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1、（山西專用）2022中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四單元 三角形 第20講 相似圖形優(yōu)選習(xí)題
類型一 相似三角形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用
1.(xx·重慶)制作一塊3 m×2 m的長(zhǎng)方形廣告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情況下,若將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍,則擴(kuò)大后長(zhǎng)方形廣告牌的成本是()
A.360元 B.720元 C.1 080元 D.2 160元
2.(xx·臨沂)如圖,利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度.已知標(biāo)桿BE高1.2 m,測(cè)得AB=1.6 m,BC=12.4 m,則建筑物CD的高是()
A.9.3 m B.10.5 m
C.12.4 m D.14 m
3.(x
2、x·隨州)如圖,平行于BC的直線DE把△ABC分成面積相等的兩部分,則的值為()
A.1 B.+1
4.(xx·江西,14,6分)如圖,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分線,BD交AC于點(diǎn)E.求AE的長(zhǎng).
類型二 相似變換(位似)
5.(xx·福建,20,8分)求證:相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線之比等于相似比.
要求:①根據(jù)給出的△ABC及線段A'B',∠A'(∠A'=∠A),以線段A'B'為一邊,在給出的圖形上用尺規(guī)作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,不寫作法,保留作圖痕跡;
②在已有的圖形上畫出一組對(duì)應(yīng)中線
3、,并據(jù)此寫出已知,求證和證明過(guò)程.
能力升級(jí) 提分真功夫
6.(xx·長(zhǎng)春)《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作,成書于約一千五百年前,其中有首歌謠:今有竿不知其長(zhǎng),量得影長(zhǎng)一丈五尺,立一標(biāo)桿,長(zhǎng)一尺五寸,影長(zhǎng)五寸,問(wèn)竿長(zhǎng)幾何?意即:有一根竹竿不知道有多長(zhǎng),量出它在太陽(yáng)下的影子長(zhǎng)一丈五尺,同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿,它的影長(zhǎng)五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),則竹竿的長(zhǎng)為()
A.五丈 B.四丈五尺
C.一丈 D.五尺
7.(xx·臺(tái)灣)如圖,△ABC、△FGH中,D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC上
4、,F點(diǎn)在DE上,G、H兩點(diǎn)在BC上,且DE∥BC,FG∥AB,FH∥AC,若BGGHHC=465,則△ADE與△FGH的面積比為何?()
A.21 B.32
C.52 D.94
8.(xx·晉城三模)勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶,前者好比黃金,后者堪稱珠玉,生活中到處可見(jiàn)黃金分割的美.下圖是一種貝殼的俯視圖,點(diǎn)C分線段AB近似黃金分割,已知AB=10 cm,AC>BC,則AC的長(zhǎng)約為cm(結(jié)果精確到0.1 cm).?
5、
9.(xx·株洲)如圖,Rt△ABM和Rt△ADN的斜邊分別為正方形的邊AB和AD,其中AM=AN.
(1)求證:Rt△ABM≌Rt△AND;
(2)設(shè)線段MN與線段AD相交于T,若AT=AD,求tan∠ABM的值.
10.(xx·嘉興)我們定義:如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊,那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形,這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”.
(1)概念理解:
如圖1,在△ABC中,AC=6,BC=3,∠ACB=30°,試判斷△ABC是不是“等高底”三角形,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)問(wèn)題探究:
如圖2,△ABC是“等高底”三角形,BC是“
6、等底”,作△ABC關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱圖形得到△A'BC,連接AA'交直線BC于點(diǎn)D.若點(diǎn)B是△AA'C的重心,求的值;
(3)應(yīng)用拓展:
如圖3,已知l1∥l2,l1與l2之間的距離為2.“等高底”△ABC的“等底”BC在直線l1上,點(diǎn)A在直線l2上,有一邊的長(zhǎng)是BC的倍.將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到△A'B'C,A'C所在直線交l2于點(diǎn)D,求CD的值.
預(yù)測(cè)猜押 把脈新中考
11.(2019·改編預(yù)測(cè))如圖,四邊形ABCD和BEFG均為正方形,則=.(結(jié)果不取近似值)?
7、
12.(2019·改編預(yù)測(cè))如圖所示,將一個(gè)大正方形分割成幾個(gè)相同的小正方形,小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),連接格點(diǎn)而成的三角形稱為格點(diǎn)三角形,請(qǐng)?jiān)趫D(1)、(2)、(3)、(4)中分別畫出四個(gè)互不全等的格點(diǎn)三角形,要求所畫三角形與格點(diǎn)三角形△ABC相似但與△ABC不全等.
13.(2019·改編預(yù)測(cè))如圖,方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形,△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
(1)將△ABC向左平移7個(gè)單位長(zhǎng)度后再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,請(qǐng)畫出兩次平移后的△A1B1C1,若M為△ABC內(nèi)的一點(diǎn),其坐標(biāo)為(a,b),直接寫出兩次平移后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)
8、M1的坐標(biāo);
(2)以原點(diǎn)O為位似中心,將△ABC縮小,使變換后得
到的△A2B2C2與△ABC對(duì)應(yīng)邊的比為1∶2.請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格內(nèi)畫出在第三象限內(nèi)的△A2B2C2,并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo).
14.(2019·改編預(yù)測(cè))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,6),B(8,0).點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿AO方向運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度沿OB方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的取值范圍;
(2)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,以點(diǎn)P、O、Q為頂點(diǎn)的三角形與Rt△AOB有幾次相似?請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的t值;
(3)t為何值時(shí),△
9、POQ的面積最大?最大值是多少?
答案精解精析
基礎(chǔ)滿分
1.C 2.B 3.C
4.解析 ∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵AB∥CD,
∴∠ABD=∠D,△ABE∽△CDE.
∴∠CBD=∠D,=.∴BC=CD.
∵AB=8,CA=6,CD=BC=4,
∴=,∴AE=4.
5.解析?、偃鐖D,
△A'B'C'即為所求作的三角形.
②已知:如圖,△A'B'C'∽△ABC,===k,AD=DB,A'D'=D'B'.求證:=k.
證明:∵AD=DB,A'D'=D'B',
∴AD=AB,A'D'=A'B',
∴==,又=,
10、
∴=,
∵△A'B'C'∽△ABC,∴∠A'=∠A,
∴△C'A'D'∽△CAD,∴==k.
能力升級(jí)
6.B 7.D
8.答案 6.2
9.解析 (1)證明:∵AD=AB,AM=AN,∠AMB=∠AND=90°,
∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL).
(2)由Rt△ABM≌Rt△AND得∠DAN=∠BAM,DN=BM,
∵∠BAM+∠DAM=90°,∠DAN+∠ADN=90°,∴∠DAM=∠ADN,∴ND∥AM,
∴△AMT∽△DNT,∴=,
∵AT=AD,∴=,
∴tan∠ABM===.
10.解析 (1)△ABC是“等高底”三角形.
理由:如圖1,過(guò)A作
11、AD⊥BC于D,則△ADC是直角三角形,∠ADC=90°,
∵∠ACB=30°,AC=6,∴AD=AC=3,∴AD=BC=3,即△ABC是“等高底”三角形.
(2)∵△ABC是“等高底”三角形,BC是“等底”,∴AD=BC,
∵△ABC關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱圖形是△A'BC,∴∠ADC=90°,
∵點(diǎn)B是△AA'C的重心,∴BC=2BD,
設(shè)BD=x,則AD=BC=2x,CD=3x,
由勾股定理得AC=x,
∴==.
(3)①當(dāng)AB=BC時(shí),(ⅰ)如圖2,作AE⊥BC于E,DF⊥AC于F,
∵“等高底”△ABC的“等底”為BC,l1∥l2,l1與l2之間的距離為2,AB=
12、BC,
∴BC=AE=2,AB=2,∴BE=2,即EC=4,∴AC=2,
∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到△A'B'C,∴∠DCF=45°,設(shè)DF=CF=x,
∵l1∥l2,∴∠ACE=∠DAF,
∴==,即AF=2x,
∴AC=3x=2,
∴x=,CD=x=.
(ⅱ)如圖3,此時(shí)△ABC是等腰直角三角形,
∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到△A'B'C,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴CD=AC=2.
②當(dāng)AC=BC時(shí),
(ⅰ)如圖4,此時(shí)△ABC是等腰直角三角形,
∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到△A'B'C,∴A'C⊥l1,
13、∴CD=AB=BC=2.
(ⅱ)如圖5,作AE⊥BC于E,則AE=BC,
∴AC=BC=AE,∴∠ACE=45°,
∴△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到△A'B'C時(shí),點(diǎn)A'在直線l1上,
∴A'C∥l2,即直線A'C與l2無(wú)交點(diǎn),
綜上所述,CD的值為,2,2.
預(yù)測(cè)猜押
11.答案
12.解析 如圖.
13.解析 (1)所畫圖形如圖所示,其中△A1B1C1即為所求,M1的坐標(biāo)為(a-7,b-3).
(2)所畫圖形如圖所示,其中△A2B2C2即為所求,點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(-1,-4).
14.解析 (1)∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0),
∴OB=8,
∵點(diǎn)Q從O出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度沿OB方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),∴t≤4,則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的取值范圍為0≤t≤4.
(2)由題意得,AP=t,OP=6-t,OQ=2t,
①當(dāng)Rt△POQ∽R(shí)t△AOB時(shí),=,
即=,解得t=.
②當(dāng)Rt△POQ∽R(shí)t△BOA時(shí),
=,即=,解得t=.
故當(dāng)t=或時(shí),以點(diǎn)P、O、Q為頂點(diǎn)的三角形與Rt△AOB相似,即相似兩次.
(3)△POQ的面積=×OQ×OP=×2t×(6-t)=-t2+6t=-(t-3)2+9,
∴當(dāng)t=3時(shí),△POQ的面積最大,最大值是9.
（山西專用）2022中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四單元 三角形 第20講 相似圖形優(yōu)選習(xí)題
