2022高考數(shù)學“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題3 概率與統(tǒng)計 第5講 概率與統(tǒng)計學案 文

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1、2022高考數(shù)學“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題3 概率與統(tǒng)計 第5講 概率與統(tǒng)計學案 文 熱點題型 真題統(tǒng)計 命題規(guī)律 題型1：抽樣方法、統(tǒng)計圖表的判讀及用樣本估計總體 2018全國卷ⅠT3；2018全國卷ⅢT14；2017全國卷ⅠT19 2016全國卷ⅠT19；2014全國卷ⅠT18 1.高考對這部分內容的考查是“一小一大”或“一大”. 2.統(tǒng)計中的“一小”，是高考創(chuàng)新的基地，與實際生活密切相關，令人耳目一新. 3.解答題多出現(xiàn)在18或19題的位置，重點考查用頻率估計概率、頻率分布直方圖、折線圖、莖葉圖、回歸分析和獨立性檢驗. 題型2：變量的相關性(回歸分析)、獨立

2、性檢驗 2018全國卷ⅡT18；2018全國卷ⅢT18；2017全國卷ⅡT19 2016全國卷ⅢT18；2015全國卷ⅠT19 題型3：概率與統(tǒng)計的綜合問題 2018全國卷ⅠT19；2017全國卷ⅢT18；2016全國卷ⅡT18 2015全國卷ⅡT18；2014全國卷ⅡT19 1．頻率分布直方圖中橫坐標表示組距，縱坐標表示，頻率＝組距×. 2．頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1. 3．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)，在頻率分布直方圖中： (1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)； (2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和均為0.5； (3)平均數(shù)是頻率

3、分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和． 4．樣本的數(shù)字特征 (1)樣本平均數(shù)＝(x1＋x2＋…＋xn)． (2)樣本方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝(x＋x＋…＋x)－2. (3)樣本標準差s＝ ＝. (4)若x1，x2，x3，…xn的平均數(shù)為，方差為σ2，則ax1＋b；ax2＋b；ax3＋b…axn＋b的平均數(shù)為a＋b，方差為a2σ2. ■高考考法示例· 【例1】　(1)為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(單位：℃)制成如圖2-3-1所示

4、的莖葉圖．考慮以下結論： 圖2-3-1 ①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫； ②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫； ③甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差； ④甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差． 其中根據莖葉圖能得到的統(tǒng)計結論的編號為(　　) A．①③　　　B．①④　　　C．②③　　　D．②④ (2)(2018·全國卷Ⅲ)某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最

5、合適的抽樣方法是________． (3)(2018·合肥模擬)某電子商務公司對10 000名網絡購物者2017年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內，其頻率分布直方圖如圖2-3-2所示． 圖2-3-2 ①直方圖中的a＝________. ②在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內的購物者的人數(shù)為________． (1)B　(2)分層抽樣　(3)①3　②6 000　[(1)∵甲＝＝29， 乙＝＝30，∴甲＜乙． 又s＝＝， s＝＝2， ∴s甲＞s乙，故可判斷結論①④正確． (2)因為不同年齡段的客戶對公司的服務評價有較

6、大差異，所以需按年齡進行分層抽樣，才能了解到不同年齡段的客戶對公司服務的客觀評價． (3)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3. 區(qū)間[0.3,0.5)內的頻率為0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]內的頻率為1－0.4＝0.6. 因此，消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內的購物者的人數(shù)為0.6×10 000＝6 000.] [方法歸納]　與頻率分布直方圖有關問題的常見類型及解題策略 (1)已知頻率分布直方圖中的部分數(shù)據，求其他數(shù)據.可根據頻率分布直方圖中的數(shù)據求出樣本與整體的關系，利用頻率和等

7、于1就可以求出其他數(shù)據. (2)已知頻率分布直方圖，求某個范圍內的數(shù)據，可利用圖形及結合某范圍求解. ■對點即時訓練· 1．(2017·全國卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據，繪制了下面的折線圖． 圖2-3-3 根據該折線圖，下列結論錯誤的是(　　) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) A　[對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7

8、,8月份明顯高于12月份，故A錯； 對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確； 對于選項C，D，由圖可知顯然正確． 故選A.] 2．空氣質量指數(shù)(Air Quality Index，簡稱AQI)是定量描述空氣質量狀況的無量綱指數(shù)．空氣質量按照AQI大小分為六級：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴重污染．一環(huán)保人士記錄去年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖2-3-4.利用該樣本估計該地本月空氣質量優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)(按這個月總共30天計算)為 (　　) 圖

9、2-3-4 A．15 B．18 C．20 D．24 B　[從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質量優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質量良的天數(shù)為4，故該樣本中空氣質量優(yōu)良的頻率為＝，估計該地本月空氣質量優(yōu)良的頻率為，從而估計該地本月空氣質量優(yōu)良的天數(shù)為30×＝18.選B.] 3．(2018·昆明模擬)工廠生產的A、B、C三種不同型號的產品數(shù)量之比依次為2∶3∶5，為研究這三種產品的質量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該工廠生產的A、B、C三種產品中抽出樣本容量為n的樣本，若樣本中A型產品有16件，則n的值為________． 80　[由已知得n×＝16，解得n＝80.] 題型2　變量的相關性(回歸分析

10、)、獨立性檢驗 ■核心知識儲備· 1．變量的相關性 (1)正相關：在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域． (2)負相關：在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域． (3)相關系數(shù)r：當r>0時，兩變量正相關；當r<0時，兩變量負相關；當|r|≤1且|r|越接近于1，相關程度越高，當|r|≤1且|r|越接近于0，相關程度越低． 2．線性回歸方程 方程＝x＋稱為線性回歸方程，其中＝，＝，回歸直線恒過樣本點的中心(，)． 3．獨立性檢驗的步驟 (1)根據實際問題的需要確定容許推斷“兩個分類變量有關系”犯錯誤概率的上界α，然后查臨界值表確定臨界值k0. (2)利用公式K2＝

11、計算隨機變量K2的觀測值k. (3)如果k≥k0，就推斷“X與Y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關系”，或者在樣本數(shù)據中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據支持結論“X與Y有關系”． ■高考考法示例· ?角度一　回歸分析 【例2－1】　(2015·全國卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據作了初步處理，得到下面的散點圖2-3-5及一些統(tǒng)計量的值． 圖2-3-5 (1)根據

12、散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(1)的判斷結果及表中數(shù)據，建立y關于x的回歸方程； (3)已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.根據(2)的結果回答下列問題： ①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？ ②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？ 附：對于一組數(shù)據(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝ [解]　(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸

13、方程類型． (2)令w＝，先建立y關于w的線性回歸方程． 由于＝＝＝68， ＝－ ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y關于w的線性回歸方程為＝100.6＋68w， 因此y關于x的回歸方程為＝100.6＋68. (3)①由(2)知，當x＝49時， 年銷售量y的預報值＝100.6＋68＝576.6， 年利潤z的預報值＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根據(2)的結果知，年利潤z的預報值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以當＝＝6.8，即x＝46.24時，取得最大值． 故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大．

14、 ?角度二　獨立性檢驗 【例2－2】　(2018·全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式．根據工人完成生產任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖2-3-6： 圖2-3-6 (1)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由； (2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過m 不超過m 第一種生產方式

15、 第二種生產方式 (3)根據(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？ 附：K2＝， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)第二種生產方式的效率更高． 理由如下： (ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘，用第二種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘．因此第二種生產方式的效率更高． (ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產方式的

16、工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產方式的效率更高． (ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘．因此第二種生產方式的效率更高． (ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少．

17、因此第二種生產方式的效率更高． (以上給出了4種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可．) (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 第一種生產方式 15 5 第二種生產方式 5 15 (3)由于K2＝＝10>6.635，所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異． [方法歸納]　求線性回歸方程的步驟： ■對點即時訓練· 1．某品牌2019款汽車即將上市，為了對這款汽車進行合理定價，某公司在某市五家4S店分別進行了兩天試銷售，得到如下數(shù)據： (1)分別以五家4S店的平均單價與平均銷量為散點，求出單價與銷量的回歸直線方程＝x＋

18、； (2)在大量投入市場后，銷量與單價仍服從(1)中的關系，且該款汽車的成本為12萬元/輛，為使該款汽車獲得最大利潤，則該款汽車的單價約為多少萬元(保留一位小數(shù))? 附： [解]　(1)五家4S店的平均單價和平均銷量分別為(18.3,83)，(18.5,80)，(18.7,74)，(18.4,80)，(18.6,78)， ∴＝＝18.5， ＝＝79， ∴＝ ＝＝－20. ∴＝－＝79－(－20)×18.5＝79＋370＝449， ∴＝－20x＋449. (2)設該款汽車的單價應為x萬元， 則利潤f(x)＝(x－12)(－20x＋449)＝－20x2＋689x－5 388

19、， f′(x)＝－40x＋689，令－40x＋689＝0，解得x≈17.2， 故當x≈17.2時，f(x)取得最大值． ∴要使該款汽車獲得最大利潤，該款汽車的單價約為17.2萬元． 2．(2018·鄭州模擬)人機大戰(zhàn)也引發(fā)全民對圍棋的關注，某學校社團為調查學生學習圍棋的情況，隨機抽取了100名學生進行調查．根據調查結果繪制的學生日均學習圍棋時間的頻率分布直方圖如圖2-3-7所示，將日均學習圍棋時間不低于40分鐘的學生稱為“圍棋迷”． 圖2-3-7 根據已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據此資料判斷是否有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關？ 非圍棋迷 圍棋迷 合計 男

20、 女 10 55 合計 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.05 0.01 k0 3.841 6.635 [解]　由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“圍棋迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下： 非圍棋迷 圍棋迷 合計 男 30 15 45 女 45 10 55 合計 75 25 100 將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據代入公式計算，得 K2＝ ＝ ＝≈3.030， 因為3.030＜3.841，所以沒有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關． 題型3　概率與統(tǒng)計的綜合問題 概率考點是

21、近幾年高考的熱點之一，主要考查隨機事件的概率、古典概型、幾何概型等知識，近幾年高考對概率的考查由單一型向知識交匯型轉化，且多為古典概型與莖葉圖、頻率分布直方圖、回歸分析、獨立性檢驗等交匯考查． ■高考考法示例· 【例3】　(2016·全國卷Ⅰ)某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 圖2-3-8 記x表示1臺機器在三年

22、使用期內需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)，n表示購機的同時購買的易損零件數(shù)． (1)若n＝19，求y與x的函數(shù)解析式； (2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值； (3)假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據，購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？ [思路點撥]　(1)根據題意寫出分段函數(shù)的解析式． (2)→ (3)→→ [解]　(1)當x≤19時，y＝3 800； 當x>19

23、時，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700， 所以y與x的函數(shù)解析式為 y＝(x∈N)． (2)由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19. (3)若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件，則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3 800，20臺的費用為4 300,10臺的費用為4 800，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000. 若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件，則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費

24、用為4 000，10臺的費用為4 500，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為(4 000×90＋4 500×10)＝4 050. 比較兩個平均數(shù)可知，購買1臺機器的同時應購買19個易損零件． [方法歸納]　以實際問題為背景，以統(tǒng)計圖表為載體考查抽樣方法、數(shù)字特征、概率、分布列以及獨立性檢驗等知識是高考?？键c.處理關鍵是仔細閱讀題目，準確獲取信息，成功地將應用問題轉化為統(tǒng)計概率問題求解. (教師備選) (2018·長春模擬)為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農科院針對玉米種植情況進行調研，力爭有效地改良玉米品種，為農民提供技術支援．現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計，獲得莖

25、葉圖如圖2-3-9(單位：厘米)，設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米． 圖2-3-9 (1)列出2×2列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關？ (2)為了改良玉米品種，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從抗倒伏的玉米中抽出5株，再從這5株玉米中選取2株進行雜交試驗，則選取的植株均為矮莖的概率是多少？ 附： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

26、 [解]　(1)根據統(tǒng)計數(shù)據得2×2列聯(lián)表如下： 抗倒伏 易倒伏 總計 矮莖 15 4 19 高莖 10 16 26 總計 25 20 45 所以K2＝≈7.287>6.635，因此可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關． (2)按照分層抽樣的方法抽到的高莖玉米有2株，設為A，B，抽到的矮莖玉米有3株，設為a，b，c，從這5株玉米中取出2株的取法有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種，其中均為矮莖的選取方法有ab，ac，bc，共3種，因此選取的植株均為矮莖的概率是. ■對點即時訓練· (2018·

27、湘中名校聯(lián)考)某大學生在開學季準備銷售一種文具盒進行試創(chuàng)業(yè)，在一個開學季內，每售出1盒該產品獲利潤50元，未售出的產品，每盒虧損30元．根據歷史資料，得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖2-3-10所示，該同學為這個開學季購進了160盒該產品，以x(單位：盒，100≤x≤200)表示這個開學季內的市場需求量，y(單位：元)表示這個開學季內經銷該產品的利潤． 圖2-3-10 (1)根據頻率分布直方圖估計這個開學季內市場需求量x的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)； (2)將y表示為x的函數(shù)； (3)根據頻率分布直方圖估計利潤y不少于4 800元的概率． [解]　(1)由頻率分布直方圖知，這

28、個開學季內市場需求量x的眾數(shù)估計值是＝150. 需求量為[100,120)的頻率為0.005×20＝0.1， 需求量為[120,140)的頻率為0.01×20＝0.2， 需求量為[140,160)的頻率為0.015×20＝0.3， 需求量為[160,180)的頻率為0.012 5×20＝0.25， 需求量為[180,200]的頻率為0.007 5×20＝0.15. 則平均數(shù)＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153. 根據頻率分布直方圖及中位數(shù)的概念，設這個開學季內市場需求量x的中位數(shù)為140＋a， 則(0.005 0＋0.01

29、0 0)×20＋0.015 0a＝(0.012 5＋0.007 5)×20＋0.015 0(20－a)， 解得a＝. 所以中位數(shù)為140＋＝153. (2)因為每售出1盒該產品獲利潤50元，未售出的產品，每盒虧損30元， 所以當100≤x≤160時，y＝50x－30×(160－x)＝80x－4 800， 當160

30、11是某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖．圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15 ℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5 ℃.下面敘述不正確的是(　　) 圖2-3-11 A．各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上 B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大 C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 D．平均最高氣溫高于20 ℃的月份有5個 D　[對于選項A，由圖易知各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上，A正確；對于選項B，七月的平均最高氣溫點與平均最低氣溫點間的距離大于一月的平均最高氣溫點與平均最低氣溫點間的距離，所以七月的平均溫差比一月的平均

31、溫差大，B正確；對于選項C，三月和十一月的平均最高氣溫均為10 ℃，所以C正確；對于選項D，平均最高氣溫高于20 ℃的月份有七月、八月，共2個月份，故D錯誤．] 2．(2018·全國卷Ⅰ)某地區(qū)經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖2-3-12： 圖2-3-12①　　　　圖2-3-12② 則下面結論中不正確的是(　　) A．新農村建設后，種植收入減少 B．新農村建設后，其他收入增加了一倍以上 C．新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農村建設后，養(yǎng)

32、殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半 A　[設新農村建設前經濟收入的總量為x，則新農村建設后經濟收入的總量為2x. 建設前種植收入為0.6x，建設后種植收入為0.74x，故A不正確； 建設前其他收入為0.04x，建設后其他收入為0.1x，故B正確； 建設前養(yǎng)殖收入為0.3x，建設后養(yǎng)殖收入為0.6x，故C正確； 建設后養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和占建設后經濟收入總量的58%，故D正確．] 3．(2018·全國卷Ⅱ)如圖2-3-13是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖． 圖2-3-13 為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投

33、資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據2000年至2016年的數(shù)據(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根據2010年至2016年的數(shù)據(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t. (1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值； (2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由． [解]　(1)利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)． 利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 ＝99＋17.

34、5×9＝256.5(億元)． (2)利用模型②得到的預測值更可靠． 理由如下： (i)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據對應的點沒有隨機散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用

35、模型②得到的預測值更可靠． (ⅱ)從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠． (以上給出了2種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可．) 4．(2018·全國卷Ⅰ)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(單位：m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據，得到頻數(shù)分布表如下： 未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 (1)在如圖2-3-14中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據的

36、頻率分布直方圖； 圖2-3-14 (2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率； (3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計算，同一組中的數(shù)據以這組數(shù)據所在區(qū)間中點的值作代表．) [解]　(1) (2)根據以上數(shù)據，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35 m3的頻率為0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48， 因此該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率的估計值為0.48. (3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為 1＝×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0

37、.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48. 該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為 2＝×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35. 估計使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)． 5．(2017·全國卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每隔30 min從該生產線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.9

38、5 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經計算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，≈18.439， (xi－)(i－8.5)＝－2.78，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1,2，…，16. (1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關系數(shù)r，并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.

39、25，則可以認為零件的尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小)． (2)一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(－3s，＋3s)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查． (i)從這一天抽檢的結果看，是否需對當天的生產過程進行檢查？ (ⅱ)在(－3s，＋3s)之外的數(shù)據稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產線當天生產的零件尺寸的均值與標準差．(精確到0.01) 附：樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相關系數(shù)r＝，≈0.09. [解]　(1)由樣本數(shù)據得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關系數(shù) r＝≈≈－0.18. 由

40、于|r|<0.25，因此可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變?。? (2)(i)由于＝9.97，s≈0.212，因此由樣本數(shù)據可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(－3s，＋3s)以外，因此需對當天的生產過程進行檢查． (ⅱ)剔除離群值，即第13個數(shù)據，剩下數(shù)據的平均數(shù)為 (16×9.97－9.22)＝10.02， 這條生產線當天生產的零件尺寸的均值的估計值為10.02. ≈16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除第13個數(shù)據，剩下數(shù)據的樣本方差為 (1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 這條生產線當天

41、生產的零件尺寸的標準差的估計值為≈0.09. 一、概率與統(tǒng)計中的數(shù)學文化 【例1】　(1)分層抽樣是先將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，組成一個樣本的抽樣方法．在《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢．欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關，關稅共100錢，要按照各人帶錢多少的比例進行交稅，問三人應各付多少稅額？則下列說法錯誤的有(　　) ①甲應付51錢；②乙應付32錢； ③丙應付16錢；④

42、三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少． A．0個　　　B．1個　　　C．2個　　　D．3個 (2)《九章算術》“勾股”章有一道“引葭赴岸”的問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”其意思是：有一水池一丈見方，池中生有一株類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面一尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊(如圖1所示)，問水有多深，該植物有多長？其中一丈為十尺．若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為(　　) 圖1 A. B. C. D. [思路點撥]　(1)先根據題意抓住古代數(shù)學問題的核心“欲以錢多少衰出之”——“要按照各人帶錢多少的比例

43、進行交稅”，顯然這是一個分層抽樣問題，然后求出抽樣比，則每人應付的稅額等于各自持有的錢數(shù)與抽樣比的乘積，最后逐個判斷即可． (2)先根據題意判斷所求事件的概型屬性——連續(xù)型，且與葭的長度相關，故所求事件的概型為與長度相關的幾何概型；再根據已知條件列方程求出水深和葭長，代入幾何概型的概率計算公式求解即可． [解析]　(1)依題意知，抽樣比為＝. 由分層抽樣知識可知，甲應付×560＝51(錢)，故①正確； 乙應付×350＝32(錢)，故②不正確； 丙應付×180＝16(錢)，故③正確； 顯然51＞32＞16，則三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少，故④正確． 綜上，只有②不正確，故選B.

44、 (2)根據題意標出相應數(shù)據，如圖所示．設水深為x尺，則由題意知葭長(x＋1)尺，故由勾股定理得(x＋1)2＝x2＋52，解得x＝12，即水深12尺． 所以葭長13尺． 而所求事件的概型為與長度相關的幾何概型，故所求概率P＝，故選B. [答案]　(1)B　(2)B [體會領悟]　本例題中兩個小題以《九章算術》中的問題為背景考查分層抽樣和幾何概型，題目注重對古代數(shù)學文化知識的挖掘，以能力立意為主，考查了考生的數(shù)據分析、數(shù)學建模、數(shù)學運算三大核心素養(yǎng)和數(shù)學應用意識，體現(xiàn)了《考試大綱》對考生的基本要求. 二、概率與統(tǒng)計和其它知識交匯創(chuàng)新 ?預測1：概率與其它知識的交匯 【例2】　

45、在[－5,5]上隨機取一個實數(shù)t，則事件“直線l：x－y＋t＝0與曲線C：x2＋y2－2x－3＝0有公共點”發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. [思路點撥]　首先明確所求事件的概型屬性——連續(xù)型，所求事件的概型屬于與長度相關的幾何概型；然后確定曲線的屬性——圓；再根據“直線l和曲線C有公共點”這一條件求出實數(shù)t的取值范圍；最后分別求出兩個區(qū)間的長度，代入幾何概型的概率計算公式求解． [解析]　法一：(代數(shù)法)由直線l的方程得y＝(x＋t)， 代入曲線C的方程得x2＋2－2x－3＝0， 整理得4x2＋(2t－6)x＋(t2－9)＝0. 由題意，直線l

46、和曲線C有公共點，所以Δ＝(2t－6)2－4×4×(t2－9)≥0， 整理得t2＋2t－15≤0，即(t＋5)(t－3)≤0，解得－5≤t≤3. 所以所求事件的概率P＝＝，故選C. 法二：(幾何法)曲線C的方程可轉化為(x－1)2＋y2＝4，故曲線C為以C(1,0)為圓心，2為半徑的圓． 由“直線l：x－y＋t＝0與曲線C：x2＋y2－2x－3＝0有公共點”可得圓心C到直線l的距離不大于圓的半徑， 即≤2，解得－5≤t≤3. 所以所求事件的概率P＝＝，故選C. [答案]　C ?預測2：創(chuàng)新命題情景中的概率與統(tǒng)計 【例3】　某市創(chuàng)業(yè)園區(qū)新引進一家生產環(huán)保產品的公司，已知該公

47、司每售出1件某環(huán)保產品得到的利潤為3 000元，未售出的產品每件虧損1 000元．根據統(tǒng)計資料，該種環(huán)保產品的市場需求量的頻率分布直方圖如圖2所示，其中a，b，c成等差數(shù)列，a，b，a＋c成等比數(shù)列．已知該產品的月產量為160件，用x(單位：個，100≤x≤200)表示該市一月內的市場需求量，y(單位：元)表示該公司生產該產品的月利潤． 圖2 (1)求a，b，c的值； (2)將y表示為x的函數(shù)； (3)根據頻率分布直方圖估計月利潤y不少于40萬元的概率． [解]　(1)由頻率分布直方圖可得，組距為20. 所以(a＋0.007 5＋b＋0.012 5＋c)×20＝1，所以a＋b＋

48、c＝0.030 0. 因為a，b，c成等差數(shù)列，所以a＋c＝2b. 由解得b＝0.010 0. 又a，b，a＋c成等比數(shù)列，即a，b,2b成等比數(shù)列， 所以公比q＝2，故a＝＝＝0.005 0. 故c＝2b－a＝2×0.010 0－0.005 0＝0.015 0. (2)因為公司每售出1件該產品獲利3 000元，未售出的產品每件虧損1 000元， 所以當x∈[100,160]時，y＝3 000x－1 000×(160－x)＝4 000x－160 000； 當x∈(160,200]時，y＝160×3 000＝480 000. 所以y＝ (3)由月利潤不少于40萬元，得4 00

49、0x－160 000≥400 000，所以x≥140. 由頻率分布直方圖知x＜140的頻率為(0.005 0＋0.010 0)×20＝0.3， 所以x≥140的頻率為1－0.3＝0.7，即月利潤不少于40萬元的概率為0.7. [體會領悟]　解決概率與統(tǒng)計和其它知識的交匯問題，可利用數(shù)形結合思想，函數(shù)與方程思想以及轉化與化歸思想. 三、規(guī)范答題——概率與統(tǒng)計 [滿分心得]?。?）寫全得分步驟：對于解題過程中是得分點的步驟，有則給分，無則沒分，所以對于得分點步驟一定要寫全.如第（1）問中，寫出當且僅當最高氣溫低于25 ℃得分，第（2）問中若最高氣溫不低于25℃，若最高氣溫位于區(qū)間[20，25），若最高氣溫低于20 ℃才能得滿分. （2）寫明得分關鍵：對于解題過程中的關鍵點，有則給分，無則沒分，所以在答題時一定要寫清得分關鍵點，如第（1）問應寫明頻率為＝0.6，第（2）問應寫出Y的所有可能值為900，300，－100.