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1、高考數學 考點匯總 考點41 拋物線（含解析）
一、選擇題
1、（xx·安徽高考文科·Ｔ3）拋物線的準線方程是（ ）
A. B. C. D.
【解題提示】 將拋物線化為標準形式即可得出。
【解析】選A。，所以拋物線的準線方程是y=-1.
2. (xx·新課標全國卷Ⅱ高考文科數學·T10) (xx·新課標全國卷Ⅱ高考文科數學·T10)設F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點,則錯誤！未找到引用源。= ( )
A. B.6 C.12 D.
【解題提示】畫出圖形,利用拋物線的定義求解.
2、
【解析】選C.設AF=2m,BF=2n,F.則由拋物線的定義和直角三角形知識可得,
2m=2·+m,2n=2·-n,解得m= (2+),n= (2-),所以m+n=6.
AB=AF+BF=2m+2n=12.故選C.
3. (xx·新課標全國卷Ⅱ高考理科數學·T10)設F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點,O為坐標原點,則△OAB的面積為( )
A. B. C. D.
【解題提示】將三角形OAB的面積通過焦點“一分為二”,設出AF,BF,利用拋物線的定義求得面積.
【解析】選D.設點A,B分別在第一和第四象限,AF=2
3、m,BF=2n,則由拋物線的定義和直角三角形知識可得,2m=2·+m,2n=2·-n,解得m= (2+),n= (2-),所以m+n=6.所以
S△OAB=·(m+n)=.故選D.
4. （xx·四川高考理科·Ｔ10）已知F為拋物線的焦點，點A，B在該拋物線上且位于軸的兩側，（其中O為坐標原點），則與面積之和的最小值是（ ）
A. 2 B.3 C. D.
【解題提示】 設AB方程：聯立結合求出m
求的最小值
【解析】選B. 可設直線AB的方程為：，點，，又，則直線AB與軸的交點，由，所以，又，因為點，在該拋物線上且位于軸的兩側，所以，故，于是=，當且僅當時取“
4、”，
所以與面積之和的最小值是.
5. （xx·四川高考文科·Ｔ10）與（xx·四川高考理科·Ｔ10）相同
已知F為拋物線的焦點，點A，B在該拋物線上且位于軸的兩側，（其中O為坐標原點），則與面積之和的最小值是（ ）
A. 2 B.3 C. D.
【解題提示】 設AB方程：聯立結合求出m
求的最小值
【解析】選B.可設直線AB的方程為：，點，，又，則直線AB與軸的交點，由，所以，又，因為點，在該拋物線上且位于軸的兩側，所以，故，于是=，當且僅當時取“”，
所以與面積之和的最小值是.
6. （xx·遼寧高考理科·Ｔ10）已知點在拋物線的準線上,過點的直線與
5、在第一象限相切于點,記的焦點為,則直線的斜率為
【解題提示】由拋物線的定義知的值，也就確定了拋物線的方程和焦點坐標；進而結合導數的幾何意義求出切點Ｂ的坐標，利用直線的斜率公式求出直線的斜率
【解析】選Ｄ.
根據已知條件得，所以從而拋物線方程為，其焦點．
設切點，由題意，在第一象限內．由導數的幾何意義可知切線的斜率為，而切線的斜率也可以為
又因為切點在曲線上，所以．由上述條件解得．
即．從而直線的斜率為．
二、填空題
7. （xx·湖南高考理科·Ｔ15）如圖，
正方形的邊長分別為，原點為的中點，拋物線經過
【解題提示】有正方形的邊長給出點C,F的坐標帶入
6、拋物線方程求解。
【解析】由題可得，，則。
答案: 3.
8. （xx·上海高考理科·Ｔ4）
【解題提示】先求出橢圓的右焦點坐標，從而求出p的值，即得拋物線的準線方程.
【解析】根據橢圓的右焦點坐標F(2，0)得p=4,所以拋物線的準線方程為x=-2.
答案：x=-2.
9. （xx·山東高考文科·Ｔ15）
已知雙曲線的焦距為，右頂點為，拋物線的焦點為，若雙曲線截拋物線的準線所得線段長為，且，則雙曲線的漸近線方程為.
【解題指南】本題考查了雙曲線知識，利用雙曲線與拋物線的交點為突破口求出a,b之間的關系，進而求得雙曲線的漸近線方程.
【解析】 由題意知，
拋
7、物線準線與雙曲線的一個交點坐標為，
即代入雙曲線方程為，得，
漸近線方程為，.
答案：
10.(xx·陜西高考文科·T11)拋物線y2=4x的準線方程為 .
【解題指南】根據拋物線y2=2px的準線方程為x=-可以得到所求準線方程.
【解析】根據拋物線的幾何性質得拋物線y2=4x的準線方程為x=-1.
答案:x=-1
三、解答題
11.（xx·福建高考文科·Ｔ21）21．（本小題滿分12分）
已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.
（1） 求曲線的方程；
（2） 曲線在點處的切線與軸交于點.直線分別與直線及軸交于點，以為直徑作圓，過點作圓的切線，切
8、點為，試探究：當點在曲線上運動（點與原點不重合）時，線段的長度是否發(fā)生變化？證明你的結論.
【解題指南】（1）由題意曲線符合拋物線的定義，直接寫出曲線方程．（2）利用點P的坐標表示直線的方程，求出點A，點M的坐標，進而求出圓C的圓心和半徑，表示出AB的長，經過計算為定值．
【解析】.方法一（1）設為曲線上任意一點，
依題意，點S到的距離與它到直線的距離相等，
所以曲線是以點為焦點，直線為準線的拋物線，
所以曲線的方程為.
（2）當點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變，證明如下：
由（1）知拋物線的方程為，
設，則，
由，得切線的斜率，
所以切線的方程為，即.
由，得.
9、
由，得.
又，所以圓心，
半徑，
.
所以點P在曲線上運動時，線段AB的長度不變.
方法二：
（1）設為曲線上任意一點，
則，
依題意，點只能在直線的上方，所以，
所以，
化簡得，曲線的方程為.
（2）同方法一.
P
B
A
M
F
y
x
0
12. （xx·浙江高考文科·Ｔ22）已知的三個頂點在拋物線C：上，F為拋物線C的焦點，點M為AB的中點，；
（1）若，求點M的坐標；
（2）求面積的最大值.
【解題提示】（1）根據拋物線的定義，利用條件|PF|=3，求建立方程關系即可求點M的坐標；
（2）設直線AB的方程為y=kx+m，利用直線和
10、拋物線聯立結合弦長公式公式以及點到直線的距離公式，利用導數即可求出三角形面積的最值．
【解析】（1）由題意知焦點，準線方程為，
設，由拋物線的定義可知，解得，所以，即或由，得或。
（2）設直線AB的方程為，，，
由得，
于是
即AB的中點M的坐標為（2k，2k2+m）
由，得
解得，由，得，
由△＞0，k＞0得，
又因為，
點F到直線AB的距離，
所以，
設，
則令=0，解得，
于是f（m）在是增函數，在上是減函數，在上是增函數，
又，
所以當時，f（m）取得最大值，此時，
∴△ABP面積的最大值為．
13.(xx·陜西高考理科·T20)(本小題滿分13
11、分)
如圖,曲線C由上半橢圓C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分拋物線C2:y=-x2+1(y≤0)連接而成,C1,C2的公共點為A,B,其中C1的離心率為.
(1)求a,b的值.
(2)過點B的直線l與C1,C2分別交于P,Q(均異于點A,B),若AP⊥AQ,求直線l的方程.
【解題指南】(1)在C1,C2的方程中,令y=0可得b值,再利用橢圓中a,b,c的關系及離心率求得a值.(2)利用直線與圓錐曲線的位置關系分別用直線l與C1,C2的方程聯立,求得點P,Q的坐標,結合條件AP⊥AQ,求直線l的方程.
【解析】(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,
12、0),B(1,0)是上半橢圓C1的左右頂點.
設C1的半焦距為c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.
所以a=2,b=1.
(2)由(1)知,上半橢圓C1的方程為+x2=1(y≥0).
易知,直線l與x軸不重合也不垂直,設其方程為y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0. (*)
設點P的坐標為(xp,yp),
因為直線l過點B,所以x=1是方程(*)的一個根,
由求根公式,得xp=,從而yp=,
所以點P的坐標為.
同理,由得Q點的坐標為(-k-1,-k2-2k).
所以=(k,-4),=-k(1,k+2).
因為AP⊥AQ,所以·=0,即[k-4(k+2)]=0,
因為k≠0,所以k-4(k+2)=0,解得k=-.
經檢驗,k=-符合題意,
故直線l的方程為y=-(x-1).
高考數學 考點匯總 考點41 拋物線（含解析）
