2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(含解析) (I)

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1、2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(含解析) (I) 一、選擇題（本大題共12題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上相應(yīng)的填涂） 1.1.設(shè)集合，集合，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解集合A得集合A的解集，根據(jù)并集運(yùn)算求解即可。 【詳解】解不等式得集合 集合 則 所以選D 【點(diǎn)睛】本題考查了并集的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。 2.2.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 故選A。

2、 3.3.已知向量， 滿足 ， ，且 ，則 （　?。? A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 將化為，根據(jù)向量的模和數(shù)量積代入求解即可。 【詳解】 所以選B 【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積、及模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。 4.4.若某多面體的三視圖（單位：）如圖所示，則此多面體的體積是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由三視圖可知該幾何體為上部是一個(gè)平放的五棱柱，其高為，側(cè)視圖為其底面， 底面多邊形可看作是邊長(zhǎng)為的正方形截去一個(gè)直角邊為的等腰直角三角形而得到，

3、 其面積為，所以幾何體的體積為，故選A． 點(diǎn)睛：在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線．在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮．求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解． 5.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為1，則輸入的值為（ ） A. -2或-1或3 B. 2或-2 C. 3或-1 D. 3或-2 【答案】D 【

4、解析】 【分析】 根據(jù)逆運(yùn)算，倒推回求x的值，根據(jù)x的范圍取舍即可。 【詳解】因?yàn)? 所以 ，解得 ，因?yàn)?不成立，所以-2是輸入的x的值； ，即 ，解得想=3或x=-1，因?yàn)橹挥?成立，所以x的值為3. 綜上，x的值為 或3 所以選D 【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，通過結(jié)果反求輸入的值，屬于基礎(chǔ)題。 6.6.已知命題：，；命題：，，則下列命題中為真命題的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，，故為假命題，為真命題.因?yàn)?，，所以命題：，為假命題，所以為真命題，則為真命題，故選A． 7.7.正方體ABCD

5、－A1B1C1D1中，E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，則直線A1D與直線C1E所成的角等于 (　　) A. 60° B. 90° C. 30° D. 隨點(diǎn)E的位置而變化 【答案】B 【解析】 ∵A1D⊥AB，A1D⊥AD1，， ∴A1D⊥平面AD1C1B， 又平面AD1C1B， ∴A1D⊥C1E． ∴直線A1D與直線C1E所成的角等于90°．選B． 8.8.要得到函數(shù)的圖像，只需將的圖像（?。? A. 向右平移個(gè)單位 B. 向右平移個(gè)單位 C. 向左平移個(gè)單位 D. 向左平移個(gè)單位 【答案】D 【解析】 ． 根據(jù)左加右減的原則，要得到函數(shù)y=2s

6、in2x的圖象只要將的圖象向左平移個(gè)單位 故選：D． 點(diǎn)睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言. 9.9.設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ） A. B. 6 C. 10 D. 17 【答案】B 【解析】 試題分析：可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點(diǎn)B時(shí)取最小值6，選B. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃 視頻 10.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【

7、解析】 時(shí)， 化為： 時(shí)，，解得 ∴數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，,公比為2． 故選B. 【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，解題時(shí)應(yīng)注意. 11.11.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)， 是雙曲線左支上一點(diǎn)， 是的中點(diǎn)，且， ，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)各個(gè)邊長(zhǎng)關(guān)系，判斷出；根據(jù)勾股定理求出離心率。 【詳解】因?yàn)镸是 中點(diǎn)，O為 的中點(diǎn)，所以O(shè)M為三角形F1PF2的中位線 因?yàn)?，所? 又因?yàn)?，， 所以 在△F1P

8、F2中， 所以 代入得 所以 ，即 所以選C 【點(diǎn)睛】本題考查了平面幾何知識(shí)在圓錐曲線中的基本應(yīng)用，根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系求得離心率，屬于基礎(chǔ)題。 12.12.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),若對(duì)于都有且當(dāng)時(shí), 則的值為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性，求得的值。 【詳解】因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù),所以 所以 又因?yàn)?，即周期T=2 = 函數(shù) 得=1所以選C 【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，周期性與奇偶性是函數(shù)重要的基本性質(zhì)，要熟練掌握，屬于基礎(chǔ)題。 二、填空題（本大題共4小題，每

9、小題5分，共20分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上相應(yīng)的位置上） 13.13.在△ABC中三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，如果a=8，，，那么b等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)三角形內(nèi)角和，求得角A，由正弦定理求的b的值。 【詳解】 由正弦定理 ，代入得 【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。 14.14.小明一家想從北京、濟(jì)南、上海、廣州四個(gè)城市中任選三個(gè)城市作為xx暑假期間的旅游目的地,則濟(jì)南被選入的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求解即可。 【詳解】四個(gè)城市任選三個(gè)城市選擇方法有 ；其

10、中有濟(jì)南入選，從另外三個(gè)城市選兩個(gè)，則有 種選法 根據(jù)組合數(shù)計(jì)算公式得 【點(diǎn)睛】本題考查了組合數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。 15.15.已知?jiǎng)狱c(diǎn) (其中)到x軸的距離比它到點(diǎn)F(0,1)的距離少1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由定義，判斷出該曲線為拋物線；根據(jù)拋物線定義求得準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。 【詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到x軸的距離比它到點(diǎn)F(0,1)的距離少1 所以動(dòng)點(diǎn)到 的距離與它到點(diǎn)F(0,1)的距離相等，根據(jù)定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為拋物線，且F(0,1)為焦點(diǎn) 則 ，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線

11、定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用，關(guān)鍵是要把距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬于中檔題。 16.16.以下關(guān)于圓錐曲線的個(gè)命題中： （）方程的兩實(shí)根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率； （）設(shè)，為平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支； （）方程表示橢圓，則的取值范圍是； （）雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)． 其中真命題的序號(hào)為___________（寫出所有真命題的序號(hào)）． 【答案】（）（）（） 【解析】 （）中的兩實(shí)根為和，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，正確． （）中，由雙曲線定義動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差是定值，且定值小于兩定點(diǎn)距離。知（）正確． （）中，，且，故的取值范圍為，（）錯(cuò)誤． （）中，雙曲線和

12、橢圓焦點(diǎn)都為．，（）正確． 故正確的選項(xiàng)為（）（）（）。 點(diǎn)睛：這個(gè)題目的綜合性較強(qiáng)，首先明確橢圓離心率是介于 之間的而雙曲線是大于1 的；再就是考查雙曲線的課本定義；第三個(gè)根據(jù)橢圓的基本方程得到且，第四個(gè)根據(jù)各自的基本量的關(guān)系得到焦點(diǎn)坐標(biāo)。 三、解答題（本大題共6小題，17小題10分，其余每小題12分，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程，并在答題卡上相應(yīng)的位置作答） 17.17.A、B、C為△ABC的三內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為a、b、c，若 ,，且·＝ （Ⅰ）求角A的大?。? （Ⅱ）若，三角形面積，求b+c的值 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4 【解析】 【分析】 （Ⅰ）

13、根據(jù)向量坐標(biāo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示和·＝，再根據(jù)半角公式求得角A的值。 （Ⅱ）根據(jù)三角形面積公式和余弦定理，求得b+c的值。 【詳解】（Ⅰ）∵,，且·＝ ∴－cos2＋sin2＝， 即－cosA＝，又A∈（0，π）， ∴A＝π （Ⅱ）S△ABC＝bc·sinA＝b·c·sinπ＝ ∴bc＝4, 又由余弦定理得：a2=b2+c2－2bc·cosπ＝b2+c2+bc ∴16＝（b+c）2，故b+c＝4 【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，余弦定理及三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題。 18.18.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，若，，成等比數(shù)列． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ

14、）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比中項(xiàng)定義，求得數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。 （Ⅱ）將數(shù)列{}的通項(xiàng)公式帶入，根據(jù)裂項(xiàng)法求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和。 【詳解】（Ⅰ）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等差數(shù)列，所以設(shè)， 因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以， ， 解得，于是． （Ⅱ）， =， ． 【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)的定義，裂項(xiàng)法在求和中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。 19.19.如圖，三棱柱中，⊥面，， ，D為AC的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：面BD；

15、（Ⅱ）求二面角的余弦值； 【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）連接B1C，與BC1相交于O，連接OD．根據(jù)三角形的中位線定理判定線面平行。 （Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求得面BDC1的一個(gè)法向量和面ABC的一個(gè)法向量，利用法向量求面面夾角，并判斷二面角的大小。 【詳解】（I）證明：連接B1C，與BC1相交于O，連接OD． ∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中點(diǎn)． 又D是AC的中點(diǎn)，∴OD//AB1． ∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1． （II）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 則C

16、1（0，0，0），B（0，3，2）， C（0，3，0），A（2，3，0）D（1，3，0）， ，， 設(shè)是面BDC1的一個(gè)法向量，則 即，取. 易知是面ABC的一個(gè)法向量. . ∴二面角C1—BD—C的余弦值為. 【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何線面平行的判定，利用法向量求二面角的夾角，關(guān)鍵注意最后求得的二面角的正負(fù)，屬于中檔題。 20.20.已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,短軸長(zhǎng)為,離心率為. （1）求橢圓的方程; （2）設(shè)是橢圓長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn). 求證: 為定值. 【答案】（1）橢圓的方程為；（2）見解析. 【解析】

17、試題分析：（Ⅰ）由短軸長(zhǎng)和離心率可得的值，故而可得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)，由直線的斜率，可得直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可證明. 試題解析：（Ⅰ）依題意知 由得, 所以橢圓的方程為. （Ⅱ）設(shè)直線的方程為,,則 由消去知： 則，而 所以 為定值. 點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題；“設(shè)而不求，整體代換”是重中之重，計(jì)算量偏大. 21.21.已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過點(diǎn). （1）求雙曲線的方程； （2）已知

18、雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，直線經(jīng)過，傾斜角為，與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的面積. 【答案】（1）（2） 【解析】 試題分析：（1）由題易知，雙曲線方程為；（2）直線的方程為，由弦長(zhǎng)公式得，，所以 試題解析： （1）設(shè)所求雙曲線方程為 代入點(diǎn)得，即 所以雙曲線方程為，即. （2）.直線的方程為.設(shè) 聯(lián)立得 滿足 由弦長(zhǎng)公式得 點(diǎn)到直線的距離. 所以 22.22.設(shè)， ． （Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程． （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． （Ⅲ）求的取值范圍，使得對(duì)任意成立． 【答案】（Ⅰ）y=x﹣1（Ⅱ）1（Ⅲ）0＜a＜e 【解析】 【分析】 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)

19、導(dǎo)數(shù)定義求得為斜率k，再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得切線方程。 （Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間。 （Ⅲ）由不等式，化為關(guān)于a的不等式，利用函數(shù)關(guān)系求得a的取值范圍。 【詳解】（Ⅰ）∵f（x）=lnx， ∴f′（x）=，f′（1）=，f（1）=0， ∴f（x）=lnx在點(diǎn)（1，f（1））的切線方程為y﹣0=（x﹣1）， 即y=x﹣1； （Ⅱ）g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+的定義域?yàn)椋?，+∞）， g′（x）=﹣=， 故g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)； 故gmin（x）=g（1）=0+1=1； （Ⅲ）g（a）﹣g（x）＜對(duì)任意x＞0成立可化為g（a）﹣＜g（x）對(duì)任意x＞0成立， 故g（a）﹣＜1； 即lna+﹣＜1， 故lna＜1， 故0＜a＜e． 【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、單調(diào)區(qū)間，解含參數(shù)的不等式，屬于中檔題。