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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題突破練15 5.3.1 空間中的平行與空間角 理
1.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC,∠A1AC=60°,AC=2AA1=4,點(diǎn)D,E分別是AA1,BC的中點(diǎn).
(1)證明:DE∥平面A1B1C;
(2)若AB=2,∠BAC=60°,求直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值.
2.(2018河南安陽(yáng)一模,理19)如圖,在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,正四面體(各條棱均相等的三棱錐)ABCD的頂點(diǎn)A,B,C分別在x軸,y軸,z軸上.
(1)
2、求證:CD∥平面OAB;
(2)求二面角C-AB-D的余弦值.
3.如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點(diǎn).
(1)證明:直線CE∥平面PAB;
(2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB-D的余弦值.
4.(2018江蘇鹽城模擬,25)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=2,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn).
(1)求異面
3、直線AC1與DM所成角的余弦值;
(2)求直線AC1與平面AD1M所成角的正弦值.
5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(1)求證:M為PB的中點(diǎn);
(2)求二面角B-PD-A的大小;
(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
6.(2018江蘇卷,22)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點(diǎn)P,Q分別為A1B1,BC的中點(diǎn).
(1)求異面直線B
4、P與AC1所成角的余弦值;
(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.
7.如圖1,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,將△BCD沿對(duì)角線BD折起到△BC'D的位置,使平面BC'D⊥平面ABD,E是BD的中點(diǎn),FA⊥平面ABD,且FA=2,如圖2.
(1)求證:FA∥平面BC'D;
(2)求平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值;
(3)在線段AD上是否存在一點(diǎn)M,使得C'M⊥平面FBC'?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
參考答案
5、
專題突破練15 空間中的平行
與空間角
1.(1)證明 取AC的中點(diǎn)F,連接DF,EF,
∵E是BC的中點(diǎn),∴EF∥AB.
∵ABC-A1B1C1是三棱柱,∴AB∥A1B1,∴EF∥A1B1,∴EF∥平面A1B1C.
∵D是AA1的中點(diǎn),∴DF∥A1C,
∴DF∥平面A1B1C.又EF∩DF=F,
∴平面DEF∥平面A1B1C,
∴DE∥平面A1B1C.
(2)解 過點(diǎn)A1作A1O⊥AC,垂足為O,連接OB,∵側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC,
∴A1O⊥平面ABC,
∴A1O⊥OB,A1O⊥OC.
∵∠A1AC=60°,AA1=2,
∴OA=1,OA1=AB=2,
6、∠OAB=60°,由余弦定理得OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos∠BAC=3,
∴OB=,∴∠AOB=90°,
∴OB⊥AC.
分別以O(shè)B,OC,OA1為x軸、y軸、z軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
由題設(shè)可得A(0,-1,0),C(0,3,0),B(,0,0),A1(0,0,),D0,-,E
設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面ABB1A1的一個(gè)法向量,則
令z1=1,則m=(1,-,1),
∴cos=,∴直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值為
2.解 (1)由AB=BC=CA,易知OA=OB=OC.設(shè)OA=a,則AB=a,A(a,0,0),B
7、(0,a,0),C(0,0,a),如圖:
設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z),則由DA=DB=DC=a,
可得(x-a)2+y2+z2=x2+(y-a)2+z2=x2+y2+(z-a)2=2a2,
解得x=y=z=a,所以=(a,a,0).
又平面OAB的一個(gè)法向量為=(0,0,a),所以=0,所以CD∥平面OAB.
(2)設(shè)F為AB的中點(diǎn),連接CF,DF,
則CF⊥AB,DF⊥AB,∠CFD為二面角C-AB-D的平面角.
由(1)知,在△CFD中,CF=DF=aa,CD=a,則由余弦定理知cos∠CFD=,
即二面角C-AB-D的余弦值為
3.(1)證明 取PA的中點(diǎn)F,連接
8、EF,BF.
因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EF∥AD,EF=AD.
由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,
又BC=AD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,CE∥BF,
又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE∥平面PAB.
(2)解 由已知得BA⊥AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,||為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).
設(shè)M(x,y,z)(0
9、ABCD所成的角為45°,
而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos<,n>|=sin 45°,,
即(x-1)2+y2-z2=0.①
又M在棱PC上,設(shè)=,則
x=λ,y=1,z=②
由①②解得
(舍去),
所以M,從而
設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則
即
所以可取m=(0,-,2).
于是cos=
因此二面角M-AB-D的余弦值為
4.解 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
∵M(jìn)(1,2,0),A(2,0,0)
10、,C1(0,2,4),
=(1,2,0),=(-2,2,4),
所以cos<>=,所以異面直線AC1與DM所成角的余弦值為
(2)=(2,0,4),設(shè)平面A1DM的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).
則取y=1,得x=-2,z=1,故平面A1DM的一個(gè)法向量為n=(-2,1,1).
于是cos=,所以直線AC1與平面A1DM所成角的正弦值為
5.(1)證明 設(shè)AC,BD交點(diǎn)為E,連接ME.
因?yàn)镻D∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,所以PD∥ME.
因?yàn)锳BCD是正方形,所以E為BD的中點(diǎn).所以M為PB的中點(diǎn).
(2)解 取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OE.
11、
因?yàn)镻A=PD,所以O(shè)P⊥AD.
又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,且OP?平面PAD,所以O(shè)P⊥平面ABCD.
因?yàn)镺E?平面ABCD,所以O(shè)P⊥OE.因?yàn)锳BCD是正方形,所以O(shè)E⊥AD.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).
設(shè)平面BDP的法向量為n=(x,y,z),則
令x=1,則y=1,z=
于是n=(1,1,),平面PAD的法向量為p=(0,1,0).
所以cos=
由題知二面角B-PD-A為銳角,所以它的大小為
(3)解 由題意知M,C(2,4,0),
設(shè)
12、直線MC與平面BDP所成角為α,
則sin α=|cos|=所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為
6.解 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,設(shè)AC,A1C1的中點(diǎn)分別為O,O1,則OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以{}為基底,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
因?yàn)锳B=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2).
(1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn),
所以P,
從而=(0,2,2),
故|cos<>|=因此,異面直線BP與AC1所成角的余弦值為
(2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn),
13、
所以Q,
因此=(0,2,2),=(0,0,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面AQC1的一個(gè)法向量,
則
即
不妨取n=(,-1,1).
設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為θ,
則sin θ=|cos<,n>|=,所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為
7.(1)證明 ∵BC'=C'D,E為BD的中點(diǎn),
∴C'E⊥BD.
又平面BC'D⊥平面ABD,且平面BC'D∩平面ABD=BD,
∴C'E⊥平面ABD.
∵FA⊥平面ABD,
∴FA∥C'E.
又C'E?平面BC'D,FA?平面BC'D,
∴FA∥平面BC'D.
(2)解 以DB所在直線為x軸,AE所在
14、直線為y軸,EC'所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),A(0,-,0),D(-1,0,0),F(0,-,2),C'(0,0,),
=(-1,-,2),=(-1,0,).設(shè)平面FBC'的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則取z=1,則m=(,1,1).
∵平面ABD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),
∴cos=
則平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值為
(3)解 假設(shè)在線段AD上存在M(x,y,z),使得C'M⊥平面FBC',設(shè)=,則(x,y+,z)=λ(-1,,0)=(-λ,,0),∴x=-λ,y=(λ-1),z=0.而=(-λ,(λ-1),-),由m,得,λ無解.∴線段AD上不存在點(diǎn)M,使得C'M⊥平面FBC'.