2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 第6課時(shí) 橢圓(二)練習(xí) 理
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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 第6課時(shí) 橢圓(二)練習(xí) 理 1.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)為M(1,-1),則E的方程為( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案 D 解析 kAB==,kOM=-1,由kAB·kOM=-,得=,∴a2=2b2.∵c=3,∴a2=18,b2=9,橢圓E的方程為+=1. 2.(2018·南昌二模)已知橢圓:+x2=1,過(guò)點(diǎn)P(,)的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),且弦AB被點(diǎn)P平分,則直線AB的方程為( ) A.9x-y-4=0
2、B.9x+y-5=0 C.2x+y-2=0 D.x+y-5=0 答案 B 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)锳,B在橢圓+x2=1上,所以兩式相減得+x12-x22=0,得+(x1-x2)(x1+x2)=0,又弦AB被點(diǎn)P(,)平分,所以x1+x2=1,y1+y2=1,將其代入上式得+x1-x2=0,得=-9,即直線AB的斜率為-9,所以直線AB的方程為y-=-9(x-),即9x+y-5=0. 3.橢圓+=1上的點(diǎn)到直線x+2y-=0的最大距離是( ) A.3 B. C.2 D. 答案 D 解析 設(shè)橢圓+=1上的點(diǎn)P(4cosθ,2sinθ),則點(diǎn)P
3、到直線x+2y-=0的距離為d==,∴dmax==. 4.(2018·廣東梅州階段測(cè)評(píng))已知橢圓E:+=1的一個(gè)頂點(diǎn)C(0,-2),直線l與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),若E的左焦點(diǎn)F1為△ABC的重心,則直線l的方程為( ) A.6x-5y-14=0 B.6x-5y+14=0 C.6x+5y+14=0 D.6x+5y-14=0 答案 B 解析 由題意知F1(-1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則∴① 設(shè)M為AB的中點(diǎn),則M(-,1). 由作差得+=0, 將①代入上式得=. 即k=,由點(diǎn)斜式得,直線方程為y-1=(x+),即6x-5y+14=0. 5.(
4、2018·廣西南寧、梧州摸底聯(lián)考)已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過(guò)F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),直線AF2與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C,若S△ABC=3S△BCF2,則橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),將x=-c代入橢圓方程得y=±.設(shè)A(-c,),C(x,y),由S△ABC=3S△BCF2,可得=2,即有(2c,-)=2(x-c,y),即2c=2x-2c,-=2y,可得x=2c,y=-,代入橢圓方程可得+=1.由e=,b2=a2-c2,得4e2+-e2=1
5、,解得e=,故選A. 6.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線與C相交于A,B兩點(diǎn).若向量=3,則k=( ) A.1 B. C. D.2 答案 B 解析 設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).因?yàn)椋?,故y1=-3y2.因?yàn)閑=,設(shè)a=2t,c=t,b=t,故x2+4y2-4t2=0,直線AB的方程為x=sy+t.代入消去x,所以(s2+4)y2+2sty-t2=0,所以y1+y2=-,y1y2=-,-2y2=-,-3y22=-,解得s2=,又k=,則k=.故選B. 7.已知直線l:y=k(x+2)與橢圓x2+9y2=9交于A
6、,B兩點(diǎn),若|AB|=2,則k=________. 答案 ± 解析 橢圓x2+9y2=9即橢圓+y2=1,所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0).因?yàn)橹本€y=k(x+2),所以直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F(-2,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將直線y=k(x+2)代入橢圓x2+9y2=9,可得(1+9k2)x2+36k2x+72k2-9=0,所以x1+x2=-,x1x2=,所以|AB|=·=,因?yàn)閨AB|=2,所以=2,所以k=±. 8.直線m與橢圓+y2=1交于P1,P2兩點(diǎn),線段P1P2的中點(diǎn)為P,設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0),直線OP的斜率為k2,則k1k2的值為_______
7、_. 答案?。? 解析 由點(diǎn)差法可求出k1=-·, ∴k1·=-,即k1k2=-. 9.(2018·河北唐山期末)設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),經(jīng)過(guò)F1的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若△F2AB是面積為4的等邊三角形,則橢圓C的方程為________. 答案?。? 解析 由△F2AB是面積為4的等邊三角形知AB垂直x軸,得=×2c,×2c×=4,a2=b2+c2,解得a2=9,b2=6,c2=3.所以的橢圓方程為+=1. 10.橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y=(x+c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2=2
8、∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于________.
答案?。?
解析 由直線y=(x+c)知其傾斜角為60°,
由題意知∠MF1F2=60°,則∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°.
故|MF1|=c,|MF2|=c.
又|MF1|+|MF2|=2a,∴(+1)c=2a.
即e==-1.
11.已知橢圓+=1(0 9、∴|AB|≥2,|AB|min===2,解得m=3.
12.(2018·衡水中學(xué)調(diào)研卷)過(guò)橢圓+y2=1的左焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G,則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍為________.
答案 (-,0)
解析 設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0),代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,Δ=(4k2)2-4(1+2k2)×(2k2-2)=k2+1>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為N(x0,y0),則x1+x2=-,y1+y2=,∴AB的垂直平分線NG的方程為y-y0=-(x-x0) 10、.令y=0,得xG=x0+ky0=-+=-=-+.∵k≠0,∴- 11、理得a2+b2=2a2b2,a2+a2-c2=2a2(a2-c2),
2a2-a2e2=2a2(a2-a2e2),2a2==1+,
∵e∈[,],∴2a2∈[,5],即amax==.
14.已知橢圓C:+=1,過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P(1,)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA,PB,分別交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求直線AB的斜率.
答案
解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),同時(shí)設(shè)PA的方程為y-=k(x-1),代入橢圓方程化簡(jiǎn)得(k2+2)x2-2k(k-)x+k2-2k-2=0,顯然1和x1是這個(gè)方程的兩解.因此x1=,y1=,由-k代替x1,y1中的k,得x2=,y2=,所以=.
15. 12、設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1的直線l與E相交于A,B兩點(diǎn),且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列.
(1)求|AB|;
(2)若直線l的斜率為1,求實(shí)數(shù)b的值.
答案 (1) (2)
解析 (1)由橢圓定義知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,
又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=.
(2)l的方程為y=x+c,其中c=.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組
化簡(jiǎn),得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.
則x1+x2=,x1x2=.
因?yàn)橹本€AB的斜率為1,所以|AB|=|x 13、2-x1|.
即=|x2-x1|.
則=(x1+x2)2-4x1x2=-=,解得b=.
16.(2018·廣東六校聯(lián)盟二聯(lián))已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0),直線y=kx與橢圓交于A,B兩點(diǎn).
(1)若△AF1F2的周長(zhǎng)為4+6,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若|k|>,且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),求橢圓離心率e的取值范圍.
答案 (1)+=1 (2) 14、
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=0,x1x2=,易知,AF2⊥BF2.
因?yàn)椋?x1-3,y1),=(x2-3,y2),
所以·=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0,
即+9=0,
將其整理為k2==-1-.
因?yàn)閨k|>,所以12 15、B面積的最大值.
答案 (1)+y2=1 (2)
解析 (1)根據(jù)題意得解得
所以橢圓E的方程為+y2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立化簡(jiǎn)得3x2+4mx+2m2-2=0.
∵直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
∴Δ=(4m)2-12(2m2-2)>0,
即- 16、,
當(dāng)m2=,即m=±∈(-,)時(shí)等號(hào)成立.
∴S△TABmax=.
1.由橢圓b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的頂點(diǎn)B(0,-b)引一條弦BP,當(dāng)a≥b時(shí),|BP|的最大值為( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 設(shè)P(x,y),因?yàn)閤2=a2-y2(-b 17、,] B.[,]
C.[,1] D.[,2]
答案 A
解析 由題易知A1(-2,0),A2(2,0),設(shè)P(x,y),直線PA1,PA2的斜率分別為k1,k2,則k1k2=·===-,所以k1=-×.因?yàn)閗2∈[-2,-1],所以k1∈[,],故選A.
3.已知橢圓具有如下性質(zhì):若橢圓的方程為+=1(a>b>0),則橢圓在其上一點(diǎn)A(x0,y0)處的切線方程為+=1.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題,橢圓C1:+=1(a>b>0),其焦距為2,且過(guò)點(diǎn)(1,),點(diǎn)B為C1在第一象限中的任意一點(diǎn),過(guò)B作C1的切線l,l分別與x軸和y軸的正半軸交于C,D兩點(diǎn),則△OCD面積的最小值為( 18、)
A. B.
C. D.2
答案 B
解析 由題意可得2c=2,即c=1,a2-b2=1,將點(diǎn)(1,)代入橢圓方程,可得+=1,解得a=,b=1,即橢圓的方程為+y2=1,設(shè)B(x2,y2),則橢圓C1在點(diǎn)B處的切線方程為x+y2y=1,令x=0,得yD=,令y=0,可得xC=,所以S△OCD=··=,又點(diǎn)B為橢圓在第一象限上的點(diǎn),所以x2>0,y2>0,+y22=1,即有==+≥2=,即S△OCD≥,當(dāng)且僅當(dāng)=y(tǒng)22=,即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,)時(shí),△OCD面積取得最小值,故選B.
4.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)A(2,0),離心率為,直線y=k(x-1)與橢 19、圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí),求實(shí)數(shù)k的值.
答案 (1)+=1 (2)k=±1
解析 (1)∵a=2,e==,∴c=,b=.
橢圓C:+=1.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則由消y,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
∵直線y=k(x-1)恒過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)(1,0),
∴Δ>0恒成立.
由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=,x1x2=.
S△AMN=×1×|y1-y2|=×|kx1-kx2|
===.
即7k4-2k2-5=0,解得k=±1.
5.(2018·河北保定期末)已知橢圓C:+=1( 20、a>b>0)的右焦點(diǎn)為(1,0),離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線m與C交于A,B兩點(diǎn),若A是PB的中點(diǎn),求直線m的方程.
答案 (1)+=1 (2)y=-x+3或y=x+3
解析 (1)橢圓C:+=1(a>b>0)的焦點(diǎn)在x軸上,右焦點(diǎn)為(1,0),則c=1,
由橢圓的離心率e==,得b2=a2-c2=3,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)若直線m的斜率不存在,可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,-),顯然不滿足條件,故此時(shí)方程不存在.
若直線m的斜率存在,
設(shè)其方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),
∵A 21、是PB的中點(diǎn),∴x1=,①
y1=,②
+=1,③
+=1,④
聯(lián)立①②③④,解得或即
點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(-2,0),
∴直線m的斜率為-或,則
直線m的方程為y=-x+3或y=x+3.
6.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)是F1(0,-1),離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)F1作直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),F(xiàn)2是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn),求S△ABF2的取值范圍.
答案 (1)+=1 (2)(0,]
解析 (1)由條件可設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),則有c=1,e=,∴b==,
∴所求橢圓的方程是+=1.
(2)由條件設(shè)直線AB的方程為y+1=kx 22、.
將y=kx-1代入橢圓方程,得(2k2+3)x2-4kx-4=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Δ=16k2+16(2k2+3)=48(k2+1)>0,
x1+x2=,x1x2=.
S△ABF2=|F1F2||x1-x2|=|x1-x2|.
(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+=.
令t=k2+1,則t≥1,設(shè)g(t)==4t++4.
∵g′(t)=4-=,
當(dāng)t≥1時(shí),g′(t)≥0,
∴g(t)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(t)≥g(1)=9,∴0<≤=,
∴0 23、,橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且離心率是,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的任一直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),且|NF2|+|MF2|=4.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且與圓x2+y2=1相切.
(ⅰ)求證:m2=k2+1;
(ⅱ)求·的最小值.
答案 (1)+=1 (2)(ⅰ)略 (ⅱ)-
解析 (1)設(shè)M(x,y)是橢圓上任一點(diǎn),則N(-x,-y),∵|NF2|+|MF2|=4,∴+=4,即+=4,
∴M(x,y)到點(diǎn)(c,0),(-c,0)的距離和為4,∴2a=4,a=2.
又∵橢圓C的離心率是,∴c=1,b=,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1.
(2)(ⅰ)證明:∵直線l:y=kx+m與圓x2+y2=1相切,∴圓心(0,0)到直線l的距離等于半徑1,即=1?m2=k2+1.
(ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.
∴·=x1x2+y1y2=+=.
∵m2=k2+1,∴·=x1x2+y1y2==-=-(+).
∴當(dāng)k2=0時(shí),·有最小值-.
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