2022高中數學 第2章 推理與證明 第2節(jié) 直接證明與間接證明學案 理 蘇教版選修2-2

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1、2022高中數學 第2章 推理與證明 第2節(jié) 直接證明與間接證明學案 理 蘇教版選修2-2 一、學習目標： 1. 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。 2. 了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點。 二、重點、難點 重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點。 難點：運用分析法、綜合法提高分析問題和解決問題的能力。 三、考點分析： 對兩種直接證明方法的考查在選擇題、填空題和解答題中都有出現，單純的考查并不常見，作為解決問題的工具，與其他知識綜合運用的特點比較突出。它可以和很多知識，如函數、數列、三角

2、函數、導數等相聯(lián)系，證明時不僅要用到不等式的相關知識，還要用到其他數學知識、技能和技巧，而且還考查了運算能力，分析問題和解決問題的能力。對于反證法很少單獨命題，但是運用反證法分析問題、進行證題思路的判斷則經常用到，有獨到之處。 三種證明方法的定義與步驟： 1. 綜合法是由原因推導到結果的證明方法，它是利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立的證明方法。 2. 分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結論成立的充分條件，直到最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）為止

3、的證明方法。 3. 假設原命題的結論不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，由此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的方法叫反證法；它是一種間接的證明方法。用這種方法證明一個命題的一般步驟：（1）假設命題的結論不成立；（2）根據假設進行推理，直到推理中導出矛盾為止；（3）斷言假設不成立；（4）肯定原命題的結論成立。 知識點一：綜合法 例1 對于定義域為的函數，如果同時滿足以下三個條件：①對任意的，總有；②；③若，都有成立，則稱函數為理想函數。 （1）若函數為理想函數，求的值； （2）判斷函數（）是否為理想函數，并予以證明。 思路分析：（1）取可得。由此可

4、求出f（0）的值。（2）在[0，1]滿足條件①； 也滿足條件②。若，，，滿足條件③，收此知故g（x）理想函數。 解題過程：（1）取可得。 又由條件①，故。 （2）顯然在[0，1]滿足條件①； 也滿足條件②。若，，，則 ，即滿足條件③， 故為理想函數。 解題后反思：要證明函數（）滿足三個條件，得緊扣定義，逐個驗證。 知識點二：分析法 例2 △ABC的三個內角A、B、C成等差數列， 求證： 思路分析：本題的關鍵是將等價轉換，以及三個內角A、B、C成等差數列的應用。 解題過程：證明：要證， 需證。 即證。

5、 需證，需證 ∵△ABC三個內角A、B、C成等差數列?！郆＝60°。 由余弦定理，有，即。 ∴成立，命題得證。 解題后反思：注意分析法的書寫“格式”是“要證……只需證……”，而不是“因為……所以……” 知識點三：反證法 例3 已知，，求證：不能同時大于。 思路分析：求證：不能同時大于，可用反證法假設可以同時大于，讓三個等式左邊右邊分別相乘得到，根據可以判斷錯誤，故假設不成立，即得證。 解題過程：證法一：假設三式同時大于，即，， ，三式同向相乘得，又 ，同理， ，這與假設矛盾，故原命題得證。 證法二：假設三式同時大于，， 同理三式相加得

6、，這是矛盾的，故假設錯誤，所以原命題得證。 解題后反思：“不能同時大于”包含多種情形，不易直接證明，可用反證法證明。即正難則反： （1）當遇到否定性、唯一性、無限性、至多、至少等類型問題時，常用反證法。 （2）用反證法的步驟是：①否定結論；②而不合理；③因此結論不能否定，原結論成立。 反證法屬于“間接證明法”，是從反面角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理。反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛盾，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的

7、結論，從而使命題獲得了證明。 知識點四：綜合法、分析法綜合應用 例4 設，，為正實數，求證：。 思路分析：由想到可應用不等式。 解題過程：因為為正實數，由平均不等式可得， 即 ， 所以， 而， 所以。 解題后反思：綜合法是從已知到未知的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或從已證的命題出發(fā)，經過一系列的推理，最后導出要證的結論。證明不等式常用的性質有，等，但應用這些不等式證明時，要注意不等式應用的范圍和“”取得的充要條件。 例5 如圖，傾斜角為的直線經過拋物線的焦點F，且與拋物線交于、兩點。 （1）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程； （2）若為銳角，

8、作線段的垂直平分線交軸于點，證明為定值，并求此定值。 思路分析：使用常規(guī)思路，即可以采用綜合法解決問題。 解題過程：（1）拋物線的標準方程為，則焦點的坐標為（2，0），準線l的方程為。 （2）證明：如圖，作，，垂足為、，則由拋物線的定義知，，記、的橫坐標分別為，，則 解得類似地，解得。 記直線與的交點為，則 ，所以。 故。 解題后反思：本題是應用綜合法解決解析幾何問題，掌握綜合法證明的基本方法是“由因導果”，即由已知條件出發(fā)，順著推證，逐步推出求證的結論，綜合法的特點是表述簡單，條理清晰，它常用的是“，”，或“因為，所以”，或“”等表述方法。 （天津

9、高考）對實數與，定義新運算“”： 設函數若函數的圖象與軸恰有兩個公共點，則實數的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 解題思路：在新定義下給出分段函數，利用數形結合求出參數C的取值范圍。 解答過程： 則的圖象如圖 ∵的圖象與軸恰有兩個公共點， ∴與的圖象恰有兩個公共點，由圖象知，或。 解題后反思：新定義問題考查的是即時反應能力，數形結合能使問題形象化。 1. 分析法的特點是：從未知看需知，逐步靠攏已知。 2. 綜合法的特點是：從已知看可知，逐步推出未知。 3. 分析法和綜合法各有優(yōu)缺點：分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結論，能較簡捷地解決問題，但不便于思考，實際證明時常常兩法兼用，先用分析法探索證明的思路，然后再用綜合法敘述出來。 4. 對證明的考查往往會結合函數、數列、解析幾何、導數等知識，既要掌握基本的證明方法——綜合法和分析法，又要結合相關的數學知識，證明時把兩種方法結合起來綜合應用。 下節(jié)課同學們將學習直接證明當中的一種非常重要的方法——數學歸納法，請同學們閱讀課本，思考：數學歸納法與多米諾骨牌之間有什么聯(lián)系呢？根據多米諾骨牌的原理，你能理解數學歸納法嗎？