)在點(diǎn)(ak,)處的切線方程為,令y=0得ak+1=ak,又
9、∵a1=16,∴a3=a2=a1=4,a5=a3=1,∴a1+a3+a5=16+4+1=21.
15. 答案:1 在x=0處無(wú)導(dǎo)數(shù),因此①不對(duì);速度是動(dòng)點(diǎn)位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),因此③不對(duì);y=x3在(0,0)處的切線方程為y=0,故④不對(duì).
16. 答案:分析:先求兩曲線的交點(diǎn),然后根據(jù)圖形,應(yīng)用定積分求面積.
解:由得x1=0,x2=2.由圖可知,所求圖形的面積為
S=(2x-x2)dx+=(2x-x2)dx-(2x2-4x)dx,因?yàn)椋?x-x2,=2x2-4x,
所以.
17. 答案:分析:由,f′(1)=0求出a,b,再由f′(x)求單調(diào)區(qū)間,對(duì)于(2)可轉(zhuǎn)化
10、為求f(x)的最大值來(lái)求解.
解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f′(x)=3x2+2ax+b,由,f′(1)=3+2a+b=0,得,b=-2.f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)變化狀態(tài)如下表:
x
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為和(1,+∞),減區(qū)間為.
(2)f(x)=x3-x2-2x+c,x[-1,2],當(dāng)時(shí),為極大值,而f(2)=2+c,則f(2)=2+c為最大值,要使f(x)<c2(x[-1,2])恒成立.只需c2>f(2)=2+c,解得c<-1或c>2.
所以c的取值范圍是c<-1或c>2.